7. 如图，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王汇报成绩，它们同时经过 A 处向洞口 O 处走，甲走的路线为过点 A，B，C，D，E，F，G，H，O 的折线，乙走的路线为折线 AMO，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，则 回到洞中。(填“甲先”或“乙先”或“它们同时”)

7. 它们同时

【分析】
要判断哪只蚂蚁先回到洞中，需先比较两只蚂蚁爬行的路程长度，再结合速度相等判断时间关系。观察图形可知图中线段分别平行，可利用平移的性质，将甲走的折线的水平和竖直部分分别平移，把折线路程转化为直线段路程，再与乙的路线长度比较，最后根据“时间=路程÷速度”，速度相等时路程相同则时间相同来判断。
【解析】
根据平移的性质，将甲所走折线中水平方向的线段向下平移至与MO重合，竖直方向的线段向右平移至与AM重合，可得出甲爬行的总路程等于乙爬行的AM与MO的长度之和，即甲、乙爬行的路程相等。
已知两只蚂蚁爬行速度相等，根据公式$时间 = \frac{路程}{速度}$，当路程和速度都相等时，两只蚂蚁爬行所用的时间相同，因此它们同时回到洞中。
【答案】
它们同时
【知识点】
平移的性质，路程、速度与时间的关系
【点评】
本题借助平移的性质将折线路程转化为直线路程，简化了路程的比较，体现了转化思想在几何实际问题中的应用，同时结合行程问题的基本公式解决问题，逻辑清晰，容易理解。
【难度系数】
0.8

8. 如图，平移三角形 ABC，使点 A 移动到点 A'，画出平移后的三角形 A'B'C'。

①连接$A A ^ { \prime } $。
②过点$B$作$A A ^ { \prime } $的平行线$l_1$，在$l_1$上截取$B B ^ { \prime } = A A ^ { \prime } $，得到点$B$的对应点$B ^ { \prime }$。
③过点$C$作$A A ^ { \prime } $的平行线$l_2$，在$l_2$上截取$C C ^ { \prime } = A A ^ { \prime } $，得到点$C$的对应点$C ^ { \prime }$。
④连接$A ^ { \prime } B ^ { \prime } $、$A ^ { \prime } C ^ { \prime } $、$B ^ { \prime } C ^ { \prime } $，$△ A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } $即为所求。

【分析】
要画出平移后的三角形，关键是利用平移的性质：平移后对应点的连线平行或在同一直线上且相等。首先确定平移的方向和距离，即点A到点A'的方向和线段$AA'$的长度；然后分别作出点B、C的对应点$B'$、$C'$；最后连接对应点，得到平移后的三角形。
【解析】
①连接$AA'$；
②过点$B$作$AA'$的平行线$l_1$，在$l_1$上截取$BB' = AA'$，得到点$B$的对应点$B'$；
③过点$C$作$AA'$的平行线$l_2$，在$l_2$上截取$CC' = AA'$，得到点$C$的对应点$C'$；
④连接$A'B'$、$A'C'$、$B'C'$，$△ A'B'C'$即为所求。
【答案】
画出的$\boldsymbol{△ A'B'C'}$（如上述步骤所作）
【知识点】
平移的性质、平移作图
【点评】
本题主要考查平移作图的方法，核心是利用平移中对应点连线平行且相等的性质，准确找到各顶点的对应点是解题的关键，通过此类题目可加深对平移概念和性质的理解。
【难度系数】
0.7

9. 如图，将三角形 ABC 平移得到三角形 EFG，则图中共有平行线(含虚线)()

A.3 对
B.4 对
C.5 对
D.6 对

9. D

【分析】
要解决这道题，我们可以利用平移的性质来思考：平移后，对应线段平行（或共线）且相等，对应点的连线也互相平行。我们可以分两步统计平行线对：
1. 先找出△ABC和△EFG的对应边，对应边互相平行；
2. 再找出对应点的连线，这些连线也互相平行，最后将两部分的平行对数相加即可得到总数。
【解析】
根据平移的性质：
1. 对应边平行：
$ AB // EF $，$ AC // EG $，$ BC // FG $，共3对；
2. 对应点连线平行：
$ AE // BF $，$ AE // CG $，$ BF // CG $，共3对；
3. 总平行线对数：$ 3+3=6 $（对）。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质
【点评】
本题主要考查平移的性质，解题关键是牢记平移后对应线段平行、对应点连线平行的性质，统计时要做到不重不漏，避免遗漏对应点连线的平行关系。
【难度系数】
0.6

