登录
3. 化简 -\sqrt{(-7)^{2}} 的结果是(
$A. -\sqrt{7} $
B.7
C.-7
$D. \sqrt{7} $
C
)$A. -\sqrt{7} $
B.7
C.-7
$D. \sqrt{7} $
答案
3. C
解析
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，先计算$\sqrt{(-7)^{2}}$：
$\sqrt{(-7)^{2}}=\vert -7\vert = 7$。
再计算$-\sqrt{(-7)^{2}}$：
$-\sqrt{(-7)^{2}}=-7$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的化简，关键是掌握二次根式的性质$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$。
【难度系数】
0.6
根据二次根式的性质$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，先计算$\sqrt{(-7)^{2}}$：
$\sqrt{(-7)^{2}}=\vert -7\vert = 7$。
再计算$-\sqrt{(-7)^{2}}$：
$-\sqrt{(-7)^{2}}=-7$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的化简，关键是掌握二次根式的性质$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$。
【难度系数】
0.6
4. 等式 \sqrt{a^{2} - 4} = \sqrt{a + 2} · \sqrt{a - 2} 成立的条件是(
A. a ≤ -2 或 a ≥ 2
B. a ≥ 2
C. a ≥ -2
D. -2 ≤ a ≤ 2
B
)A. a ≤ -2 或 a ≥ 2
B. a ≥ 2
C. a ≥ -2
D. -2 ≤ a ≤ 2
答案
4. B
解析
【解析】
要使$\sqrt{a^{2}-4}=\sqrt{a + 2}·\sqrt{a - 2}$成立，根据二次根式乘法法则$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}(m≥0,n≥0)$，则$a + 2≥0$且$a - 2≥0$。
解$a + 2≥0$得$a≥ - 2$；解$a - 2≥0$得$a≥ 2$。
所以取交集得$a≥ 2$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法法则、不等式求解
【点评】
本题考查二次根式乘法法则的应用及不等式求解，需注意二次根式有意义的条件。
【难度系数】
0.6
要使$\sqrt{a^{2}-4}=\sqrt{a + 2}·\sqrt{a - 2}$成立，根据二次根式乘法法则$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}(m≥0,n≥0)$，则$a + 2≥0$且$a - 2≥0$。
解$a + 2≥0$得$a≥ - 2$；解$a - 2≥0$得$a≥ 2$。
所以取交集得$a≥ 2$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法法则、不等式求解
【点评】
本题考查二次根式乘法法则的应用及不等式求解，需注意二次根式有意义的条件。
【难度系数】
0.6
5. -\sqrt{m^{2}} ( m ＜ 0 )=
m
.答案
5. $m$
解析
【解析】
因为$m＜0$，根据二次根式的性质$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，则$\sqrt{m^{2}}=\vert m\vert=-m$（因为$m＜0$，负数的绝对值是它的相反数）。
所以$-\sqrt{m^{2}}=-(-m)=m$。
【答案】
$m$
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的性质，关键是根据$m$的取值范围确定$\sqrt{m^{2}}$的值。
【难度系数】
0.3
因为$m＜0$，根据二次根式的性质$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，则$\sqrt{m^{2}}=\vert m\vert=-m$（因为$m＜0$，负数的绝对值是它的相反数）。
所以$-\sqrt{m^{2}}=-(-m)=m$。
【答案】
$m$
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的性质，关键是根据$m$的取值范围确定$\sqrt{m^{2}}$的值。
【难度系数】
0.3
6. 若 A(x, y) 在第二象限，则 \sqrt{x^{2}} + \sqrt{y^{2}} =
y - x
.答案
6. $y - x$
解析
【解析】
因为$A(x,y)$在第二象限，所以$x＜0$，$y＞0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，可得$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert=-x$，$\sqrt{y^{2}}=\vert y\vert = y$。
则$\sqrt{x^{2}}+\sqrt{y^{2}}=-x + y=y - x$。
【答案】
$y - x$
【知识点】
二次根式的性质、象限内点的坐标特征
【点评】
本题考查二次根式的性质与化简以及象限内点的坐标特征，先根据象限内点的坐标特征判断$x$、$y$的正负，再利用二次根式的性质化简求解。
【难度系数】
0.6
因为$A(x,y)$在第二象限，所以$x＜0$，$y＞0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，可得$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert=-x$，$\sqrt{y^{2}}=\vert y\vert = y$。
则$\sqrt{x^{2}}+\sqrt{y^{2}}=-x + y=y - x$。
【答案】
$y - x$
【知识点】
二次根式的性质、象限内点的坐标特征
【点评】
本题考查二次根式的性质与化简以及象限内点的坐标特征，先根据象限内点的坐标特征判断$x$、$y$的正负，再利用二次根式的性质化简求解。
【难度系数】
0.6
7. 计算：
$(1) \sqrt{13^{2} - 12^{2}} $；
$(2) 5\sqrt{2} × 4\sqrt{6} $；
$(3) 3\sqrt{21} × \dfrac{1}{2}\sqrt{14} $；
$(4) \sqrt{\dfrac{3}{b}} · \sqrt{\dfrac{b^{3}}{9a^{2}}} （ a ＞ 0 $， b ＞ 0 ）.
