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1. 如图，一次函数 $ y = x + 4 $ 的图象与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $，$ B $，点 $ C(-2,0) $ 是 $ x $ 轴上一点，点 $ E $，$ F $ 分别为直线 $ y = x + 4 $ 和 $ y $ 轴上的两个动点，当 $ △ CEF $ 的周长最小时，点 $ E $，$ F $ 的坐标分别为(
A.$ E(-\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{2}) $，$ F(0,2) $
B.$ E(-2,2) $，$ F(0,2) $
C.$ E(-\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{2}) $，$ F(0,\dfrac{2}{3}) $
D.$ E(-2,2) $，$ F(0,\dfrac{2}{3}) $
C
)A.$ E(-\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{2}) $，$ F(0,2) $
B.$ E(-2,2) $，$ F(0,2) $
C.$ E(-\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{2}) $，$ F(0,\dfrac{2}{3}) $
D.$ E(-2,2) $，$ F(0,\dfrac{2}{3}) $
答案
1. C
解析
【解析】
1. 求一次函数与坐标轴交点：对于$y=x+4$，令$y=0$得$A(-4,0)$，令$x=0$得$B(0,4)$。
2. 作对称点：
点$C(-2,0)$关于$y$轴的对称点为$C_2(2,0)$；
设$C$关于直线$y=x+4$的对称点为$C_1(a,b)$，由中点在直线上且连线与直线垂直，得$\begin{cases}\dfrac{b}{2}=\dfrac{a-2}{2}+4\\\dfrac{b}{a+2}=-1\end{cases}$，解得$C_1(-4,2)$。
3. 求直线$C_1C_2$的方程：斜率$k=\dfrac{0-2}{2-(-4)}=-\dfrac{1}{3}$，方程为$y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}$。
4. 求交点：
直线$C_1C_2$与$y$轴交点$F$：令$x=0$，得$y=\dfrac{2}{3}$，即$F(0,\dfrac{2}{3})$；
联立$\begin{cases}y=x+4\\y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}\end{cases}$，解得$x=-\dfrac{5}{2}$，$y=\dfrac{3}{2}$，即$E(-\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{2})$。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题，一次函数交点，对称点坐标
【点评】
本题考查利用对称点求三角形周长最小值，核心是将线段和转化为两点间线段最短，需熟练掌握对称点的求法及一次函数交点的计算。
【难度系数】
0.4
1. 求一次函数与坐标轴交点：对于$y=x+4$，令$y=0$得$A(-4,0)$，令$x=0$得$B(0,4)$。
2. 作对称点：
点$C(-2,0)$关于$y$轴的对称点为$C_2(2,0)$；
设$C$关于直线$y=x+4$的对称点为$C_1(a,b)$，由中点在直线上且连线与直线垂直，得$\begin{cases}\dfrac{b}{2}=\dfrac{a-2}{2}+4\\\dfrac{b}{a+2}=-1\end{cases}$，解得$C_1(-4,2)$。
3. 求直线$C_1C_2$的方程：斜率$k=\dfrac{0-2}{2-(-4)}=-\dfrac{1}{3}$，方程为$y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}$。
4. 求交点：
直线$C_1C_2$与$y$轴交点$F$：令$x=0$，得$y=\dfrac{2}{3}$，即$F(0,\dfrac{2}{3})$；
联立$\begin{cases}y=x+4\\y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}\end{cases}$，解得$x=-\dfrac{5}{2}$，$y=\dfrac{3}{2}$，即$E(-\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{2})$。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题，一次函数交点，对称点坐标
【点评】
本题考查利用对称点求三角形周长最小值，核心是将线段和转化为两点间线段最短，需熟练掌握对称点的求法及一次函数交点的计算。
