例 1 如图，△ABC 中，D，E，F 分别为 BC，AC，AB 的中点.
(1)△ABC 有条中位线；

(2)若△DEF 的面积为 4，则△ABC 的面积是多少?
【思路导析】三角形的三条中位线把原三角形分成面积相等的四个小三角形.
【请你解答】

(1) 3
(2)
因为D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，所以DE、DF、EF是$\△ ABC$的中位线。
根据中位线定理，$DE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}AC$，$EF =\frac{1}{2}BC$。
所以$\△ DEF \∼ \△ ABC$，且相似比为$1:2$。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，$S_{\△ DEF}:S_{\△ ABC}=1:4$。
已知$S_{\△ DEF}=4$，所以$S_{\△ ABC}=4×4 = 16$。

例 2 如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 CD 的中点，若 AD = 4 cm，求 OE 的长.
【思路导析】线段 OE 是△ACD 的中位线.
【请你解答】

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点（平行四边形对角线互相平分）。
∵E是CD的中点，
∴OE是△ACD的中位线（三角形中位线定义）。
∴OE = $\frac{1}{2}$AD（三角形中位线定理）。
∵AD = 4cm，
∴OE = $\frac{1}{2}×4 = 2$cm。
答：OE的长为2cm。

例 3 已知四边形 ABCD，有以下四个条件：①AB//CD；②AB = CD；③BC//AD；④BC = AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法种数共有()
A. 6 种
B. 5 种
C. 4 种
D. 3 种
【探究点拨】先列举出各种可能的结果，再逐一判定.
【规范解答】从四个条件中任选两个，共有六种不同的选法：①②，①③，①④，②③，②④，③④，其中①④，②③不能判定四边形 ABCD 是平行四边形，故选 C.

C

从四个条件中任选两个，共有以下六种选法：
①②：一组对边平行且相等，可判定平行四边形。
①③：两组对边分别平行，可判定平行四边形。
①④：一组对边平行，另一组对边相等，不能判定平行四边形。
②③：一组对边相等，另一组对边平行，不能判定平行四边形。
②④：两组对边分别相等，可判定平行四边形。
③④：一组对边平行且相等（通过$BC=AD$和$BC// AD$推导另一组对边也平行或相等），可判定平行四边形（或根据意义确定）。
其中，能使四边形$ABCD$为平行四边形的有①②、①③、②④、③④，共四种。

例 4 如图，梯形 ABCD 中，AD//BC，E，F 分别是 AB，DC 的中点，且 EF//BC，若 FO - EO = 5，则 BC - AD =.

【探究点拨】EF 必平分 BD，EO 为△ABD 的一条中位线，FO 为△DBC 的一条中位线.
【规范解答】因为点 E，F 分别平分 AB，DC，且 EF//AD//BC，所以 EO 为△ABD 的中位线，OF 为△BCD 的中位线，故 $ OE = \frac{1}{2}AD $，$ OF = \frac{1}{2}BC $. (中位线定理)
∴BC = 2OF，AD = 2OE， (等式变形)
∴BC - AD = 2(OF - OE) = 2×5 = 10. (等量代换)

10

根据题意，点 E 和 F 分别是 AB 和 DC 的中点，且 EF 平行于 AD 和 BC。因此， EO 是△ABD 的中位线，FO 是△BCD 的中位线。
根据中位线定理，OE = 1/2 AD，OF = 1/2 BC。
所以，BC = 2OF，AD = 2OE。
根据题意，FO - EO = 5。
因此，BC - AD = 2(OF - OE) = 2 × 5 = 10。