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4. 如图，已知一次函数 $ y = x - 2 $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ A $，一次函数 $ y = 4x + b $ 的图象与 $ x $ 轴及一次函数 $ y = x - 2 $ 的图象分别交于点 $ C $，$ D $，点 $ D $ 的坐标为 $ (-2,-4) $。
(1)关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $ \begin{cases}y - x = -2, \\ y - 4x = b\end{cases}$ 的解为 ______ 。
(2)在 $ x $ 轴上是否存在点 $ E $，使得以点 $ C $，$ D $，$ E $ 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 $ E $ 的坐标；若不存在，请说明理由。
(1)关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $ \begin{cases}y - x = -2, \\ y - 4x = b\end{cases}$ 的解为 ______ 。
(2)在 $ x $ 轴上是否存在点 $ E $，使得以点 $ C $，$ D $，$ E $ 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 $ E $ 的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
4. 解：(1) $ \begin{cases} x = -2, \\ y = -4 \end{cases} $
(2) 存在。点 E 的坐标为 (-2,0) 或 (-18,0)。
(2) 存在。点 E 的坐标为 (-2,0) 或 (-18,0)。
解析
【解析】
(1) 方程组 $\begin{cases}y - x = -2, \\ y - 4x = b\end{cases}$ 可变形为 $\begin{cases}y = x - 2, \\ y = 4x + b\end{cases}$，其解为两个一次函数图象的交点坐标，已知点$D(-2,-4)$是两个一次函数的交点，故方程组的解为$\begin{cases} x = -2, \\ y = -4 \end{cases}$。
(2) 存在。
① 将$D(-2,-4)$代入$y=4x+b$，得$-4=4×(-2)+b$，解得$b=4$，则一次函数为$y=4x+4$。
② 令$y=0$，则$0=4x+4$，解得$x=-1$，即$C(-1,0)$。
③ 分两种情况讨论：
情况一：当$∠ DEC=90°$时，$DE⊥ x$轴，此时点$E$的横坐标与$D$的横坐标相同，即$E(-2,0)$。
情况二：当$∠ CDE=90°$时，设$E(m,0)$，
$k_{CD}=\frac{0 - (-4)}{-1 - (-2)}=4$，
由$CD⊥ DE$得$k_{CD}· k_{DE}=-1$，即$4×\frac{0 - (-4)}{m - (-2)}=-1$，
解得$m=-18$，即$E(-18,0)$。
综上，点$E$的坐标为$(-2,0)$或$(-18,0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\begin{cases} x = -2, \\ y = -4 \end{cases}}$
(2) 存在，点$E$的坐标为$\boldsymbol{(-2,0)}$或$\boldsymbol{(-18,0)}$
【知识点】
一次函数与方程组、直角三角形存在性、一次函数性质
【点评】
本题考查一次函数与方程组的关系及直角三角形存在性问题，需利用函数交点与方程组解的关系，结合分类讨论思想求解。
【难度系数】
0.6
(1) 方程组 $\begin{cases}y - x = -2, \\ y - 4x = b\end{cases}$ 可变形为 $\begin{cases}y = x - 2, \\ y = 4x + b\end{cases}$，其解为两个一次函数图象的交点坐标，已知点$D(-2,-4)$是两个一次函数的交点，故方程组的解为$\begin{cases} x = -2, \\ y = -4 \end{cases}$。
(2) 存在。
① 将$D(-2,-4)$代入$y=4x+b$，得$-4=4×(-2)+b$，解得$b=4$，则一次函数为$y=4x+4$。
② 令$y=0$，则$0=4x+4$，解得$x=-1$，即$C(-1,0)$。
③ 分两种情况讨论：
情况一：当$∠ DEC=90°$时，$DE⊥ x$轴，此时点$E$的横坐标与$D$的横坐标相同，即$E(-2,0)$。
情况二：当$∠ CDE=90°$时，设$E(m,0)$，
$k_{CD}=\frac{0 - (-4)}{-1 - (-2)}=4$，
由$CD⊥ DE$得$k_{CD}· k_{DE}=-1$，即$4×\frac{0 - (-4)}{m - (-2)}=-1$，
解得$m=-18$，即$E(-18,0)$。
综上，点$E$的坐标为$(-2,0)$或$(-18,0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\begin{cases} x = -2, \\ y = -4 \end{cases}}$