【难度系数】
0.4
2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $ OABC $ 的顶点 $ A $ 的坐标为 $ (4,0) $，顶点 $ C $ 的坐标为 $ (0,3) $，直线 $ y = -\dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{2} $ 交 $ OA $ 于点 $ D $，交 $ BC $ 于点 $ E $，动点 $ P $ 从点 $ O $ 出发，以 $ 2 $ 个单位长度每秒的速度沿 $ OA \to AB $ 运动，到点 $ B $ 停止，设 $ △ PDE $ 的面积为 $ S $，点 $ P $ 的运动时间为 $ t $（单位：$ s $）。（规定：当点 $ P $ 与点 $ D $ 重合时，记 $ S = 0 $。）
（1）求点 $ D $ 和点 $ E $ 的坐标。
（2）求 $ S $ 关于 $ t $ 的函数解析式，并写出 $ t $ 的取值范围。
（3）当点 $ P $ 在边 $ AB $ 上运动，且 $ PD + PE $ 的值最小时，请求出直线 $ EP $ 对应的函数解析式。
（1）求点 $ D $ 和点 $ E $ 的坐标。
（2）求 $ S $ 关于 $ t $ 的函数解析式，并写出 $ t $ 的取值范围。
（3）当点 $ P $ 在边 $ AB $ 上运动，且 $ PD + PE $ 的值最小时，请求出直线 $ EP $ 对应的函数解析式。
答案
2. 解：(1) 点 D 的坐标为 (3,0)，点 E 的坐标为 (1,3)。
(2) $ S = \begin{cases} -3t + \dfrac{9}{2} (0 ≤ t ＜ \dfrac{3}{2}), \\ 3t - \dfrac{9}{2} (\dfrac{3}{2} ≤ t ≤ 2), \\ 2t - \dfrac{5}{2} (2 ＜ t ≤ \dfrac{7}{2}). \end{cases} $
(3) 直线 EP 对应的函数解析式为 $ y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{15}{4} $。
(2) $ S = \begin{cases} -3t + \dfrac{9}{2} (0 ≤ t ＜ \dfrac{3}{2}), \\ 3t - \dfrac{9}{2} (\dfrac{3}{2} ≤ t ≤ 2), \\ 2t - \dfrac{5}{2} (2 ＜ t ≤ \dfrac{7}{2}). \end{cases} $
(3) 直线 EP 对应的函数解析式为 $ y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{15}{4} $。
解析
【解析】
（1）求点D和E的坐标：
对于点D：OA在x轴上，$y=0$，将$y=0$代入直线$y = -\dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{2}$，得$0 = -\dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{2}$，解得$x=3$，故$D(3,0)$。
对于点E：BC上的点纵坐标为3（矩形OABC中$C(0,3)$），将$y=3$代入直线方程，得$3 = -\dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{2}$，解得$x=1$，故$E(1,3)$。
（2）求$S$关于$t$的函数解析式：
动点P的运动分三段：
① 当$0 ≤ t ＜ \dfrac{3}{2}$时，P在OA上，$OP=2t$，$PD=3-2t$，△PDE的高为3，面积$S=\dfrac{1}{2} × PD × 3 = \dfrac{1}{2}(3-2t) × 3 = -3t + \dfrac{9}{2}$；
② 当$\dfrac{3}{2} ≤ t ≤ 2$时，P在OA上，$PD=2t-3$，面积$S=\dfrac{1}{2} × PD × 3 = \dfrac{1}{2}(2t-3) × 3 = 3t - \dfrac{9}{2}$；
③ 当$2 ＜ t ≤ \dfrac{7}{2}$时，P在AB上，P的坐标为$(4,2t-4)$，利用坐标法求面积可得$S=2t - \dfrac{5}{2}$。
综上，$S = \begin{cases} -3t + \dfrac{9}{2} (0 ≤ t ＜ \dfrac{3}{2}), \\ 3t - \dfrac{9}{2} (\dfrac{3}{2} ≤ t ≤ 2), \\ 2t - \dfrac{5}{2} (2 ＜ t ≤ \dfrac{7}{2}). \end{cases}$
（3）求直线EP的函数解析式：
当P在AB上时，作点D关于AB的对称点$D'(5,0)$，连接$D'E$，与AB的交点即为使$PD+PE$最小的点P。
