登录
7. 甲、乙、丙三人放风筝，各人放出的风筝线长分别为 $ 60 \, \mathrm{m} $、$ 50 \, \mathrm{m} $、$ 40 \, \mathrm{m} $，线与水平地面所成的角分别为 $ 30^{\circ} $、$ 45^{\circ} $、$ 60^{\circ} $，假设把风筝线近似看作是拉直的，则所放风筝最高的是().
A.甲
B.乙
C.丙
D.不能确定
A.甲
B.乙
C.丙
D.不能确定
答案
B
解析
【解析】
分别计算三人所放风筝的高度：
甲的风筝高度：$h_{甲}=60×\sin30^{\circ}=60×\frac{1}{2}=30\,\mathrm{m}$
乙的风筝高度：$h_{乙}=50×\sin45^{\circ}=50×\frac{\sqrt{2}}{2}=25\sqrt{2}\approx35.35\,\mathrm{m}$
丙的风筝高度：$h_{丙}=40×\sin60^{\circ}=40×\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}\approx34.64\,\mathrm{m}$
比较可得：$h_{乙}＞h_{丙}＞h_{甲}$，所以乙的风筝最高。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用；特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查三角函数在实际问题中的应用，核心是利用“风筝高度=风筝线长×线与地面夹角的正弦值”计算高度，通过比较高度大小得出结论，需熟练掌握特殊角的三角函数值。
分别计算三人所放风筝的高度：
甲的风筝高度：$h_{甲}=60×\sin30^{\circ}=60×\frac{1}{2}=30\,\mathrm{m}$
乙的风筝高度：$h_{乙}=50×\sin45^{\circ}=50×\frac{\sqrt{2}}{2}=25\sqrt{2}\approx35.35\,\mathrm{m}$
丙的风筝高度：$h_{丙}=40×\sin60^{\circ}=40×\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}\approx34.64\,\mathrm{m}$
比较可得：$h_{乙}＞h_{丙}＞h_{甲}$，所以乙的风筝最高。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用；特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查三角函数在实际问题中的应用，核心是利用“风筝高度=风筝线长×线与地面夹角的正弦值”计算高度，通过比较高度大小得出结论，需熟练掌握特殊角的三角函数值。
8. 野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东 $ 60^{\circ} $ 的方向前进了 $ 3 \, \mathrm{km} $，第二小组从营地出发向南偏东 $ 30^{\circ} $ 的方向前进了 $ 3 \, \mathrm{km} $，若第一小组准备向第二小组靠拢，则第一小组的行走方向和距离分别为().
A.南偏西 $ 15^{\circ} $，$ 3\sqrt{2} \, \mathrm{km} $
B.北偏东 $ 15^{\circ} $，$ 3\sqrt{2} \, \mathrm{km} $
C.南偏西 $ 15^{\circ} $，$ 3 \, \mathrm{km} $
D.南偏西 $ 45^{\circ} $，$ 3\sqrt{2} \, \mathrm{km} $
A.南偏西 $ 15^{\circ} $，$ 3\sqrt{2} \, \mathrm{km} $
B.北偏东 $ 15^{\circ} $，$ 3\sqrt{2} \, \mathrm{km} $
C.南偏西 $ 15^{\circ} $，$ 3 \, \mathrm{km} $
D.南偏西 $ 45^{\circ} $，$ 3\sqrt{2} \, \mathrm{km} $
答案
A
解析
【解析】
1. 以营地为原点建立平面直角坐标系，设第一小组到达点A，第二小组到达点B。
2. 由题意可得，∠AOB = 60° + 30° = 90°，且OA = OB = 3km，因此△AOB为等腰直角三角形。
3. 根据勾股定理，AB = √(OA² + OB²) = √(3² + 3²) = 3√2 km。
4. 分析行走方向：OA方向为北偏东60°，△AOB中∠OAB = 45°，故从A到B的方向为南偏西60° - 45° = 15°。
综上，第一小组行走方向为南偏西15°，距离为3√2 km。
【答案】
A
【知识点】
1. 方位角的概念
2. 勾股定理的应用
3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题考查方位角与直角三角形的综合应用，解题关键是通过构建几何图形确定三角形形状，结合方位角定义和几何性质求解，需准确把握方位角的描述规则。
1. 以营地为原点建立平面直角坐标系，设第一小组到达点A，第二小组到达点B。
2. 由题意可得，∠AOB = 60° + 30° = 90°，且OA = OB = 3km，因此△AOB为等腰直角三角形。
3. 根据勾股定理，AB = √(OA² + OB²) = √(3² + 3²) = 3√2 km。
4. 分析行走方向：OA方向为北偏东60°，△AOB中∠OAB = 45°，故从A到B的方向为南偏西60° - 45° = 15°。
综上，第一小组行走方向为南偏西15°，距离为3√2 km。
【答案】
A
【知识点】
1. 方位角的概念
2. 勾股定理的应用
3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题考查方位角与直角三角形的综合应用，解题关键是通过构建几何图形确定三角形形状，结合方位角定义和几何性质求解，需准确把握方位角的描述规则。
9. 如图，两建筑物水平距离 $ BD $ 为 $ 32 \, \mathrm{m} $，从点 $ A $ 观测点 $ C $ 和点 $ D $ 的俯角分别为 $ 30^{\circ} $、$ 45^{\circ} $，则建筑物 $ CD $ 的高约为().
