例 2 在四边形 $ABCD$ 中，
（1）若 $∠ A = 70^{\circ}$，$∠ B = 120^{\circ}$，$∠ C = 30^{\circ}$，求 $∠ D$ 的度数；
（2）若 $∠ A = 70^{\circ}$，$∠ D = 90^{\circ}$，$∠ B = ∠ C$，求 $∠ B$ 的度数；
（3）若 $∠ A = 70^{\circ}$，$2∠ D = ∠ B = ∠ C$，求 $∠ B$ 的度数；
（4）若 $∠ A:∠ B:∠ C:∠ D = 3:4:5:6$，求 $∠ B$ 和 $∠ C$ 的度数。

（1）
根据四边形内角和为$360^{\circ}$，
$∠ D=360^{\circ}-∠ A - ∠ B - ∠ C$
$=360^{\circ}-70^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}$
$=140^{\circ}$
（2）
设$∠ B = x$，因为$∠ B=∠ C$，所以$∠ C = x$。
根据四边形内角和为$360^{\circ}$，可得$360^{\circ}-∠ A-∠ D=∠ B + ∠ C$，即$360^{\circ}-70^{\circ}-90^{\circ}=2x$，
$200^{\circ}=2x$，
解得$x = 100^{\circ}$，所以$∠ B = 100^{\circ}$。
（3）
设$∠ B = x$，因为$2∠ D=∠ B=∠ C$，所以$∠ C = x$，$∠ D=\frac{1}{2}x$。
根据四边形内角和为$360^{\circ}$，可得$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360^{\circ}$，即$70^{\circ}+x + x+\frac{1}{2}x=360^{\circ}$，
$70^{\circ}+\frac{5}{2}x=360^{\circ}$，
$\frac{5}{2}x=290^{\circ}$，
解得$x = 116^{\circ}$，所以$∠ B = 116^{\circ}$。
（4）
设$∠ A = 3x$，$∠ B = 4x$，$∠ C = 5x$，$∠ D = 6x$。
根据四边形内角和为$360^{\circ}$，可得$3x + 4x+5x + 6x=360^{\circ}$，
$18x=360^{\circ}$，
解得$x = 20^{\circ}$。
所以$∠ B = 4x = 80^{\circ}$，$∠ C = 5x = 100^{\circ}$。
综上，答案依次为：（1）$140^{\circ}$；（2）$100^{\circ}$；（3）$116^{\circ}$；（4）$∠ B = 80^{\circ}$，$∠ C = 100^{\circ}$。

变式训练 小明给小军出了这样一道题：一个四边形各内角度数之比为 $1:2:5:8$，求各内角的度数. 小军想了想，说这道题目有问题.
（1）请你指出问题在哪里；
（2）他们经过究后，改变了题目中的一个数字，使这道题没有问题. 请你也尝试一下，换一个合适的数字，使这道题没有问题，并进行解答.

【解析】：（1）设四边形各内角分别为x，2x，5x，8x，由四边形内角和为360°得x+2x+5x+8x=360°，解得x=22.5°，则最大内角为8x=180°，而四边形内角必须小于180°，故题目有问题。
（2）将比例中的8改为7，设各内角为x，2x，5x，7x，x+2x+5x+7x=360°，15x=360°，x=24°，各内角为24°，48°，120°，168°。
【答案】：（1）最大内角为180°，不符合四边形内角定义；（2）将8改为7，各内角为24°，48°，120°，168°。

（1）设四边形各内角分别为x，2x，5x，8x，由四边形内角和为360°得x+2x+5x+8x=360°，解得x=22.5°，则最大内角为8x=180°，而四边形内角必须小于180°，故题目有问题。
（2）将比例中的8改为7，设各内角为x，2x，5x，7x，x+2x+5x+7x=360°，15x=360°，x=24°，各内角为24°，48°，120°，168°。

1. 如图，小丽的一块四边形玩具片破了一角，小丽想知道破掉的 $∠ C$ 的度数，她量了 $∠ A$，$∠ B$，$∠ D$ 的度数，就知道了 $∠ C$ 的度数，其原因是()

A.四边形外角和是 $360^{\circ}$
B.四边形外角和是 $180^{\circ}$
C.四边形内角和是 $360^{\circ}$
D.四边形内角和是 $180^{\circ}$

C

因为四边形的内角和是$360°$，已知$∠A$，$∠B$，$∠D$，可以求出$∠C$的度数，公式为$∠C = 360° - (∠A + ∠B + ∠D)$。

2. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设 $△ ABC$ 内角和的度数为 $α$，四边形 $BCDE$ 内角和的度数为 $β$，则下列说法正确的是()

A.$α - β = 0$
B.$2α - β = 0$
C.$α - 2β = 0$
D.无法比较 $α$ 与 $β$ 的大小

B

因为三角形内角和α=180°，四边形内角和β=360°，所以2α=β，即2α - β=0。

3. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ A = 90^{\circ}$，$AB = AD = 2$，$BC = 1$，$CD = 3$，则 $∠ C + ∠ D$ 的度数为。

135°

连接BD。在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=AD=2，由勾股定理得BD²=AB²+AD²=2²+2²=8，故BD=2√2。在△BCD中，BC=1，CD=3，BD=2√2，因为BC²+BD²=1²+(2√2)²=1+8=9=3²=CD²，所以△BCD是直角三角形，∠CBD=90°。在等腰Rt△ABD中，∠ABD=45°，则∠ABC=∠ABD+∠CBD=45°+90°=135°。四边形内角和为360°，故∠C+∠D=360°-∠A-∠ABC=360°-90°-135°=135°。

4. 如图，将四边形纸片 $ABCD$ 沿 $MN$ 折叠，使点 $A$ 落在四边形 $CDMN$ 外点 $A'$ 的位置，点 $B$ 落在四边形 $CDMN$ 内点 $B'$ 的位置，若 $∠ D = 90^{\circ}$，$∠ 2 - ∠ 1 = 36^{\circ}$，求 $∠ C$ 的度数。

72°

∵折叠，∴∠AMN=∠A'MN=θ，∠BMN=∠B'MN=φ。
∵A'在四边形CDMN外，∴∠1=∠A'MD=2θ-180°，则θ=(∠1+180°)/2。
∵B'在四边形CDMN内，∴∠2=∠B'NC=180°-2φ，則φ=(180°-∠2)/2。
四边形ABMN内角和为360°，∴∠A+∠B+θ+φ=360°。
∴∠A+∠B=360°-θ-φ=360°-[(∠1+180°)/2+(180°-∠2)/2]。
∵∠2-∠1=36°，即∠1-∠2=-36°，
∴∠A+∠B=360°-[(-36°+360°)/2]=360°-162°=198°。
四边形ABCD内角和为360°，∠D=90°，
∴∠A+∠B+∠C+90°=360°，即198°+∠C+90°=360°。
∴∠C=72°。