5. (2024·武安)如图所示,已知工厂 A,B 在铁路 l 两侧,在 l 上找一点建货站,使该货站到工厂 A 与 B 的距离之和最小,则这个点是( )


A.M
B.N
C.P
D.Q

B

【分析】
要找到直线l上到A、B两工厂距离之和最小的点，首先回忆线段的基本性质：两点之间，线段最短。因为A、B分别在直线l的两侧，所以A到B的最短路径就是连接A、B两点的线段，这条线段与直线l的交点，就是我们要找的点：此时该点到A、B的距离之和正好等于线段AB的长度，是所有可能的距离和里最小的。如果选择l上其他的点，那么该点到A、B的路径是折线，折线的长度一定大于线段AB的长度，不符合距离和最小的要求，接下来只要找到线段AB和直线l的交点即可。
【解析】
根据“两点之间，线段最短”的性质，连接A、B两点，线段AB与直线l的交点就是到A、B距离之和最小的点。观察图形可知，线段AB与直线l的交点为N，因此符合要求的点是N。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
本题考查线段性质的实际应用，解题核心是明确两点在直线两侧时，直接连接两点与直线的交点即为最短路径的对应点，熟练掌握线段的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

6. (2024·佛山)如图所示,在同一平面内有三个点 A,B,C.
(1) 利用尺规,按要求作图. 要求：不写画法,保留作图痕迹,不必写结论.
① 作射线 BA；
② 作线段 BC；
③ 连接 AC,并在线段 AC 上作一条线段 AD,使 AD = AB,连接 BD.
(2) 观察(1)中得到的图形,请直接写出 DB + DC 与 BC 的大小关系.

6.解:
(1)如图所示.
　　　　　　　　　
(2)DB+DC与BC的大小关系是DB+DC＞BC.

【分析】
(1) 作图部分先明确各图形定义：射线BA是以B为端点、过A向外延伸的线；线段BC是连接B、C端点的有限线段；作AD=AB时，用圆规以A为圆心、AB长为半径画弧，和AC的交点即为D，再连接BD即可，全程保留作图痕迹。
(2) 比较DB+DC和BC的大小，可结合几何基本性质：两点之间线段最短，B到C的路径中，线段BC是最短路径，B→D→C的路径长度为DB+DC，因此可直接得出大小关系，也可通过三角形三边关系推导。
【解析】
(1) ① 以点B为端点，经过点A向A外侧作射线，得到射线BA；
② 连接B、C两点，得到线段BC；
③ 先连接A、C得到线段AC，再将圆规两脚间距调整为AB的长度，以点A为圆心画弧，弧与AC的交点即为点D，最后连接BD即可，所有作图痕迹保留。
(2) 根据两点之间线段最短的性质，点B到点C的所有连线中，线段BC的长度最短，而路径B-D-C的总长度为DB+DC，因此DB+DC＞BC；也可由三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，在△BDC中，DB、DC、BC为其三边，可得DB+DC＞BC。
【答案】
(1) 如图所示。
(2) DB+DC＞BC
【知识点】
尺规作图，两点之间线段最短，射线与线段的概念
【点评】
本题考查基础几何作图能力和几何基本性质的应用，作图时需注意按要求保留痕迹，大小比较属于基础性质的直接应用，掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8

7. 如图所示,AB = a,BC = b,CD = c,点 M 是 AC 的中点,点 N 是 BD 的中点.

(1) 若 a = 4,b = 8,c = 6,则 MN = ______；
(2) 若 a + c = 12,则 MN = ______.

7.
(1)5　
(2)6

【分析】
解题时先利用线段和差关系写出AC、BD的长度表达式，再结合线段中点的性质得到中点分线段的长度，最后通过线段的和差推导MN的计算式，代入数值即可求解。第一问可直接代入数值分步计算，第二问可先推导MN的通用表达式再整体代入计算。
【解析】
(1) 已知a=4，b=8，c=6：
先计算$AC=AB+BC=4+8=12$，
∵M是AC的中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$，
则$BM=AM-AB=6-4=2$；
再计算$BD=BC+CD=8+6=14$，
∵N是BD的中点，
∴$BN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×14=7$，
∴$MN=BN-BM=7-2=5$。
(2) 推导MN的通用表达式：
$AC=AB+BC=a+b$，
∵M是AC中点，
∴$AM=\frac{1}{2}(a+b)$，
则$BM=AM-AB=\frac{a+b}{2}-a=\frac{b-a}{2}$；
$BD=BC+CD=b+c$，
∵N是BD中点，
∴$BN=\frac{1}{2}(b+c)$，
∴$MN=BN-BM=\frac{b+c}{2}-\frac{b-a}{2}=\frac{a+c}{2}$，
当$a+c=12$时，$MN=\frac{12}{2}=6$。
【答案】
(1)$\boxed{5}$；(2)$\boxed{6}$
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的性质
【点评】
本题侧重考查线段相关基础性质的应用，掌握线段和差、中点的计算方法是解题关键，推导出MN的通用表达式后可快速求解两类问题，也能培养整体代入的解题思维。
【难度系数】
0.7