(2) 存在，点$E$的坐标为$\boldsymbol{(-2,0)}$或$\boldsymbol{(-18,0)}$
【知识点】
一次函数与方程组、直角三角形存在性、一次函数性质
【点评】
本题考查一次函数与方程组的关系及直角三角形存在性问题，需利用函数交点与方程组解的关系，结合分类讨论思想求解。
【难度系数】
0.6
5. 请你用学习“一次函数”积累的经验和方法研究函数 $ y = -2|x| + 2 $ 的图象和性质，并解决问题。
(1)① 当 $ x = 0 $ 时，$ y = -2|x| + 2 = $
② 当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y = -2|x| + 2 = $
③ 当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y = -2|x| + 2 = $
(2)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数 $ y = -2|x| + 2 $ 的图象。
(3)一次函数 $ y = kx + b $($ k $，$ b $ 为常数，$ k ≠ 0 $)的图象过点 $ (1,3) $，若关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} y = kx + b, \\ y = -2|x| + 2 \end{cases} $ 无解，结合函数的图象，试写出 $ k $ 的取值范围。
(1)① 当 $ x = 0 $ 时，$ y = -2|x| + 2 = $
2
；② 当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y = -2|x| + 2 = $
$ -2x + 2 $
；③ 当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y = -2|x| + 2 = $
$ 2x + 2 $
。(2)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数 $ y = -2|x| + 2 $ 的图象。
(3)一次函数 $ y = kx + b $($ k $，$ b $ 为常数，$ k ≠ 0 $)的图象过点 $ (1,3) $，若关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} y = kx + b, \\ y = -2|x| + 2 \end{cases} $ 无解，结合函数的图象，试写出 $ k $ 的取值范围。
答案
5. 解：(1) ① 2 ② $ -2x + 2 $ ③ $ 2x + 2 $
(2) 函数 $ y = -2|x| + 2 $ 的图象如图所示。
(3) k 的取值范围为 $ -2 ≤ k ＜ 1 $，且 $ k ≠ 0 $。
解析
【解析】
(1)① 将$x=0$代入$y=-2|x|+2$，计算得$y=2$；
② 当$x＞0$时，$|x|=x$，故$y=-2x+2$；
③ 当$x＜0$时，$|x|=-x$，故$y=2x+2$。
(2) 分段绘制图象：当$x≥0$时，绘制一次函数$y=-2x+2$的图象；当$x＜0$时，绘制一次函数$y=2x+2$的图象，选取$(0,2)$、$(1,0)$、$(-1,0)$等关键点描点连线即可。
(3) 因为一次函数$y=kx+b$过点$(1,3)$，代入得$k+b=3$，即$b=3-k$，函数表达式为$y=kx+3-k$。方程组无解意味着两函数图象无交点，结合$y=-2|x|+2$的图象分析，可得$k$的取值范围为$-2≤ k＜1$且$k≠0$。
【答案】
(1)① $\boldsymbol{2}$；② $\boldsymbol{-2x+2}$；③ $\boldsymbol{2x+2}$
(2) 图象见标准参考图象
(3) $\boldsymbol{-2≤ k＜1}$，且$\boldsymbol{k≠0}$
【知识点】
绝对值函数性质，一次函数图象，分段函数研究
【点评】
本题考查绝对值函数与一次函数的综合应用，运用分段思想与数形结合思想研究函数，提升学生对函数图象与性质的综合分析及运用能力。
【难度系数】
0.6
(1)① 将$x=0$代入$y=-2|x|+2$，计算得$y=2$；
② 当$x＞0$时，$|x|=x$，故$y=-2x+2$；
③ 当$x＜0$时，$|x|=-x$，故$y=2x+2$。
(2) 分段绘制图象：当$x≥0$时，绘制一次函数$y=-2x+2$的图象；当$x＜0$时，绘制一次函数$y=2x+2$的图象，选取$(0,2)$、$(1,0)$、$(-1,0)$等关键点描点连线即可。
(3) 因为一次函数$y=kx+b$过点$(1,3)$，代入得$k+b=3$，即$b=3-k$，函数表达式为$y=kx+3-k$。方程组无解意味着两函数图象无交点，结合$y=-2|x|+2$的图象分析，可得$k$的取值范围为$-2≤ k＜1$且$k≠0$。
【答案】
(1)① $\boldsymbol{2}$；② $\boldsymbol{-2x+2}$；③ $\boldsymbol{2x+2}$
(2) 图象见标准参考图象
(3) $\boldsymbol{-2≤ k＜1}$，且$\boldsymbol{k≠0}$
【知识点】
绝对值函数性质，一次函数图象，分段函数研究
【点评】
本题考查绝对值函数与一次函数的综合应用，运用分段思想与数形结合思想研究函数，提升学生对函数图象与性质的综合分析及运用能力。
【难度系数】
0.6