10. 如图，AB = 4 cm，BC = 5 cm，AC = 2 cm，将△ABC 沿 BC 方向平移 a cm(0 ＜ a ＜ 5)，得到△DEF，连结 AD，则阴影部分的周长为 cm。

10. 11

【分析】
首先回忆平移的性质：平移后对应线段平行且相等，对应点连线平行且相等。本题中△ABC沿BC平移得到△DEF，所以AD=BE=a，DE=AB，AC=DF，且AB//DE、AC//DF。观察阴影部分的周长，我们可以通过平移的性质将阴影部分的边进行转化，把未知的边转化为已知的AB、AC、BC相关线段，最终发现阴影部分的周长等于AB+AC+BC的长度和，因为AD+EC=BC，再结合AB和AC的长度即可求出结果。
【解析】
根据平移的性质可得：
$AD = BE = a$，$DE = AB = 4\ \mathrm{cm}$，$AC = DF = 2\ \mathrm{cm}$，且$AB// DE$，$AC// DF$。
阴影部分的周长可转化为：$AB + AC + AD + EC$。
因为$EC = BC - BE = 5 - a$，所以$AD + EC = a + (5 - a) = 5\ \mathrm{cm}$。
将$AB=4\ \mathrm{cm}$，$AC=2\ \mathrm{cm}$代入，可得阴影部分的周长为：
$4 + 2 + 5 = 11$（cm）
【答案】
11
【知识点】
平移的性质，线段转化思想
【点评】
本题考查平移性质的应用，解题核心是利用平移的性质将阴影部分的周长转化为已知线段的和，体现了转化思想在几何解题中的重要性，需要学生具备一定的几何图形观察和线段转化能力。
【难度系数】
0.6

11. 如图，在四边形 ABCD 中，AD // BC，∠B 与∠C 互余，将 AB，CD 分别平移到 EF 和 EG 的位置，∠EGF = 32°。
（1）求∠B 的度数。
（2）若 AD = 4，BC = 10，求 FG 的长。

11. 解：(1)因为 CD 平移到 EG 的位置，
所以 $ ∠ C = ∠ EGF = 32° $。
因为 $ ∠ B $ 与 $ ∠ C $ 互余，
所以 $ ∠ B = 90° - 32° = 58° $。
(2)因为 AB，CD 分别平移到 EF 和 EG 的位置，
所以 $ AE = BF $，$ DE = CG $。
所以 $ BF + CG = AE + DE = AD = 4 $。
因为 $ BC = BF + FG + CG $，
所以 $ AD + FG = BC $，
即 $ 4 + FG = 10 $，
所以 $ FG = 6 $。

【分析】
（1）首先利用平移的性质，平移前后对应角相等，可得出$∠C=∠EGF$；再根据互余的定义，即互余两角之和为$90°$，用$90°$减去$∠C$的度数，就能求出$∠B$的度数。
（2）根据平移的性质，平移前后对应线段相等，可得$AE=BF$，$DE=CG$，进而推出$BF+CG=AD$；再结合$BC=BF+FG+CG$，将$BF+CG$替换为$AD$，代入已知的$AD$和$BC$的长度，即可计算出$FG$的长。
【解析】
(1) 因为CD平移到EG的位置，根据平移的性质，平移前后对应角相等，所以$∠C = ∠EGF = 32°$。
又因为$∠B$与$∠C$互余，即$∠B + ∠C = 90°$，所以$∠B = 90° - 32° = 58°$。
(2) 因为AB，CD分别平移到EF和EG的位置，根据平移的性质，平移前后对应线段相等，所以$AE = BF$，$DE = CG$。
则$BF + CG = AE + DE = AD = 4$。
因为$BC = BF + FG + CG$，将$BF + CG$替换为$AD$，可得$AD + FG = BC$。
已知$AD = 4$，$BC = 10$，代入得$4 + FG = 10$，解得$FG = 6$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{58°}$；（2）$\boldsymbol{6}$
【知识点】
1. 平移的性质
2. 余角的定义
【点评】
本题主要考查平移的性质和余角定义的实际应用，解题核心是熟练运用平移前后对应角相等、对应线段相等的性质，以及互余两角和为$90°$的知识点，将图形平移转化为线段与角的数量关系进行求解，难度适中，注重对基础知识点的运用。
【难度系数】
0.6

