6. 计算$1-\frac{1}{x^{2}-1}·(x + 1)$的结果是()。

A.$\frac{x + 2}{x + 1}$
B.$\frac{x - 2}{x + 1}$
C.$\frac{x - 2}{x - 1}$
D.$\frac{1}{x - 1}$

C

原式$=1-\frac{1}{(x+1)(x-1)}·(x + 1)=1-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-2}{x-1}$

7. 计算$(1-\frac{1}{1 - a})(\frac{1}{a^{2}}-1)$的结果为。

$(1 - \frac{1}{1 - a})(\frac{1}{a^2} - 1)$
$=(\frac{1 - a}{1 - a} - \frac{1}{1 - a})(\frac{1 - a^2}{a^2})$
$=\frac{(1 - a) - 1}{1 - a} · \frac{(1 - a)(1 + a)}{a^2}$
$=\frac{-a}{1 - a} · \frac{(1 - a)(1 + a)}{a^2}$
$=-\frac{a(1 + a)}{a^2}$
$=-\frac{a + 1}{a}$
$-\frac{a + 1}{a}$

8. 计算：
(1)$\frac{a^{2}}{a + b}-a + b$；

(2)$(\frac{1}{x - 1}+\frac{1}{x + 1})÷\frac{x + 2}{x^{2}-1}$。

(2)
$(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}) ÷ \frac{x + 2}{x^2 - 1}$
$=(\frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)}) ÷ \frac{x + 2}{x^2 - 1}$
$=\frac{x + 1 + x - 1}{(x - 1)(x + 1)} ÷ \frac{x + 2}{x^2 - 1}$
$=\frac{2x}{(x - 1)(x + 1)} ÷ \frac{x + 2}{x^2 - 1}$
$=\frac{2x}{(x - 1)(x + 1)} × \frac{x^2 - 1}{x + 2}$
$=\frac{2x}{(x - 1)(x + 1)} × \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 2}$
$=\frac{2x}{x + 2}$

9. $(1+\frac{□}{x - 1})÷\frac{x^{2}}{x^{2}-1}$化简后的结果为$1+\frac{1}{x}$，则“$□$”所表示的代数式是()。

A.$1$
B.$x$
C.$x - 1$
D.$x^{2}-1$

A

设“□”表示的代数式为$A$，则原式为$(1 + \frac{A}{x - 1})÷\frac{x^2}{x^2 - 1}$。
先化简括号内：$1 + \frac{A}{x - 1} = \frac{x - 1 + A}{x - 1}$。
除法变乘法：$\frac{x - 1 + A}{x - 1} × \frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2} = \frac{(x - 1 + A)(x + 1)}{x^2}$。
已知化简结果为$1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}$，则$\frac{(x - 1 + A)(x + 1)}{x^2} = \frac{x + 1}{x}$。
约去$x + 1$（$x + 1 ≠ 0$），得$\frac{x - 1 + A}{x^2} = \frac{1}{x}$，即$x - 1 + A = x$，解得$A = 1$。

10. 【数学应用】某市计划对一段长为$x\ \mathrm{m}$的公路进行改造铺设。有甲、乙两个工程队参与，甲工程队单独铺设需要$2a$天，乙工程队单独铺设需要$3a$天，则甲工程队比乙工程队每天多铺设$\mathrm{m}$，甲、乙两个工程队一起铺设这段公路需要天。

甲工程队每天铺设的长度为：$\frac{x}{2a} \mathrm{m}$。
乙工程队每天铺设的长度为：$\frac{x}{3a}\mathrm{m}$。
甲工程队比乙工程队每天多铺设：
$\frac{x}{2a} - \frac{x}{3a} = \frac{3x - 2x}{6a} = \frac{x}{6a} \mathrm{m}$。
甲、乙两个工程队一起铺设这段公路，每天铺设的总长度为：
$\frac{x}{2a} + \frac{x}{3a} = \frac{3x + 2x}{6a} = \frac{5x}{6a} \mathrm{m}$。
因此，甲、乙两个工程队一起铺设这段公路需要的天数为：
$x ÷ \frac{5x}{6a} = \frac{6a}{5} \mathrm{ 天}$。
故答案为：$\frac{x}{6a}$；$\frac{6a}{5}$。

11. 若$a + 3b = 0$，则$(1-\frac{b}{a + 2b})÷\frac{a^{2}+2ab + b^{2}}{a^{2}-4b^{2}}=$。

$\because a + 3b = 0$，$\therefore a = -3b$。
原式$=(1 - \frac{b}{a + 2b}) ÷ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - 4b^2}$
$=(\frac{a + 2b}{a + 2b} - \frac{b}{a + 2b}) × \frac{(a - 2b)(a + 2b)}{(a + b)^2}$
$=\frac{a + b}{a + 2b} × \frac{(a - 2b)(a + 2b)}{(a + b)^2}$
$=\frac{a - 2b}{a + b}$。
将$a = -3b$代入，得：
$\frac{-3b - 2b}{-3b + b} = \frac{-5b}{-2b} = \frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$