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(3)一辆货车车厢是一个长方体,从里面量它的长是$4\ m$,宽是$1.5\ m$,高是$4\ m$。给它装满一车沙,卸后沙堆形成一个高是$15\ dm$的圆锥形,这个沙堆的底面积是多少平方米?
答案
4×1.5×4=24(m³)
15dm=1.5 m
24×3÷1.5=48(m²)
答：这个沙堆的底面积是48平方米。
15dm=1.5 m
24×3÷1.5=48(m²)
答：这个沙堆的底面积是48平方米。
解析
【解析】
1. 计算长方体车厢内沙的体积，根据长方体体积公式$V = 长×宽×高$，可得：
$4×1.5×4 = 24(m³)$
2. 进行单位换算：$15dm = 1.5m$
3. 由于沙的体积不变，圆锥体积等于长方体体积，根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，推导得出底面积公式$S = 3V÷h$，代入数据计算：
$24×3÷1.5 = 48(m²)$
【答案】
48平方米
【知识点】
长方体体积计算、圆锥体积计算、单位换算
【点评】
本题考查等积变形问题，关键是抓住沙的体积不变这一核心，灵活运用长方体和圆锥的体积公式求解，同时注意计算时单位要统一。
1. 计算长方体车厢内沙的体积，根据长方体体积公式$V = 长×宽×高$，可得：
$4×1.5×4 = 24(m³)$
2. 进行单位换算：$15dm = 1.5m$
3. 由于沙的体积不变，圆锥体积等于长方体体积，根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，推导得出底面积公式$S = 3V÷h$，代入数据计算：
$24×3÷1.5 = 48(m²)$
【答案】
48平方米
【知识点】
长方体体积计算、圆锥体积计算、单位换算
【点评】
本题考查等积变形问题，关键是抓住沙的体积不变这一核心，灵活运用长方体和圆锥的体积公式求解，同时注意计算时单位要统一。
(4)有一个圆锥形沙堆,底面积是$3.6\ m^{2}$,高是$2\ m$。将这些沙铺在一个长$4\ m$、宽$2\ m$的长方体沙坑里,能铺多厚?
答案
3.6×2÷3=2.4(m³)
2.4÷(4×2)=0.3(m)
答：能铺0.3 m厚。
2.4÷(4×2)=0.3(m)
答：能铺0.3 m厚。
解析
【解析】
首先根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，计算圆锥形沙堆的体积：
$3.6×2÷3 = 2.4(m^3)$
因为沙的体积不变，将沙铺在长方体沙坑中，厚度等于沙的体积除以长方体沙坑的底面积。先计算长方体沙坑的底面积$4×2 = 8(m^2)$，再求厚度：
$2.4÷(4×2) = 0.3(m)$
【答案】
0.3 m
【知识点】
圆锥体积计算、长方体体积计算、等积变形
【点评】
本题考查圆锥与长方体体积公式的实际应用，关键是抓住沙的体积不变这一核心，运用等积变形的思想解决实际问题，需熟练掌握两种立体图形的体积公式。
首先根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，计算圆锥形沙堆的体积：
$3.6×2÷3 = 2.4(m^3)$
因为沙的体积不变，将沙铺在长方体沙坑中，厚度等于沙的体积除以长方体沙坑的底面积。先计算长方体沙坑的底面积$4×2 = 8(m^2)$，再求厚度：
$2.4÷(4×2) = 0.3(m)$
【答案】
0.3 m
【知识点】
圆锥体积计算、长方体体积计算、等积变形
【点评】
本题考查圆锥与长方体体积公式的实际应用，关键是抓住沙的体积不变这一核心，运用等积变形的思想解决实际问题，需熟练掌握两种立体图形的体积公式。
(5)冷饮公司今年夏天要生产如图的冰淇淋。装一个至少需要多少立方厘米的冰淇淋?
答案
3.14×3²×(4+9)÷3=122.46(cm³)
答：装一个至少需要122.46立方厘米的冰淇淋。
解析
【解析】
该冰淇淋由两个等底的圆锥组成，所需冰淇淋的体积为两个圆锥的体积和。因为两个圆锥底面积相同，可结合圆锥体积公式$ V=\frac{1}{3}π r^2h $，将两个圆锥的高合并计算：
$\begin{aligned}V&=3.14×3^2×(4+9)÷3\\&=3.14×9×13÷3\\&=122.46(\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
【答案】
装一个至少需要122.46立方厘米的冰淇淋。
【知识点】
圆锥体积计算、组合图形体积计算
【点评】
解题时可利用两个圆锥底面积相等的特点，合并高来计算总体积，简化运算，需熟练掌握圆锥的体积公式。
该冰淇淋由两个等底的圆锥组成，所需冰淇淋的体积为两个圆锥的体积和。因为两个圆锥底面积相同，可结合圆锥体积公式$ V=\frac{1}{3}π r^2h $，将两个圆锥的高合并计算：
$\begin{aligned}V&=3.14×3^2×(4+9)÷3\\&=3.14×9×13÷3\\&=122.46(\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
【答案】
装一个至少需要122.46立方厘米的冰淇淋。
【知识点】
圆锥体积计算、组合图形体积计算
【点评】
解题时可利用两个圆锥底面积相等的特点，合并高来计算总体积，简化运算，需熟练掌握圆锥的体积公式。
(6)航模小组制作了一个火箭助推器模型。它的上部是圆锥形,下部是圆柱形。这个火箭助推器模型的体积是多少?
