变式训练 如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$CD$ 上的点，且 $AE = CF$，$DE$，$BF$ 分别交 $AC$ 于点 $G$，$H$. 求证：
（1）$DE // BF$；
（2）$AG = CH$.

【解析】：（1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
∵AE=CF，
∴AB - AE = CD - CF，即EB=DF。又
∵EB//DF（AB//CD），
∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DE//BF。
（2）
∵DE//BF，
∴∠AGE=∠CHF（两直线平行，内错角相等）。
∵AB//CD，
∴∠EAG=∠FCH（两直线平行，内错角相等）。在△AEG和△CFH中，∠EAG=∠FCH，AE=CF，∠AGE=∠CHF，
∴△AEG≌△CFH（ASA），
∴AG=CH。
【答案】：（1）DE//BF得证；（2）AG=CH得证。

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD。∵AE=CF，∴AB - AE = CD - CF，即EB=DF。又∵EB//DF（AB//CD），∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴DE//BF。
（2）∵DE//BF，∴∠AGE=∠CHF（两直线平行，内错角相等）。∵AB//CD，∴∠EAG=∠FCH（两直线平行，内错角相等）。在△AEG和△CFH中，∠EAG=∠FCH，AE=CF，∠AGE=∠CHF，∴△AEG≌△CFH（ASA），∴AG=CH。

1. 如图，$E$ 是平行四边形 $ABCD$ 边 $AD$ 延长线上一点，连接 $BE$，$CE$，$BD$，其中 $BE$ 交 $CD$ 于点 $F$. 添加以下条件，不能判定四边形 $BCED$ 为平行四边形的是()


A.$BD // CE$
B.$DE = BC$
C.$∠ AEC = ∠ CBD$
D.$∠ AEB = ∠ BCD$

D

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC。∵E在AD延长线上，∴DE//BC。
选项A：BD//CE，又DE//BC，两组对边分别平行，可判定BCED为平行四边形；
选项B：DE=BC，又DE//BC，一组对边平行且相等，可判定BCED为平行四边形；
选项C：∠AEC=∠CBD，∵DE//BC，∴∠EDB=∠CBD（内错角），∴∠AEC=∠EDB，∴BD//CE（内错角相等），又DE//BC，可判定BCED为平行四边形；
选项D：∠AEB=∠BCD，无法直接推出BCED对边平行或相等，不能判定为平行四边形。

2. 现有一张平行四边形纸片 $ABCD$，$AD ＞ AB$，要求用尺规作图的方法在边 $BC$，$AD$ 上分别找点 $M$，$N$，使得四边形 $AMCN$ 为平行四边形. 甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是()


A.甲对、乙不对
B.甲不对、乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都不对

C

对于甲同学的作法：在平行四边形$ABCD$中，对角线$AC$互相平分（设交点为$O$）。甲的作图可能是过$AC$中点$O$作直线交$AD$于$N$，交$BC$于$M$，则$OA=OC$，由$AD// BC$得$∠ OAN=∠ OCM$，$∠ AON=∠ COM$，可证$△ AON≌△ COM$，得$ON=OM$，故四边形$AMCN$对角线互相平分，是平行四边形。
对于乙同学的作法：乙的作图可能是在$AD$、$BC$上分别截取$AN=MC$，因为$AD// BC$，所以$AN// MC$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故四边形$AMCN$是平行四边形。
综上，甲、乙都对。

3. 如图，在等边三角形 $ABC$ 中，$BC = 6\ \mathrm{cm}$，射线 $AG // BC$，点 $E$ 从点 $A$ 出发沿射线 $AG$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动，点 $F$ 从点 $B$ 出发沿射线 $BC$ 以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动. 如果点 $E$，$F$ 同时出发，设运动时间为 $t(\mathrm{s})$，当 $t =\_\_\_\_\_\_\mathrm{s}$ 时，以 $A$，$C$，$E$，$F$ 为顶点的四边形是平行四边形.

【解析】：
∵AG//BC，
∴AE//CF。要使四边形ACEF为平行四边形，需AE=CF。
点E运动路程AE=t cm，点F运动路程BF=2t cm。
当F在BC上（0≤t≤3）时，CF=BC-BF=6-2t，由AE=CF得t=6-2t，解得t=2；
当F在BC延长线上（t＞3）时，CF=BF-BC=2t-6，由AE=CF得t=2t-6，解得t=6。
综上，t=2或6。
【答案】：2或6

∵AG//BC，∴AE//CF。要使四边形ACEF为平行四边形，需AE=CF。
点E运动路程AE=t cm，点F运动路程BF=2t cm。
当F在BC上（0≤t≤3）时，CF=BC-BF=6-2t，由AE=CF得t=6-2t，解得t=2；
当F在BC延长线上（t＞3）时，CF=BF-BC=2t-6，由AE=CF得t=2t-6，解得t=6。
综上，t=2或6。

4. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB // CD$，点 $E$ 在边 $AB$ 上，. 请从“① $∠ B = ∠ AED$；② $AE = BE$，$AE = CD$”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：
(1)选(填序号)，求证：四边形 $BCDE$ 为平行四边形；
(2)若 $AD ⊥ AB$，$AD = 8$，$BC = 10$，求 $△ ADE$ 的面积.

选 ①（或 ②，此处以①为例）。
(1)
∵$AB// CD$，
∴$∠ B+∠ BCD=180^{\circ}$，$∠ AED=∠ EDC$，
∵$∠ AED=∠ B$，
∴$∠ B=∠ EDC$，
∴$DE// BC$，
又∵$AB// CD$即$BE// CD$，
根据平行四边形判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴四边形$BCDE$为平行四边形。
(2)
由(1)知，四边形$BCDE$为平行四边形，
∴$DE// BC$，$DE=BC=10$，
∵$AD⊥ AB$，
∴$∠ A=90^{\circ}$，
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理，得
$AE=\sqrt{DE^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$，
根据直角三角形面积公式：$S = \frac {1}{2} × \mathrm{底} × \mathrm{高}$，
∴$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AE· AD=\frac{1}{2}× 6× 8=24$。