$(1) \sqrt{13^{2} - 12^{2}} $；
$(2) 5\sqrt{2} × 4\sqrt{6} $；
$(3) 3\sqrt{21} × \dfrac{1}{2}\sqrt{14} $；
$(4) \sqrt{\dfrac{3}{b}} · \sqrt{\dfrac{b^{3}}{9a^{2}}} （ a ＞ 0 $， b ＞ 0 ）.
答案
7. 解：（1）原式$=\sqrt{(13 + 12)(13 - 12)}=\sqrt{25}=5$
（2）原式$=20\sqrt{12}=40\sqrt{3}$
（3）原式$=\frac{3}{2}\sqrt{3}× \sqrt{7}× \sqrt{7}× \sqrt{2}=\frac{3}{2}× 7× \sqrt{6}=\frac{21}{2}\sqrt{6}$
（4）原式$=\frac{b}{3a}\sqrt{\frac{3}{b}}· \sqrt{b}=\frac{\sqrt{3}b}{3a}$
（2）原式$=20\sqrt{12}=40\sqrt{3}$
（3）原式$=\frac{3}{2}\sqrt{3}× \sqrt{7}× \sqrt{7}× \sqrt{2}=\frac{3}{2}× 7× \sqrt{6}=\frac{21}{2}\sqrt{6}$
（4）原式$=\frac{b}{3a}\sqrt{\frac{3}{b}}· \sqrt{b}=\frac{\sqrt{3}b}{3a}$
解析
【解析】
（1）
$\begin{aligned}&\sqrt{13^{2}-12^{2}}\\=&\sqrt{(13 + 12)(13 - 12)}\\=&\sqrt{25}\\=&5\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&5\sqrt{2}×4\sqrt{6}\\=&20\sqrt{12}\\=&20\sqrt{4×3}\\=&20×2\sqrt{3}\\=&40\sqrt{3}\end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned}&3\sqrt{21}×\frac{1}{2}\sqrt{14}\\=&\frac{3}{2}\sqrt{3×7}×\sqrt{2×7}\\=&\frac{3}{2}\sqrt{3}×\sqrt{7}×\sqrt{7}×\sqrt{2}\\=&\frac{3}{2}×7×\sqrt{6}\\=&\frac{21}{2}\sqrt{6}\end{aligned}$
（4）
$\begin{aligned}&\sqrt{\frac{3}{b}}·\sqrt{\frac{b^{3}}{9a^{2}}}\\=&\sqrt{\frac{3}{b}×\frac{b^{3}}{9a^{2}}}\\=&\sqrt{\frac{b^{2}}{3a^{2}}}\\=&\frac{b}{3a}\sqrt{3}\\=&\frac{\sqrt{3}b}{3a}\end{aligned}$
【答案】
（1）$5$；（2）$40\sqrt{3}$；（3）$\frac{21}{2}\sqrt{6}$；（4）$\frac{\sqrt{3}b}{3a}$
【知识点】
二次根式的运算、平方差公式、根式化简
【点评】
本题主要考查二次根式的运算，涉及平方差公式的运用以及根式的化简，需要学生熟练掌握二次根式的运算法则和性质。
【难度系数】
0.6
（1）
$\begin{aligned}&\sqrt{13^{2}-12^{2}}\\=&\sqrt{(13 + 12)(13 - 12)}\\=&\sqrt{25}\\=&5\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&5\sqrt{2}×4\sqrt{6}\\=&20\sqrt{12}\\=&20\sqrt{4×3}\\=&20×2\sqrt{3}\\=&40\sqrt{3}\end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned}&3\sqrt{21}×\frac{1}{2}\sqrt{14}\\=&\frac{3}{2}\sqrt{3×7}×\sqrt{2×7}\\=&\frac{3}{2}\sqrt{3}×\sqrt{7}×\sqrt{7}×\sqrt{2}\\=&\frac{3}{2}×7×\sqrt{6}\\=&\frac{21}{2}\sqrt{6}\end{aligned}$
（4）
$\begin{aligned}&\sqrt{\frac{3}{b}}·\sqrt{\frac{b^{3}}{9a^{2}}}\\=&\sqrt{\frac{3}{b}×\frac{b^{3}}{9a^{2}}}\\=&\sqrt{\frac{b^{2}}{3a^{2}}}\\=&\frac{b}{3a}\sqrt{3}\\=&\frac{\sqrt{3}b}{3a}\end{aligned}$
【答案】
（1）$5$；（2）$40\sqrt{3}$；（3）$\frac{21}{2}\sqrt{6}$；（4）$\frac{\sqrt{3}b}{3a}$
【知识点】
二次根式的运算、平方差公式、根式化简
【点评】
本题主要考查二次根式的运算，涉及平方差公式的运用以及根式的化简，需要学生熟练掌握二次根式的运算法则和性质。
【难度系数】
0.6
8. 实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示，化简$ \sqrt{a^{2}} - \sqrt{b^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}} $的结果是(
