4. 在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$BC = 8$，$\tan B = \dfrac{3}{4}$. 求 $△ ABC$ 的周长和面积.

解：$​tanB=\frac {AC}{BC}=\frac {3}{4}​$
∵​BC=8​
∴​AC=6​
∴$​AB=\sqrt {8^2+6^2}=10​$
∴$​C_{△ABC}=AB+BC+AC=10+8+6=24​$
$​S_{△ABC}=\frac 12BC · AC=\frac 12×8×6=24​$

【解析】
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，根据正切的定义，$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{4}$。
已知$BC = 8$，代入得$\frac{AC}{8} = \frac{3}{4}$，解得$AC = 6$。
由勾股定理可得$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$。
因此，$△ ABC$的周长$C_{△ABC} = AB + BC + AC = 10 + 8 + 6 = 24$；
$△ ABC$的面积$S_{△ABC} = \frac{1}{2}×BC×AC = \frac{1}{2}×8×6 = 24$。
【答案】
$△ ABC$的周长为24，面积为24。
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，三角形周长与面积计算
【点评】
本题考查锐角三角函数、勾股定理及三角形周长和面积的综合运用，需熟练掌握正切的定义求解直角边长度，再利用勾股定理求斜边，进而计算周长和面积，是直角三角形的基础综合题型。

1. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，如果把锐角 $ A $ 的对边和邻边同时扩大 $ 100 $ 倍，那么 $ \sin A $ 的值()。

A.扩大 $ 100 $ 倍
B.缩小 $ \dfrac{1}{100} $
C.不变
D.不能确定

C

【解析】
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$\sin A=\frac{BC}{AB}$。当锐角$A$的对边$BC$和邻边$AC$同时扩大100倍时，根据勾股定理，斜边$AB$也扩大100倍，此时新的$\sin A=\frac{100BC}{100AB}=\frac{BC}{AB}$，所以$\sin A$的值不变。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查锐角三角函数的本质，三角函数值只与锐角的大小有关，与三角形边的长度无关，理解这一点是解题关键。

2. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中， $ ∠ ACB = 90^{\circ} $， $ CD ⊥ AB $，垂足为 $ D $。
(1) $ \sin A = \dfrac{(\quad)}{(\quad)} = \dfrac{(\quad)}{(\quad)} = \dfrac{(\quad)}{(\quad)} $；
(2) $ \cos A = \dfrac{(\quad)}{(\quad)} = \dfrac{(\quad)}{(\quad)} = \dfrac{(\quad)}{(\quad)} $。

CD
BC
BD
AC
AB
BC
AD
AC
CD
AC
AB
BC

3. 用计算器计算下列各式的值(精确到 $ 0.01 $)：
(1) $ \sin 23.5^{\circ} + \cos 66.5^{\circ} $；
(2) $ \sin 14.2^{\circ} - \tan 42.6^{\circ} $。

​≈0.40+0.40​
​=0.80​
​≈0.25-0.92​
​=-0.67​