三、解答题
11. 如图，水库的横截面是梯形 $ ABCD $，坝顶宽 $ BC $ 为 $ 6 \, \mathrm{m} $，坝高 $ BE $ 为 $ 23 \, \mathrm{m} $，斜坡 $ AB $ 的坡度为 $ 1 : \sqrt{3} $，斜坡 $ CD $ 的坡度为 $ 1 : 1 $.求斜坡 $ AB $ 的长及坡角 $ α $ 和坝底宽 $ AD $（精确到 $ 0.1 \, \mathrm{m} $）.

解：$​tan α=\frac 1{\sqrt 3}=\frac {\sqrt 3}3​$
∴​α=30°​
$​AB=\frac {BE}{sin α}=46.0$，$​​AE=\frac {BE}{tan α}=23\sqrt 3​$
​DF=CF · tan 45°=23，​​EF=BC=6​
∴$​AD=AE+EF+DF=23\sqrt 3+6+23≈68.8​$
答：斜坡​AB​长​46.0​米，坡角α为​30°，​坝底宽​AD​为​68.8​米。

12. 一艘船向正东方向航行，上午 $ 8 : 50 $ 在 $ A $ 处测得一座灯塔在船的北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向、距离 $ 72 \, \mathrm{km} $ 远处.上午 $ 10 : 10 $ 到达 $ B $ 处，测得灯塔在船的正北方向.求这艘船的航行速度（精确到 $ 0.1 \, \mathrm{km/h} $）.

解：$​AB=72×sin 60°=36\sqrt 3(\mathrm {km})​$
​10：​​10-8：​​50=1​小时​20​分$​=\frac 43(\mathrm {h})​$
$​\frac {36\sqrt 3}{\frac 43}≈46.8(\mathrm {km/h})​$
答：这艘船的航行速度是$​46.8\ \mathrm {km/h}$。​

【解析】
根据题意构建直角三角形，设灯塔为点C，则△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，AC=72km，∠ACB=60°。
1. 计算航行路程AB：
$AB = 72×\sin60° = 36\sqrt{3}(\mathrm{km})$
2. 计算航行时间：
10时10分 - 8时50分 = 1小时20分 = $\frac{4}{3}$小时
3. 计算航行速度：
$\frac{36\sqrt{3}}{\frac{4}{3}} ≈ 46.8(\mathrm{km/h})$
【答案】
$46.8\ \mathrm{km/h}$
【知识点】
解直角三角形，路程速度时间关系，时间单位换算
【点评】
本题考查解直角三角形在航海实际问题中的应用，需准确理解方向角的含义，熟练运用直角三角形边角关系求解路程，同时注意时间单位的换算，掌握路程、速度、时间的计算公式。

13. 如图，在一个坡角为 $ 15^{\circ} $ 的斜坡上，从点 $ C $ 观测旗杆顶端 $ A $ 的视线与斜坡面的夹角为 $ 50^{\circ} $，点 $ C $ 到旗杆底端 $ B $ 的距离为 $ 2.5 \, \mathrm{m} $.求旗杆 $ AB $ 的高（精确到 $ 0.1 \, \mathrm{m} $）.

解：过点​C​作​CD⊥AB​于点​D​

∵斜坡的坡角为​15°​
∴​∠BCD=15°​
∴$​CD=\mathrm {cos}15°×BC=2.4m$，​
$​BD=\mathrm {sin}15°×BC=0.6m​$
∵​∠ACB=50°​
∴​∠ACD=∠ACB+∠BCD=65°​
∴$​AD=\mathrm {tan}65°×CD=5.1m$，​
​AB=AD-BD=4.5m​
答：旗杆​AB​的高为​4.5​米。