10. 如图①，$E$，$F$ 分别为平行四边形 $ABCD$ 的边 $AB$，$DC$ 上的点，且 $BE = DF$.
(1) 求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形；
(2) 如图②，当 $DE$ 平分 $∠ ADC$，$AF⊥ DC$ 时，$DF = 3$，$AE = 5$，求平行四边形 $ABCD$ 的面积.

(1) 证明见上；(2) 32。

(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD。
∵BE=DF，
∴AB-BE=CD-DF，即AE=CF。
又∵AB//CD，
∴AE//CF。
∴四边形AECF是平行四边形。
(2) 解：
∵四边形AECF是平行四边形，AE=5，
∴CF=AE=5。
∵DF=3，
∴DC=DF+FC=3+5=8。
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE。
∵AB//DC，
∴∠AED=∠CDE。
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE=5。
∵AF⊥DC，
∴∠AFD=90°。
在Rt△AFD中，AD=5，DF=3，
由勾股定理得：AF=√(AD²-DF²)=√(5²-3²)=4。
∴平行四边形ABCD的面积=DC×AF=8×4=32。

11. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ B = 90^{\circ}$，$AC = 60\mathrm{cm}$，$∠ A = 60^{\circ}$，点 $D$ 从点 $C$ 出发沿 $CA$ 方向以 $4\mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $A$ 匀速运动，同时点 $E$ 从点 $A$ 出发沿 $AB$ 方向以 $2\mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $B$ 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动. 设点 $D$，$E$ 运动的时间是 $t\mathrm{s}$（$0＜ t＜15$）. $DF⊥ BC$，垂足为 $F$，连接 $DE$，$EF$.
(1) 求证：四边形 $AEFD$ 是平行四边形；
(2) 当 $t$ 为何值时，$△ DEF$ 为直角三角形？

(1) 见解析；(2) $t=7.5$或$t=12$。

(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90^{\circ}$，$∠ A=60^{\circ}$，则$∠ C=30^{\circ}$。
$AC=60\mathrm{cm}$，$AB=\frac{1}{2}AC=30\mathrm{cm}$（30°角所对直角边是斜边一半）。
点$D$运动$t\mathrm{s}$，$CD=4t\mathrm{cm}$，$AD=AC-CD=60-4t\mathrm{cm}$。
点$E$运动$t\mathrm{s}$，$AE=2t\mathrm{cm}$。
$DF⊥ BC$，在$Rt△ CDF$中，$∠ C=30^{\circ}$，$DF=\frac{1}{2}CD=2t\mathrm{cm}$（30°角所对直角边是斜边一半）。
$\because DF⊥ BC$，$∠ B=90^{\circ}$，$\therefore DF// AB$（垂直于同一直线的两直线平行）。
又$AE=2t\mathrm{cm}$，$DF=2t\mathrm{cm}$，$\therefore AE=DF$。
$\because AE// DF$且$AE=DF$，$\therefore$四边形$AEFD$是平行四边形。
(2) 以$B$为原点，$BC$为$x$轴，$BA$为$y$轴建立坐标系，
$B(0,0)$，$C(30\sqrt{3},0)$，$A(0,30)$，$E(0,30-2t)$，$D(\sqrt{3}(30-2t),2t)$，$F(\sqrt{3}(30-2t),0)$。
情况1：$∠ EDF=90^{\circ}$
$DE⊥ DF$，$DF$向量$(0,2t)$，$DE$向量$(\sqrt{3}(30-2t),4t-30)$。
数量积$0×\sqrt{3}(30-2t)+2t(4t-30)=0$，
$2t(4t-30)=0$，$t=7.5$（$t=0$舍）。
情况2：$∠ DEF=90^{\circ}$
$DE⊥ EF$，$DE$向量$(\sqrt{3}(30-2t),4t-30)$，$EF$向量$(\sqrt{3}(30-2t),-(30-2t))$。
数量积$3(30-2t)^2+(4t-30)(- (30-2t))=0$，
$(30-2t)(120-10t)=0$，$t=12$（$t=15$舍）。
情况3：$∠ DFE=90^{\circ}$
$DF⊥ EF$，数量积$0×\sqrt{3}(30-2t)+2t(- (30-2t))=0$，
$-2t(30-2t)=0$，$t=0$或$t=15$（均舍）。
综上，$t=7.5$或$t=12$。