由$E(1,3)$、$D'(5,0)$，计算直线$D'E$的斜率$k=\dfrac{0-3}{5-1}=-\dfrac{3}{4}$，代入点E得直线方程：$y-3=-\dfrac{3}{4}(x-1)$，整理得$y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{15}{4}$，此即为直线EP对应的函数解析式。
【答案】
（1）$D(3,0)$，$E(1,3)$；
（2）$S = \begin{cases} -3t + \dfrac{9}{2} (0 ≤ t ＜ \dfrac{3}{2}), \\ 3t - \dfrac{9}{2} (\dfrac{3}{2} ≤ t ≤ 2), \\ 2t - \dfrac{5}{2} (2 ＜ t ≤ \dfrac{7}{2}). \end{cases}$；
（3）$y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{15}{4}$。
【知识点】
1. 矩形的性质；
2. 一次函数的图象与性质；
3. 最短路径问题（对称法）。
【点评】
本题综合考查矩形性质、一次函数的应用及最短路径问题，需根据动点的不同运动阶段分类讨论，结合坐标与图形的性质求解，考验学生的分类讨论思想与数形结合能力。
【难度系数】
0.6
（1）求点D和E的坐标：
对于点D：OA在x轴上，$y=0$，将$y=0$代入直线$y = -\dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{2}$，得$0 = -\dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{2}$，解得$x=3$，故$D(3,0)$。
对于点E：BC上的点纵坐标为3（矩形OABC中$C(0,3)$），将$y=3$代入直线方程，得$3 = -\dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{2}$，解得$x=1$，故$E(1,3)$。
（2）求$S$关于$t$的函数解析式：
动点P的运动分三段：
① 当$0 ≤ t ＜ \dfrac{3}{2}$时，P在OA上，$OP=2t$，$PD=3-2t$，△PDE的高为3，面积$S=\dfrac{1}{2} × PD × 3 = \dfrac{1}{2}(3-2t) × 3 = -3t + \dfrac{9}{2}$；
② 当$\dfrac{3}{2} ≤ t ≤ 2$时，P在OA上，$PD=2t-3$，面积$S=\dfrac{1}{2} × PD × 3 = \dfrac{1}{2}(2t-3) × 3 = 3t - \dfrac{9}{2}$；
③ 当$2 ＜ t ≤ \dfrac{7}{2}$时，P在AB上，P的坐标为$(4,2t-4)$，利用坐标法求面积可得$S=2t - \dfrac{5}{2}$。
综上，$S = \begin{cases} -3t + \dfrac{9}{2} (0 ≤ t ＜ \dfrac{3}{2}), \\ 3t - \dfrac{9}{2} (\dfrac{3}{2} ≤ t ≤ 2), \\ 2t - \dfrac{5}{2} (2 ＜ t ≤ \dfrac{7}{2}). \end{cases}$
（3）求直线EP的函数解析式：
当P在AB上时，作点D关于AB的对称点$D'(5,0)$，连接$D'E$，与AB的交点即为使$PD+PE$最小的点P。
由$E(1,3)$、$D'(5,0)$，计算直线$D'E$的斜率$k=\dfrac{0-3}{5-1}=-\dfrac{3}{4}$，代入点E得直线方程：$y-3=-\dfrac{3}{4}(x-1)$，整理得$y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{15}{4}$，此即为直线EP对应的函数解析式。
【答案】
（1）$D(3,0)$，$E(1,3)$；
（2）$S = \begin{cases} -3t + \dfrac{9}{2} (0 ≤ t ＜ \dfrac{3}{2}), \\ 3t - \dfrac{9}{2} (\dfrac{3}{2} ≤ t ≤ 2), \\ 2t - \dfrac{5}{2} (2 ＜ t ≤ \dfrac{7}{2}). \end{cases}$；
（3）$y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{15}{4}$。
【知识点】
1. 矩形的性质；
2. 一次函数的图象与性质；
3. 最短路径问题（对称法）。
【点评】
本题综合考查矩形性质、一次函数的应用及最短路径问题，需根据动点的不同运动阶段分类讨论，结合坐标与图形的性质求解，考验学生的分类讨论思想与数形结合能力。
【难度系数】
0.6
3. 我们给出如下定义：对于给定的一次函数 $ y = kx + b $（$ k $，$ b $ 为常数，且 $ k ≠ 0 $），把形如 $ y = \begin{cases} kx + b(x ≥ 0), \\ -kx + b(x ＜ 0) \end{cases} $（$ k $，$ b $ 为常数，且 $ k ≠ 0 $）的函数称为一次函数 $ y = kx + b $ 的演变函数。
（1）已知一次函数 $ y = 2x + 1 $。