A.2a
B.2b
C.-2b
D.0
B
)A.2a
B.2b
C.-2b
D.0
答案
8. B
解析
【解析】
由数轴可知$b＜0＜ a$，所以$a - b＞0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert$，则$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert = a$，$\sqrt{b^{2}}=\vert b\vert=-b$，$\sqrt{(a - b)^{2}}=\vert a - b\vert=a - b$。
将其代入原式可得：
$\sqrt{a^{2}} - \sqrt{b^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}}=a-(-b)-(a - b)$
$=a + b - a + b$
$=2b$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、数轴与实数的关系、去括号法则
【点评】
本题通过数轴判断$a$、$b$、$a - b$的正负性，再利用二次根式性质化简，考查学生对相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
由数轴可知$b＜0＜ a$，所以$a - b＞0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert$，则$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert = a$，$\sqrt{b^{2}}=\vert b\vert=-b$，$\sqrt{(a - b)^{2}}=\vert a - b\vert=a - b$。
将其代入原式可得：
$\sqrt{a^{2}} - \sqrt{b^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}}=a-(-b)-(a - b)$
$=a + b - a + b$
$=2b$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、数轴与实数的关系、去括号法则
【点评】
本题通过数轴判断$a$、$b$、$a - b$的正负性，再利用二次根式性质化简，考查学生对相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
9. 将 a\sqrt{-\dfrac{1}{a}} 根号外的因式移到根号内，得(
$A. \sqrt{-a} $
$B. -\sqrt{-a} $
$C. -\sqrt{a} $
$D. \sqrt{a} $
B
)$A. \sqrt{-a} $
$B. -\sqrt{-a} $
$C. -\sqrt{a} $
$D. \sqrt{a} $
答案
9. B
解析
【解析】
要使$a\sqrt{-\frac{1}{a}}$有意义，则$-\frac{1}{a}＞0$，所以$a＜0$。
$a\sqrt{-\frac{1}{a}}=-\sqrt{(-a)^{2}×(-\frac{1}{a})}=-\sqrt{-a}$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件、二次根式的性质与化简
【点评】
本题先根据二次根式有意义的条件确定$a$的取值范围，再利用二次根式的性质进行化简。
【难度系数】
0.3
要使$a\sqrt{-\frac{1}{a}}$有意义，则$-\frac{1}{a}＞0$，所以$a＜0$。
$a\sqrt{-\frac{1}{a}}=-\sqrt{(-a)^{2}×(-\frac{1}{a})}=-\sqrt{-a}$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件、二次根式的性质与化简
【点评】
本题先根据二次根式有意义的条件确定$a$的取值范围，再利用二次根式的性质进行化简。
【难度系数】
0.3
10. 化简：
(1)$\sqrt{500}$；
(2)$\sqrt{12x}$（ x ＞ 0 ）；
(3)$\sqrt{4\dfrac{2}{3}}$；
(4)$\sqrt{\dfrac{2}{3a^{2}}}$（ a ＞ 0 ）；
(5)$\sqrt{2x^{2}y^{3}}$（ x ＞ 0 ， y ＞ 0 ）；
(6)$ \sqrt{\dfrac{5a^{5}}{6}}$（ a ＞ 0 ）；
(7)$ \sqrt{\dfrac{9b^{4}}{4a^{2}}}$（ a ＞ 0 ， b ≥ 0 ）.
(1)$\sqrt{500}$；
(2)$\sqrt{12x}$（ x ＞ 0 ）；
(3)$\sqrt{4\dfrac{2}{3}}$；
(4)$\sqrt{\dfrac{2}{3a^{2}}}$（ a ＞ 0 ）；
(5)$\sqrt{2x^{2}y^{3}}$（ x ＞ 0 ， y ＞ 0 ）；
(6)$ \sqrt{\dfrac{5a^{5}}{6}}$（ a ＞ 0 ）；
(7)$ \sqrt{\dfrac{9b^{4}}{4a^{2}}}$（ a ＞ 0 ， b ≥ 0 ）.
答案
10. （1）$10\sqrt{5}$ （2）$2\sqrt{3x}$ （3）$\frac{\sqrt{42}}{3}$ （4）$\frac{\sqrt{6}}{3a}$ （5）$xy\sqrt{2y}$ （6）$\frac{a^{2}}{6}\sqrt{30a}$ （7）$\frac{3b^{2}}{2a}$
