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4. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $AD$ 的中点，求 $\tan ∠ ABE$ 的值.
答案
解：∵正方形ABCD，E是AD的中点
∴∠A=90°，$AE=\frac 12AD=\frac 12AB$
∴$tan∠ABE=\frac {AE}{AB}=\frac 12$
∴∠A=90°，$AE=\frac 12AD=\frac 12AB$
∴$tan∠ABE=\frac {AE}{AB}=\frac 12$
解析
【解析】
∵四边形$ABCD$是正方形，$E$是$AD$的中点，
∴$∠ A=90°$，$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}AB$，
在$Rt△ ABE$中，根据正切函数的定义，$\tan∠ ABE=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
正方形的性质、锐角三角函数的定义
【点评】
本题需结合正方形的性质得到直角三角形中边的数量关系，再利用锐角正切的定义求解，关键是准确确定直角三角形中锐角的对边与邻边。
∵四边形$ABCD$是正方形，$E$是$AD$的中点，
∴$∠ A=90°$，$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}AB$，
在$Rt△ ABE$中，根据正切函数的定义，$\tan∠ ABE=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
正方形的性质、锐角三角函数的定义
【点评】
本题需结合正方形的性质得到直角三角形中边的数量关系，再利用锐角正切的定义求解，关键是准确确定直角三角形中锐角的对边与邻边。
5. 在等腰三角形 $ABC$ 中，$AB = AC = 13$，$BC = 10$. 求 $\tan B$ 的值.
答案
解：连接A与BC的中点D
∵AB=AC，点D为底边BC的中点
∴AD⊥BC
∵$BD=\frac 12BC=5$
∴$AD=\sqrt {13^2-5^2}=12$
∴$tanB=\frac {AD}{BD}=\frac {12}{5}$
解析
【解析】
连接A与BC的中点D。
∵AB = AC，点D为底边BC的中点，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
∵BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×10 = 5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD = $\sqrt{AB^2 - BD^2}$ = $\sqrt{13^2 - 5^2}$ = 12，
根据锐角三角函数的定义，tanB = $\frac{AD}{BD}$ = $\frac{12}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{12}{5}}$
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 勾股定理
3. 锐角三角函数的定义
【点评】
本题通过等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，结合勾股定理求出直角边长度，再利用锐角三角函数的定义求解正切值，是几何中利用特殊三角形性质解决三角函数问题的典型思路，需熟练掌握相关定理的应用。
连接A与BC的中点D。
∵AB = AC，点D为底边BC的中点，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
∵BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×10 = 5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD = $\sqrt{AB^2 - BD^2}$ = $\sqrt{13^2 - 5^2}$ = 12，
根据锐角三角函数的定义，tanB = $\frac{AD}{BD}$ = $\frac{12}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{12}{5}}$
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 勾股定理
3. 锐角三角函数的定义
【点评】
本题通过等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，结合勾股定理求出直角边长度，再利用锐角三角函数的定义求解正切值，是几何中利用特殊三角形性质解决三角函数问题的典型思路，需熟练掌握相关定理的应用。
1. 用计算器计算下列各式的值(精确到 0.01)：
(1) $\tan 23^{\circ}$；
(2) $\tan 86.5^{\circ}$.
(1) $\tan 23^{\circ}$；
(2) $\tan 86.5^{\circ}$.
答案
解：(1)tan 23°≈0.42
(2)tan 86.5°≈16.35
(2)tan 86.5°≈16.35
2. 比较下列各值的大小：$\tan 32^{\circ}$，$\tan 63^{\circ}$，$\tan 18^{\circ}$.
答案
解：tan 63°＞tan 32°＞tan 18°
解析
【解析】
正切函数$ y = \tan x $在$ (0^{\circ}, 90^{\circ}) $上单调递增，
因为$ 63^{\circ} ＞ 32^{\circ} ＞ 18^{\circ} $，且这三个角都在$ (0^{\circ}, 90^{\circ}) $范围内，
所以$ \tan 63^{\circ} ＞ \tan 32^{\circ} ＞ \tan 18^{\circ} $。
【答案】
$\tan 63^{\circ} ＞ \tan 32^{\circ} ＞ \tan 18^{\circ}$
【知识点】
正切函数单调性
【点评】
本题考查正切函数在锐角范围内的单调性，解题关键是利用正切函数在$ (0^{\circ}, 90^{\circ}) $上单调递增的性质，通过比较角度大小确定正切值的大小关系。
正切函数$ y = \tan x $在$ (0^{\circ}, 90^{\circ}) $上单调递增，
因为$ 63^{\circ} ＞ 32^{\circ} ＞ 18^{\circ} $，且这三个角都在$ (0^{\circ}, 90^{\circ}) $范围内，
所以$ \tan 63^{\circ} ＞ \tan 32^{\circ} ＞ \tan 18^{\circ} $。
【答案】
$\tan 63^{\circ} ＞ \tan 32^{\circ} ＞ \tan 18^{\circ}$
【知识点】
正切函数单调性
【点评】
本题考查正切函数在锐角范围内的单调性，解题关键是利用正切函数在$ (0^{\circ}, 90^{\circ}) $上单调递增的性质，通过比较角度大小确定正切值的大小关系。
3. 在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AB = 15$，$\tan A = \dfrac{3}{4}$. 求 $AC$ 和 $BC$.
答案
解：$tanA=\frac {BC}{AC}=\frac 34$
设BC=3x，则AC=4x
$AB=\sqrt {BC^2+AC^2}=5x=15$
∴x=3
∴AC=12，BC=9
设BC=3x，则AC=4x
$AB=\sqrt {BC^2+AC^2}=5x=15$
∴x=3
∴AC=12，BC=9
解析
【解析】
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，根据正切的定义，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$。
设$BC=3x$（$x＞0$），则$AC=4x$。
由勾股定理可得：$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{(3x)^2+(4x)^2}=5x$。
已知$AB=15$，则$5x=15$，解得$x=3$。
因此$AC=4x=4×3=12$，$BC=3x=3×3=9$。
【答案】
$AC=12$，$BC=9$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题利用正切定义设未知数，结合勾股定理建立方程求解，运用方程思想简化了解题过程，是解直角三角形问题的常用方法。
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，根据正切的定义，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$。
设$BC=3x$（$x＞0$），则$AC=4x$。
由勾股定理可得：$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{(3x)^2+(4x)^2}=5x$。
已知$AB=15$，则$5x=15$，解得$x=3$。
因此$AC=4x=4×3=12$，$BC=3x=3×3=9$。
【答案】
$AC=12$，$BC=9$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题利用正切定义设未知数，结合勾股定理建立方程求解，运用方程思想简化了解题过程，是解直角三角形问题的常用方法。