① 若点 $ E(-1,m) $ 在一次函数 $ y = 2x + 1 $ 的演变函数图象上，求 $ m $ 的值；
② 若点 $ F(n,3) $ 在一次函数 $ y = 2x + 1 $ 的演变函数图象上，求 $ n $ 的值。
（2）如图，一次函数 $ y = kx + b $（$ k $，$ b $ 为常数，且 $ k ≠ 0 $）的演变函数图象与一次函数 $ y = -x + 1 $ 的图象相交于 $ A(-4,p) $，$ B(2,q) $ 两点。
① 求该一次函数的表达式。
② 一次函数 $ y = kx + b $（$ k $，$ b $ 为常数，且 $ k ≠ 0 $）的演变函数图象与 $ y $ 轴相交于点 $ C $，求 $ △ ABC $ 的面积。
③ 在一次函数 $ y = kx + b $（$ k $，$ b $ 为常数，且 $ k ≠ 0 $）的演变函数图象上是否存在点 $ P $，使得 $ PA = PB $？若存在，请直接写出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）已知一次函数 $ y = 2x + 1 $。
① 若点 $ E(-1,m) $ 在一次函数 $ y = 2x + 1 $ 的演变函数图象上，求 $ m $ 的值；
② 若点 $ F(n,3) $ 在一次函数 $ y = 2x + 1 $ 的演变函数图象上，求 $ n $ 的值。
（2）如图，一次函数 $ y = kx + b $（$ k $，$ b $ 为常数，且 $ k ≠ 0 $）的演变函数图象与一次函数 $ y = -x + 1 $ 的图象相交于 $ A(-4,p) $，$ B(2,q) $ 两点。
① 求该一次函数的表达式。
② 一次函数 $ y = kx + b $（$ k $，$ b $ 为常数，且 $ k ≠ 0 $）的演变函数图象与 $ y $ 轴相交于点 $ C $，求 $ △ ABC $ 的面积。
③ 在一次函数 $ y = kx + b $（$ k $，$ b $ 为常数，且 $ k ≠ 0 $）的演变函数图象上是否存在点 $ P $，使得 $ PA = PB $？若存在，请直接写出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
3. 解：(1) ① m 的值为 3。
② n 的值为 1 或 -1。
(2) ① 该一次函数的表达式为 $ y = 3x - 7 $。
② $ S_{△ ABC} = 24 $。
③ 在一次函数 $ y = kx + b $（k，b 为常数，且 $ k ≠ 0 $）的演变函数图象上存在点 P，使得 $ PA = PB $，点 P 的坐标为 (5,8) 或 $ (-\dfrac{5}{2}, \dfrac{1}{2}) $。
② n 的值为 1 或 -1。
(2) ① 该一次函数的表达式为 $ y = 3x - 7 $。
② $ S_{△ ABC} = 24 $。
③ 在一次函数 $ y = kx + b $（k，b 为常数，且 $ k ≠ 0 $）的演变函数图象上存在点 P，使得 $ PA = PB $，点 P 的坐标为 (5,8) 或 $ (-\dfrac{5}{2}, \dfrac{1}{2}) $。
解析
【解析】
（1）① 已知一次函数$y=2x+1$的演变函数为$y=\begin{cases}2x+1(x≥0)\\-2x+1(x＜0)\end{cases}$，
因为点$E(-1,m)$中$x=-1＜0$，代入$y=-2x+1$，得$m=-2×(-1)+1=3$。
② 分两种情况：
当$n≥0$时，代入$y=2x+1$，$3=2n+1$，解得$n=1$；
当$n＜0$时，代入$y=-2x+1$，$3=-2n+1$，解得$n=-1$；
综上，$n$的值为1或-1。
（2）① 先求$A$、$B$的坐标：
将$A(-4,p)$代入$y=-x+1$，得$p=-(-4)+1=5$，故$A(-4,5)$；
将$B(2,q)$代入$y=-x+1$，得$q=-2+1=-1$，故$B(2,-1)$。
因为$A(-4,5)$在演变函数$x＜0$的部分，即$y=-kx+b$，代入得$4k+b=5$；
$B(2,-1)$在演变函数$x≥0$的部分，即$y=kx+b$，代入得$2k+b=-1$。
联立方程组$\begin{cases}4k+b=5\\2k+b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=3\\b=-7\end{cases}$，
所以该一次函数的表达式为$y=3x-7$。
② 演变函数与$y$轴交点$C$，当$x=0$时，代入$y=3x-7$得$y=-7$，故$C(0,-7)$。
利用坐标法求$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×|x_A(y_B - y_C)+x_B(y_C - y_A)+x_C(y_A - y_B)|$
$=\frac{1}{2}×|(-4)×(-1 - (-7)) + 2×(-7 - 5) + 0×(5 - (-1))|$
$=\frac{1}{2}×|-24 -24|=24$。
③ 先求$AB$的垂直平分线：
