登录
2. 如图,将边长为8的正方形纸片 ABCD 折叠,使点 D 落在 BC 边中点 E 处,点 A 落在点 F 处,折痕为 MN,则线段 CN 的长度为()
A.2.5
B.3
C.$2\sqrt {3}$
D.4
A.2.5
B.3
C.$2\sqrt {3}$
D.4
答案
B
解析
设$CN=x$，则$DN=EN=8-x$。
$E$是$BC$的中点，$BC=8$，故$CE=\frac{BC}{2}=4$。
在直角$△ ECN$中，根据勾股定理，有：
$EN^2 = EC^2 + CN^2$，
代入已知及所设，得：
$(8-x)^2 = 4^2 + x^2$，
$64 - 16x + x^2 = 16 + x^2$，
$64 - 16x = 16$，
$16x = 48$，
$x = 3$。
所以，线段$CN$的长度是3。
$E$是$BC$的中点，$BC=8$，故$CE=\frac{BC}{2}=4$。
在直角$△ ECN$中，根据勾股定理，有：
$EN^2 = EC^2 + CN^2$，
代入已知及所设，得：
$(8-x)^2 = 4^2 + x^2$，
$64 - 16x + x^2 = 16 + x^2$，
$64 - 16x = 16$，
$16x = 48$，
$x = 3$。
所以，线段$CN$的长度是3。
3. 如图1为传统建筑中的一种窗格,图2为其窗框的示意图,多边形 ABCDEFGH 为正八边形,连接 AC,BD,AC 与 BD 交于点 M,则$∠AMB=$.
答案
45°
解析
正八边形内角和为$(8-2)×180°=1080°$，每个内角为$1080°÷8=135°$，即$∠ ABC=∠ BCD=135°$。在$△ ABC$中，$AB=BC$（正八边形边长相等），故$∠ BAC=∠ BCA=(180°-135°)÷2=22.5°$。在$△ BCD$中，$BC=CD$，故$∠ CBD=∠ CDB=(180°-135°)÷2=22.5°$。在$△ ABM$中，$∠ ABM=∠ ABC-∠ CBD=135°-22.5°=112.5°$，$∠ BAM=22.5°$，则$∠ AMB=180°-112.5°-22.5°=45°$。
4. 如图,菱形 ABCD 的边长为10 cm,$∠ABC=120^{\circ }$,P 是对角线 AC 上的一个动点,N 是 BC 边上的一个动点,则$PB+PN$的最小值为.
答案
5√3
解析
作点B关于AC的对称点D（菱形对角线AC为对称轴，B与D对称），则PB=PD，故PB+PN=PD+PN。当N为D到BC的垂足，P为DN与AC交点时，PD+PN最小，即点D到BC的距离。
在菱形ABCD中，∠ABC=120°，则∠BCD=60°，CD=10cm。过D作BC垂线，垂足为M，在Rt△DMC中，DM=CD·sin60°=10×(√3/2)=5√3 cm。
在菱形ABCD中，∠ABC=120°，则∠BCD=60°，CD=10cm。过D作BC垂线，垂足为M，在Rt△DMC中，DM=CD·sin60°=10×(√3/2)=5√3 cm。
5. 如图,在$□ ABCD$中,$CE⊥AD$于点 E,且$CB=CE$,F 为 CD 边上的一点,$CB=CF$,连接 BF 交 CE 于点 G.
(1)若$∠D=60^{\circ },CF=2\sqrt {3}$,求 CG 的长;
(2)求证:$AB=ED+CG.$
(1)若$∠D=60^{\circ },CF=2\sqrt {3}$,求 CG 的长;
(2)求证:$AB=ED+CG.$
答案
(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠BCD=180°-∠D=120°。
∵CE⊥AD，∠D=60°，∴∠ECD=30°，CE=CB=CF=2√3。
在Rt△CED中，CE=CD·sin60°，即2√3=CD·(√3/2)，解得CD=4。
∵CB=CF，∴△CBF为等腰三角形，∠CBF=∠CFB。
∠BCF=120°，∴∠CBF=(180°-120°)/2=30°。
∵CE⊥BC，∴∠BCE=90°。在Rt△BCG中，tan∠CBF=CG/BC，即tan30°=CG/(2√3)，
∴CG=2√3×(√3/3)=2。
(2) 设CE=CB=AD=a，∠D=θ，则CD=AB。
在Rt△CED中，ED=CE·cotθ=a cotθ，CD=CE/sinθ=a/sinθ。
∵CB=CF，∠BCF=180°-θ，∴∠CBF=θ/2。
在Rt△BCG中，CG=CB·tan(θ/2)=a tan(θ/2)。
∵cotθ + tan(θ/2)=cosθ/sinθ + sin(θ/2)/cos(θ/2)=[cosθ(1+cosθ)+sin²θ]/[sinθ(1+cosθ)]=1/sinθ，
∴ED + CG=a cotθ + a tan(θ/2)=a/sinθ=CD=AB，即AB=ED+CG。
(1) CG=2；(2) 证明见上。