8. (分类讨论)已知 A,B,C,D 四点在同一直线上,点 D 在线段 AB 上.
(1) 如图所示,若线段 AB = 18,点 C 是线段 AB 的中点,CD = $\frac{1}{2}$BD,求线段 AD 的长度；
(2) 若线段 AB = 5a,点 C 是直线 AB 上一点,且满足 AC = 2BC,AD : BD = 2 : 3,求线段 CD 的长度(用含 a 的式子表示).

8.解:
(1)因为线段AB=18,点C是线段AB的中点，
　所以AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=9.
　因为CD=$\frac{1}{2}$BD,
　所以CD=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{3}$×9=3.
　所以AD=AC+CD=9+3=12.
(2)因为点D在线段AB上,AB=5a，
　AD:BD=2:3,
　所以AD=2a,BD=3a.
　当点C在线段AB上时，如图①所示，
　　　　　　　
　因为AB=5a,AC=2BC,
　所以AC=$\frac{10}{3}$a,BC=$\frac{5}{3}$a.
　所以CD=AC−AD=$\frac{10}{3}$a−2a=$\frac{4}{3}$a;
　当点C在线段AB延长线上时，如图②所示，
　　　　　　　
　因为AB=5a,AC=2BC,
　所以AC=2AB=10a.
　所以CD=AC−AD=10a−2a=8a.
　综上可知，线段CD的长为$\frac{4}{3}$a或8a.

【分析】
(1) 首先利用线段中点的性质，中点可将线段分为等长的两段，由AB的长度先算出AC、BC的长度；再根据$CD=\frac{1}{2}BD$的关系，可知BC被分为3份，CD占1份，由此算出CD的长度；最后根据线段和的关系，$AD=AC+CD$，代入数值即可求出结果。
(2) 首先根据AD、BD的比例和AB的总长，先算出AD的长度；由于点C在直线AB上，位置不唯一，需要分两种情况讨论：①点C在线段AB上，②点C在线段AB的延长线上，分别结合$AC=2BC$的条件算出AC的长度，再通过$CD=AC-AD$算出对应CD的长度，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 已知线段$AB=18$，点C是线段AB的中点，根据线段中点的定义可得：
$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×18=9$
因为$CD=\frac{1}{2}BD$，即$BD=2CD$，又$CD+BD=BC$，代入得：
$CD+2CD=9$，解得$CD=3$
因此$AD=AC+CD=9+3=12$。
(2) 已知点D在线段AB上，$AB=5a$，$AD:BD=2:3$，总份数为$2+3=5$，因此：
$AD=\frac{2}{5}×5a=2a$，$BD=\frac{3}{5}×5a=3a$
分两种情况讨论点C的位置：
① 当点C在线段AB上时，如图①所示：

因为$AC=2BC$，且$AC+BC=AB=5a$，代入得$2BC+BC=5a$，解得$BC=\frac{5}{3}a$，$AC=\frac{10}{3}a$
因此$CD=AC-AD=\frac{10}{3}a-2a=\frac{4}{3}a$。
② 当点C在线段AB的延长线上时，如图②所示：

因为$AC=2BC$，且$AC-BC=AB=5a$，代入得$2BC-BC=5a$，解得$BC=5a$，$AC=10a$
因此$CD=AC-AD=10a-2a=8a$。
综上，线段CD的长度为$\frac{4}{3}a$或$8a$。
【答案】
(1) $\boxed{12}$
(2) $\boxed{\frac{4}{3}a}$或$\boxed{8a}$，对应图示：
点C在线段AB上：
点C在线段AB延长线上：
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的典型题型，第一问侧重基础性质的直接应用，第二问需要注意“点在直线上”的条件隐含多种位置情况，需分类讨论避免漏解，能够很好地考察对线段相关性质的掌握程度和逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6