$AB$的中点为$(-1,2)$，$AB$的斜率为$\frac{-1-5}{2-(-4)}=-1$，故垂直平分线的斜率为1，
垂直平分线的方程为$y-2=x+1$，即$y=x+3$。
分情况联立演变函数：
当$x≥0$时，联立$y=3x-7$与$y=x+3$，解得$\begin{cases}x=5\\y=8\end{cases}$，即$P(5,8)$；
当$x＜0$时，联立$y=-3x-7$与$y=x+3$，解得$\begin{cases}x=-\frac{5}{2}\\y=\frac{1}{2}\end{cases}$，即$P(-\frac{5}{2},\frac{1}{2})$；
综上，存在点$P$，坐标为$(5,8)$或$(-\frac{5}{2},\frac{1}{2})$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{m=3}$；② $\boldsymbol{n=1}$或$\boldsymbol{-1}$；
(2) ① $\boldsymbol{y=3x-7}$；② $\boldsymbol{S_{△ ABC}=24}$；③ 存在，点$P$的坐标为$\boldsymbol{(5,8)}$或$\boldsymbol{(-\dfrac{5}{2}, \dfrac{1}{2})}$。
【知识点】
分段函数的应用，待定系数法求一次函数，三角形面积计算
【点评】
本题以新定义“演变函数”为背景，考查了一次函数的性质、分段函数的分类讨论、待定系数法及三角形面积计算，还涉及垂直平分线的应用，综合性较强，需要学生具备分类讨论思想和较强的运算能力。
【难度系数】
0.4
（1）① 已知一次函数$y=2x+1$的演变函数为$y=\begin{cases}2x+1(x≥0)\\-2x+1(x＜0)\end{cases}$，
因为点$E(-1,m)$中$x=-1＜0$，代入$y=-2x+1$，得$m=-2×(-1)+1=3$。
② 分两种情况：
当$n≥0$时，代入$y=2x+1$，$3=2n+1$，解得$n=1$；
当$n＜0$时，代入$y=-2x+1$，$3=-2n+1$，解得$n=-1$；
综上，$n$的值为1或-1。
（2）① 先求$A$、$B$的坐标：
将$A(-4,p)$代入$y=-x+1$，得$p=-(-4)+1=5$，故$A(-4,5)$；
将$B(2,q)$代入$y=-x+1$，得$q=-2+1=-1$，故$B(2,-1)$。
因为$A(-4,5)$在演变函数$x＜0$的部分，即$y=-kx+b$，代入得$4k+b=5$；
$B(2,-1)$在演变函数$x≥0$的部分，即$y=kx+b$，代入得$2k+b=-1$。
联立方程组$\begin{cases}4k+b=5\\2k+b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=3\\b=-7\end{cases}$，
所以该一次函数的表达式为$y=3x-7$。
② 演变函数与$y$轴交点$C$，当$x=0$时，代入$y=3x-7$得$y=-7$，故$C(0,-7)$。
利用坐标法求$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×|x_A(y_B - y_C)+x_B(y_C - y_A)+x_C(y_A - y_B)|$
$=\frac{1}{2}×|(-4)×(-1 - (-7)) + 2×(-7 - 5) + 0×(5 - (-1))|$
$=\frac{1}{2}×|-24 -24|=24$。
③ 先求$AB$的垂直平分线：
$AB$的中点为$(-1,2)$，$AB$的斜率为$\frac{-1-5}{2-(-4)}=-1$，故垂直平分线的斜率为1，
垂直平分线的方程为$y-2=x+1$，即$y=x+3$。
分情况联立演变函数：
当$x≥0$时，联立$y=3x-7$与$y=x+3$，解得$\begin{cases}x=5\\y=8\end{cases}$，即$P(5,8)$；
当$x＜0$时，联立$y=-3x-7$与$y=x+3$，解得$\begin{cases}x=-\frac{5}{2}\\y=\frac{1}{2}\end{cases}$，即$P(-\frac{5}{2},\frac{1}{2})$；
综上，存在点$P$，坐标为$(5,8)$或$(-\frac{5}{2},\frac{1}{2})$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{m=3}$；② $\boldsymbol{n=1}$或$\boldsymbol{-1}$；
(2) ① $\boldsymbol{y=3x-7}$；② $\boldsymbol{S_{△ ABC}=24}$；③ 存在，点$P$的坐标为$\boldsymbol{(5,8)}$或$\boldsymbol{(-\dfrac{5}{2}, \dfrac{1}{2})}$。
【知识点】
分段函数的应用，待定系数法求一次函数，三角形面积计算
【点评】
本题以新定义“演变函数”为背景，考查了一次函数的性质、分段函数的分类讨论、待定系数法及三角形面积计算，还涉及垂直平分线的应用，综合性较强，需要学生具备分类讨论思想和较强的运算能力。
【难度系数】
0.4