12. 如图，AD // BC，∠B = ∠D = 50°，点 E，F 在 BC 上，且满足∠CAD = ∠CAE，AF 平分∠BAE。
(1)∠CAF = °。
(2)若平行移动 CD，那么∠ACB 与∠AEB 度数的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值。

12. 解：(1)因为 $ AD // BC $，所以 $ ∠ B + ∠ BAD = 180° $。
因为 $ ∠ B = 50° $，所以 $ ∠ BAD = 130° $。
因为 AF 平分 $ ∠ BAE $，所以 $ ∠ BAF = ∠ EAF $。
因为 $ ∠ CAD = ∠ CAE $，
所以 $ ∠ CAF = \frac{1}{2} ∠ BAE + \frac{1}{2} ∠ DAE = \frac{1}{2} ∠ BAD = 65° $。
故答案为 65。
(2)$ ∠ ACB $ 与 $ ∠ AEB $ 度数的比值不变。
理由：因为 $ AD // BC $，所以 $ ∠ CAD = ∠ ACE $。
因为 $ ∠ CAD = ∠ CAE $，所以 $ ∠ ACE = ∠ CAE $。
因为 $ ∠ AEB = 180° - ∠ AEC $，$ ∠ AEC = 180° - ∠ ACE - ∠ CAE $，
所以 $ ∠ AEB = ∠ ACE + ∠ CAE = 2 ∠ ACB $，
所以 $ ∠ ACB : ∠ AEB = 1 : 2 $。

【分析】
(1) 首先根据平行线的同旁内角互补，由$AD// BC$和$∠ B=50°$求出$∠ BAD$的度数；再结合AF平分$∠ BAE$，$∠ CAD=∠ CAE$，可知$∠ CAF$是$∠ BAD$的一半，进而计算出$∠ CAF$的度数。
(2) 要判断$∠ ACB$与$∠ AEB$的比值是否变化，先利用平行线的内错角相等得到$∠ CAD=∠ ACB$，结合$∠ CAD=∠ CAE$推出$∠ ACB=∠ CAE$；再根据三角形外角的性质，得出$∠ AEB$与$∠ ACB$的倍数关系，从而确定比值不变并求出该比值。
【解析】
(1) 因为 $AD// BC$，所以 $∠ B + ∠ BAD = 180°$。
已知 $∠ B = 50°$，则 $∠ BAD = 180° - 50° = 130°$。
因为AF平分$∠ BAE$，所以 $∠ BAF = ∠ EAF = \frac{1}{2}∠ BAE$。
又因为 $∠ CAD = ∠ CAE = \frac{1}{2}∠ DAE$，
所以 $∠ CAF = ∠ EAF + ∠ CAE = \frac{1}{2}∠ BAE + \frac{1}{2}∠ DAE = \frac{1}{2}(∠ BAE + ∠ DAE) = \frac{1}{2}∠ BAD = \frac{1}{2}×130° = 65°$。
(2) $∠ ACB$与$∠ AEB$度数的比值不变，理由如下：
因为 $AD// BC$，所以 $∠ CAD = ∠ ACB$。
又因为 $∠ CAD = ∠ CAE$，所以 $∠ ACB = ∠ CAE$。
根据三角形外角的性质，$∠ AEB = ∠ ACB + ∠ CAE$，
将$∠ CAE$替换为$∠ ACB$，可得 $∠ AEB = ∠ ACB + ∠ ACB = 2∠ ACB$，
因此 $∠ ACB:∠ AEB = 1:2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{65}$
(2) 比值不变，这个比值为$\boldsymbol{1:2}$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用角度之间的等量关系，第一问利用整体思想简化计算，第二问通过推导角度的倍数关系确定比值，有助于提升学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6