答案
10÷2=5(厘米)
底面面积：5×5×3.14=78.5(平方厘米)
圆锥体积：78.5×6÷3=157(立方厘米)
圆柱体积：78.5×30=2355(立方厘米)
157+2355=2512(立方厘米)
答：体积是2512立方厘米。
底面面积：5×5×3.14=78.5(平方厘米)
圆锥体积：78.5×6÷3=157(立方厘米)
圆柱体积：78.5×30=2355(立方厘米)
157+2355=2512(立方厘米)
答：体积是2512立方厘米。
解析
【解析】
1. 计算底面半径：$10÷2=5$（厘米）
2. 计算底面面积：$5×5×3.14=78.5$（平方厘米）
3. 计算圆锥体积：$78.5×6÷3=157$（立方厘米）
4. 计算圆柱体积：$78.5×30=2355$（立方厘米）
5. 计算模型总体积：$157+2355=2512$（立方厘米）
【答案】
2512立方厘米
【知识点】
圆锥体积计算、圆柱体积计算、组合体体积计算
【点评】
本题需分别求出圆锥和圆柱的体积，再将两部分体积相加得到组合体的总体积，解题关键是熟练掌握圆锥和圆柱的体积计算公式。
1. 计算底面半径：$10÷2=5$（厘米）
2. 计算底面面积：$5×5×3.14=78.5$（平方厘米）
3. 计算圆锥体积：$78.5×6÷3=157$（立方厘米）
4. 计算圆柱体积：$78.5×30=2355$（立方厘米）
5. 计算模型总体积：$157+2355=2512$（立方厘米）
【答案】
2512立方厘米
【知识点】
圆锥体积计算、圆柱体积计算、组合体体积计算
【点评】
本题需分别求出圆锥和圆柱的体积，再将两部分体积相加得到组合体的总体积，解题关键是熟练掌握圆锥和圆柱的体积计算公式。
7. 把一个棱长是$3\ dm$的正方体木块削成一个最大的圆柱,把这个圆柱再削成一个最大的圆锥。
(1)圆柱的体积是多少?表面积是多少?
(2)圆锥的体积是多少?
(1)圆柱的体积是多少?表面积是多少?
(2)圆锥的体积是多少?
答案
体积：3.14×(3÷2)²×3=21.195(dm³)
表面积：3.14×(3÷2)²×2+3.14×3×3=42.39(dm²)
答：圆柱的体积是21.195dm³；表面积
是42.39dm²。
21.195÷3=7.065(dm³) 答：圆锥的体积是7.065dm³。
表面积：3.14×(3÷2)²×2+3.14×3×3=42.39(dm²)
答：圆柱的体积是21.195dm³；表面积
是42.39dm²。
21.195÷3=7.065(dm³) 答：圆锥的体积是7.065dm³。
解析
【解析】
(1) 把正方体削成最大圆柱，圆柱的底面直径和高均等于正方体的棱长，即底面直径$d=3\ dm$，高$h=3\ dm$，底面半径$r=3÷2=1.5\ dm$。
圆柱体积：根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，代入数值计算得$3.14×(3÷2)^2×3=21.195\ (dm^3)$。
圆柱表面积：根据圆柱表面积公式$S=2π r^2+π dh$，代入数值计算得$3.14×(3÷2)^2×2+3.14×3×3=42.39\ (dm^2)$。
(2) 把圆柱削成最大圆锥，圆锥与圆柱等底等高，圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，因此圆锥体积为$21.195÷3=7.065\ (dm^3)$。
【答案】
(1) 圆柱的体积是$21.195\ dm^3$，表面积是$42.39\ dm^2$；
(2) 圆锥的体积是$7.065\ dm^3$。
【知识点】
圆柱体积计算、圆柱表面积计算、圆锥体积计算
【点评】
本题考查正方体削成最大圆柱、圆锥的相关计算，关键是确定最大圆柱的底面直径和高等于正方体棱长，且等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，需熟练掌握圆柱和圆锥的体积、表面积公式。
(1) 把正方体削成最大圆柱，圆柱的底面直径和高均等于正方体的棱长，即底面直径$d=3\ dm$，高$h=3\ dm$，底面半径$r=3÷2=1.5\ dm$。
圆柱体积：根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，代入数值计算得$3.14×(3÷2)^2×3=21.195\ (dm^3)$。
圆柱表面积：根据圆柱表面积公式$S=2π r^2+π dh$，代入数值计算得$3.14×(3÷2)^2×2+3.14×3×3=42.39\ (dm^2)$。
(2) 把圆柱削成最大圆锥，圆锥与圆柱等底等高，圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，因此圆锥体积为$21.195÷3=7.065\ (dm^3)$。
【答案】
(1) 圆柱的体积是$21.195\ dm^3$，表面积是$42.39\ dm^2$；
(2) 圆锥的体积是$7.065\ dm^3$。
【知识点】
圆柱体积计算、圆柱表面积计算、圆锥体积计算
【点评】
本题考查正方体削成最大圆柱、圆锥的相关计算，关键是确定最大圆柱的底面直径和高等于正方体棱长，且等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，需熟练掌握圆柱和圆锥的体积、表面积公式。