A.$ 14 \, \mathrm{m} $
B.$ 17 \, \mathrm{m} $
C.$ 20 \, \mathrm{m} $
D.$ 22 \, \mathrm{m} $
A.$ 14 \, \mathrm{m} $
B.$ 17 \, \mathrm{m} $
C.$ 20 \, \mathrm{m} $
D.$ 22 \, \mathrm{m} $
答案
A
解析
【解析】
过点$ C $作$ CE ⊥ AB $于点$ E $，则四边形$ EBDC $是矩形，
所以$ CE = BD = 32\,\mathrm{m} $，$ CD = BE $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABD $中，$ ∠ ADB = 45° $，
所以$ AB = BD = 32\,\mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ ACE $中，$ ∠ ACE = 30° $，
由$ \tan30° = \frac{AE}{CE} $，得$ AE = CE · \tan30° = 32 × \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 18.46\,\mathrm{m} $。
所以$ CD = BE = AB - AE \approx 32 - 18.46 \approx 14\,\mathrm{m} $。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的应用（俯角问题）；矩形的性质；锐角三角函数的应用
【点评】
本题通过作辅助线构造直角三角形与矩形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，关键是利用俯角的定义结合三角函数的定义进行计算。
过点$ C $作$ CE ⊥ AB $于点$ E $，则四边形$ EBDC $是矩形，
所以$ CE = BD = 32\,\mathrm{m} $，$ CD = BE $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABD $中，$ ∠ ADB = 45° $，
所以$ AB = BD = 32\,\mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ ACE $中，$ ∠ ACE = 30° $，
由$ \tan30° = \frac{AE}{CE} $，得$ AE = CE · \tan30° = 32 × \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 18.46\,\mathrm{m} $。
所以$ CD = BE = AB - AE \approx 32 - 18.46 \approx 14\,\mathrm{m} $。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的应用（俯角问题）；矩形的性质；锐角三角函数的应用
【点评】
本题通过作辅助线构造直角三角形与矩形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，关键是利用俯角的定义结合三角函数的定义进行计算。
10. 如图，在河岸边点 $ A $ 观测对岸河边树 $ C $ 的视线与河岸的夹角为 $ 30^{\circ} $，沿河岸前行 $ 100 \, \mathrm{m} $ 到点 $ B $，观测树 $ C $ 的视线与河岸的夹角为 $ 45^{\circ} $，则河的宽度为().
A.$ 200 \, \mathrm{m} $
B.$ 100\sqrt{3} \, \mathrm{m} $
C.$ \dfrac{100}{\sqrt{3} - 1} \, \mathrm{m} $
D.$ \dfrac{100}{\sqrt{3} + 1} \, \mathrm{m} $
A.$ 200 \, \mathrm{m} $
B.$ 100\sqrt{3} \, \mathrm{m} $
C.$ \dfrac{100}{\sqrt{3} - 1} \, \mathrm{m} $
D.$ \dfrac{100}{\sqrt{3} + 1} \, \mathrm{m} $
答案
C
解析
【解析】
设河的宽度为$ x \, \mathrm{m} $，过点$ C $作$ CD ⊥ $河岸于点$ D $，则$ CD = x $。
1. 在$ \mathrm{Rt}△ CBD $中，$ ∠ CBD = 45^{\circ} $，故$ BD = CD = x $；
2. 在$ \mathrm{Rt}△ CAD $中，$ ∠ CAD = 30^{\circ} $，由$ \tan30^{\circ} = \frac{CD}{AD} $，得$ AD = \frac{CD}{\tan30^{\circ}} = \sqrt{3}x $；
3. 因为$ AD - BD = AB = 100 \, \mathrm{m} $，所以$ \sqrt{3}x - x = 100 $，解得$ x = \frac{100}{\sqrt{3} - 1} $。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形三角函数、解直角三角形的应用
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，通过构造直角三角形，设未知数并结合特殊角的三角函数值建立方程求解，核心是将实际测量问题转化为数学几何问题。
设河的宽度为$ x \, \mathrm{m} $，过点$ C $作$ CD ⊥ $河岸于点$ D $，则$ CD = x $。
1. 在$ \mathrm{Rt}△ CBD $中，$ ∠ CBD = 45^{\circ} $，故$ BD = CD = x $；
2. 在$ \mathrm{Rt}△ CAD $中，$ ∠ CAD = 30^{\circ} $，由$ \tan30^{\circ} = \frac{CD}{AD} $，得$ AD = \frac{CD}{\tan30^{\circ}} = \sqrt{3}x $；
3. 因为$ AD - BD = AB = 100 \, \mathrm{m} $，所以$ \sqrt{3}x - x = 100 $，解得$ x = \frac{100}{\sqrt{3} - 1} $。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形三角函数、解直角三角形的应用
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，通过构造直角三角形，设未知数并结合特殊角的三角函数值建立方程求解，核心是将实际测量问题转化为数学几何问题。