∵CE⊥AD，∠D=60°，∴∠ECD=30°，CE=CB=CF=2√3。
在Rt△CED中，CE=CD·sin60°，即2√3=CD·(√3/2)，解得CD=4。
∵CB=CF，∴△CBF为等腰三角形，∠CBF=∠CFB。
∠BCF=120°，∴∠CBF=(180°-120°)/2=30°。
∵CE⊥BC，∴∠BCE=90°。在Rt△BCG中，tan∠CBF=CG/BC，即tan30°=CG/(2√3)，
∴CG=2√3×(√3/3)=2。
(2) 设CE=CB=AD=a，∠D=θ，则CD=AB。
在Rt△CED中，ED=CE·cotθ=a cotθ，CD=CE/sinθ=a/sinθ。
∵CB=CF，∠BCF=180°-θ，∴∠CBF=θ/2。
在Rt△BCG中，CG=CB·tan(θ/2)=a tan(θ/2)。
∵cotθ + tan(θ/2)=cosθ/sinθ + sin(θ/2)/cos(θ/2)=[cosθ(1+cosθ)+sin²θ]/[sinθ(1+cosθ)]=1/sinθ，
∴ED + CG=a cotθ + a tan(θ/2)=a/sinθ=CD=AB，即AB=ED+CG。
(1) CG=2；(2) 证明见上。
1. (2025·湖北)如图,平行四边形 ABCD 的对角线交点在原点. 若$A(-1,2),$则点 C 的坐标是()
A.$(2,-1)$
B.$(-2,1)$
C.$(1,-2)$
D.$(-1,-2)$
A.$(2,-1)$
B.$(-2,1)$
C.$(1,-2)$
D.$(-1,-2)$
答案
C
解析
在平行四边形中，对角线互相平分。因为平行四边形ABCD的对角线交点在原点，所以点A与点C关于原点对称。已知A(-1,2)，关于原点对称的点的坐标特点是横、纵坐标都互为相反数，所以点C的坐标是(1,-2)。
2. (2025·河北)如图,将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,点 A 落在$A'$处,$A'D$交 BC 于点 E. 将$△CDE$沿 DE 折叠,点 C 落在$△BDE$内的$C'$处. 下列结论一定正确的是()
A.$∠1=45^{\circ }-α $
B.$∠1=α $
C.$∠2=90^{\circ }-α $
D.$∠2=2α $
A.$∠1=45^{\circ }-α $
B.$∠1=α $
C.$∠2=90^{\circ }-α $
D.$∠2=2α $
答案
D
解析
设∠CDE=α，由折叠性质知∠C'DE=α，故∠CDC'=2α。
∵ABCD是矩形，AD//BC，∴∠ADB=∠DBC。
沿BD折叠后，∠A'DB=∠ADB=∠DBC，设∠DBC=β，则∠BED=180°-2β。
∠BED是△DEC的外角，∠BED=∠CDE+∠C=α+90°，∴180°-2β=α+90°，得β=(90°-α)/2。
∠BDC=90°-β=(90°+α)/2，∠C'DB=∠BDC-∠CDC'=(90°+α)/2-2α=(90°-3α)/2（此步可略）。
由第二次折叠，∠C'=∠C=90°，∠C'ED=∠CED=180°-∠BED=180°-(α+90°)=90°-α。
∠2=∠BED-∠C'ED=(α+90°)-(90°-α)=2α。
∵ABCD是矩形，AD//BC，∴∠ADB=∠DBC。
沿BD折叠后，∠A'DB=∠ADB=∠DBC，设∠DBC=β，则∠BED=180°-2β。
∠BED是△DEC的外角，∠BED=∠CDE+∠C=α+90°，∴180°-2β=α+90°，得β=(90°-α)/2。
∠BDC=90°-β=(90°+α)/2，∠C'DB=∠BDC-∠CDC'=(90°+α)/2-2α=(90°-3α)/2（此步可略）。
由第二次折叠，∠C'=∠C=90°，∠C'ED=∠CED=180°-∠BED=180°-(α+90°)=90°-α。
∠2=∠BED-∠C'ED=(α+90°)-(90°-α)=2α。
3. (2025·北京)如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在边 CD 上,$CF⊥BE$,垂足为 F. 若$AB=1,$$∠EBC=30^{\circ }$,则$△ABF$的面积为.
答案
3/8
解析
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)。点E在CD上，设E(e,1)。∠EBC=30°，在Rt△BCE中，BC=1，CE=BC·tan30°=√3/3，故e=1-√3/3，E(1-√3/3,1)。直线BE斜率k=(1-0)/(1-√3/3 -1)=-√3，方程：y=-√3(x-1)。CF⊥BE，CF斜率=1/√3，方程：y-1=(1/√3)(x-1)。联立解得F(1-√3/4,3/4)。△ABF中，AB=1，高为F的纵坐标3/4，面积=1/2×1×3/4=3/8。
