1. 一组对边的四边形是平行四边形.

平行且相等

根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

2. 平行四边形的判定思路

思考 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形吗？

【解析】：
1. 对于“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？”
这样的四边形不一定是平行四边形。例如等腰梯形，它的一组对边平行（上底和下底平行），另一组对边相等（两腰相等），但等腰梯形不是平行四边形。
2. 对于“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形吗？”
这样的四边形不一定是平行四边形。可以通过画图，构造出满足一组对边相等，一组对角相等但不是平行四边形的四边形来进行说明。
【答案】：都不是（答案以题目要求形式，这里假设是判断上述说法是否正确类型的题，若不是则可根据实际调整为对应选项）

1. 对于“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？”
这样的四边形不一定是平行四边形。例如等腰梯形，它的一组对边平行（上底和下底平行），另一组对边相等（两腰相等），但等腰梯形不是平行四边形。
2. 对于“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形吗？”
这样的四边形不一定是平行四边形。可以通过画图，构造出满足一组对边相等，一组对角相等但不是平行四边形的四边形来进行说明。

练习 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = 4$，$BC = 6$，$∠ ABD = ∠ CDB = 32^{\circ}$. 要使四边形 $ABCD$ 为平行四边形，可以添加条件()


A.$BD = 8$
B.$∠ CBD = 32^{\circ}$
C.$CD = 4$
D.$AD = 6$

C

已知$∠ABD=∠CDB=32^{\circ}$，所以$AB// CD$，
如果$CD=AB=4$，
那么四边形$ABCD$是平行四边形。
所以，添加条件$CD=4$即可。

例 1 如图，$△ ABC$ 为等边三角形，$D$，$F$ 分别为 $BC$，$AB$ 上的点，且 $CD = BF$，连接 $AD$，$CF$.
（1）求证：$△ ACD ≌ △ CBF$；
（2）以 $AD$ 为边作等边三角形 $△ ADE$，连接 $EF$，判断四边形 $CDEF$ 的形状，并说明理由.

（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠ACD=∠B=60°。在△ACD和△CBF中，AC=CB，∠ACD=∠CBF，CD=BF，∴△ACD≌△CBF（SAS）。
（2）四边形CDEF为平行四边形。理由如下：由（1）知△ACD≌△CBF，∴AD=CF。∵△ADE为等边三角形，∴AD=DE，∠ADE=60°，∴CF=DE。∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=60°。∵CD=BF，∴AF=AB-BF=BC-CD=BD。∵△ADE为等边三角形，∴AE=AD，∠DAE=60°=∠BAC，∴∠EAF=∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE=∠BAD。在△AEF和△ADB中，AE=AD，∠EAF=∠DAB，AF=BD，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴EF=BD=CD，∠AEF=∠ADB。∵∠ADB+∠ADC=180°，∠ADE=60°，∴∠EDC=180°-∠ADC-∠ADE=∠ADB-60°。∵∠AEF=∠ADB，∠AED=60°，∴∠FED=∠AEF-∠AED=∠ADB-60°=∠EDC，∴EF//CD。∵EF=CD且EF//CD，∴四边形CDEF为平行四边形。

变式训练 如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是 $AB$ 和 $CD$ 上的点，$AE = CF$，$M$，$N$ 分别是 $DE$ 和 $BF$ 的中点. 求证：
（1）$△ ADE ≌ △ CBF$；
（2）四边形 $ENFM$ 是平行四边形.

【解析】：（1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C，AB=CD。
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）。
（2）由（1）得△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，∠AED=∠CFB。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠CFB=∠ABF（两直线平行，内错角相等），
∴∠AED=∠ABF，
∴DE//BF（同位角相等，两直线平行）。
∵M，N分别是DE，BF的中点，
∴ME=1/2DE，NF=1/2BF，又DE=BF，
∴ME=NF。
∵ME//NF且ME=NF，
∴四边形ENFM是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】：（1）见解析；（2）见解析

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠A=∠C，AB=CD。∵AE=CF，∴△ADE≌△CBF（SAS）。
（2）由（1）得△ADE≌△CBF，∴DE=BF，∠AED=∠CFB。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠CFB=∠ABF（两直线平行，内错角相等），∴∠AED=∠ABF，∴DE//BF（同位角相等，两直线平行）。∵M，N分别是DE，BF的中点，∴ME=1/2DE，NF=1/2BF，又DE=BF，∴ME=NF。∵ME//NF且ME=NF，∴四边形ENFM是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

例 2 如图，已知 $G$，$H$ 是 $△ ABC$ 的边 $AC$ 的三等分点，$EG // BH$，交 $AB$ 于点 $E$，$HF // BG$，交 $BC$ 于点 $F$，延长 $EG$，$FH$ 交于点 $D$，连接 $AD$，$DC$，设 $AC$ 和 $BD$ 交于点 $O$，求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形.

证明：
∵ $EG // BH$，$HF // BG$，即 $DG // BH$，$DH // BG$，
∴ 四边形 $BGDH$ 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∴ 平行四边形 $BGDH$ 的对角线互相平分，即 $BD$ 与 $GH$ 互相平分。
设 $BD$ 与 $GH$ 交于点 $O$，则 $BO=OD$，$GO=OH$。
∵ $G$，$H$ 是 $AC$ 的三等分点，
∴ $AG=GH=HC$。设 $AG=GH=HC=x$，则 $AC=3x$，$GH=x$。
∴ $GO=OH=\frac{1}{2}GH=\frac{x}{2}$。
∴ $AO=AG+GO=x+\frac{x}{2}=\frac{3x}{2}$，
$OC=OH+HC=\frac{x}{2}+x=\frac{3x}{2}$。
∴ $AO=OC$。
∵ $AO=OC$ 且 $BO=OD$，
∴ 四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 互相平分。
∴ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。