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小明拿一张如图 8 - 11①的正方形纸片，沿虚线对折一次得到图 8 - 11②，再对折一次得到图 8 - 11③，然后用剪刀沿图 8 - 11③中的虚线剪去一个角。打开后的形状是下列四个图中的()。
答案
严格按照对折性质可知，剪去的三角形，菱形高为正方形的对角线的一半，所以打开之后的图形为A。
答案为A。
答案为A。
例 如图 8 - 12，菱形 $ABCD$ 的边长为 $2$，$∠ ABC = 60^{\circ}$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$。求这个菱形的对角线的长和面积。
答案
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=2，AC⊥BD，AO=OC=1/2AC，BO=OD=1/2BD，∠ABO=1/2∠ABC。
∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°。
在△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2。
在Rt△AOB中，AB=2，AO=1/2AC=1，∠AOB=90°，由勾股定理得：BO=√(AB² - AO²)=√(2² - 1²)=√3，∴BD=2BO=2√3。
菱形面积=1/2×AC×BD=1/2×2×2√3=2√3。
对角线AC长为2，BD长为2√3，面积为2√3。
∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°。
在△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2。
在Rt△AOB中，AB=2，AO=1/2AC=1，∠AOB=90°，由勾股定理得：BO=√(AB² - AO²)=√(2² - 1²)=√3，∴BD=2BO=2√3。
菱形面积=1/2×AC×BD=1/2×2×2√3=2√3。
对角线AC长为2，BD长为2√3，面积为2√3。
(1)菱形是轴对称图形，它有条对称轴，对称轴互相；
答案
2；垂直
(2)如图，在菱形 $ABCD$ 中，点 $P$ 在对角线 $BD$ 上，$PE ⊥ AB$，垂足为 $E$，$PE = 4$，则点 $P$ 到 $BC$ 的距离是。
答案
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD是∠ABC的平分线。
∵PE⊥AB，PE=4，
∴点P到BC的距离=PE=4。
4
∴BD是∠ABC的平分线。
∵PE⊥AB，PE=4，
∴点P到BC的距离=PE=4。
4
(1)菱形具有而矩形不一定具有的特征是()。
A.对角线相等
B.四个内角都相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
A.对角线相等
B.四个内角都相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
答案
D
解析
菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分。选项A、B是矩形具有而菱形不一定具有的特征；选项C是菱形和矩形都具有的特征；选项D是菱形具有而矩形不一定具有的特征。
(2)如图，菱形的周长为 $20$，两条对角线长的比为 $3:4$，则菱形的面积为()。
A.$6$
B.$12$
C.$20$
D.$24$
A.$6$
B.$12$
C.$20$
D.$24$
答案
D
解析
已知菱形的周长为20，因此每条边的长度为$ \frac{20}{4} = 5 $。
设两条对角线分别为$3x$和$4x$，根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分。
因此，每条对角线被平分为两段，分别为$ \frac{3x}{2} $和$ \frac{4x}{2} $，即$1.5x$和$2x$。
根据勾股定理，有：
$ (1.5x)^2 + (2x)^2 = 5^2 $，
$ 2.25x^2 + 4x^2 = 25 $，
$ 6.25x^2 = 25 $，
$ x^2 = 4 $，
$ x = 2 $。
因此，两条对角线的长度分别为：
$ 3x = 3 × 2 = 6 $，
$ 4x = 4 × 2 = 8 $。
菱形的面积为：
$ \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24 $。
设两条对角线分别为$3x$和$4x$，根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分。
因此，每条对角线被平分为两段，分别为$ \frac{3x}{2} $和$ \frac{4x}{2} $，即$1.5x$和$2x$。
根据勾股定理，有：
$ (1.5x)^2 + (2x)^2 = 5^2 $，
$ 2.25x^2 + 4x^2 = 25 $，
$ 6.25x^2 = 25 $，
$ x^2 = 4 $，
$ x = 2 $。
因此，两条对角线的长度分别为：
$ 3x = 3 × 2 = 6 $，
$ 4x = 4 × 2 = 8 $。
菱形的面积为：
$ \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24 $。
