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3. 求下面各图中阴影部分的面积。（单位：dm）
答案
(1) 30 平方分米
(2) 16.74 平方分米
(2) 16.74 平方分米
解析
(1) 第一个图形：
梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 = (7 + 10) × 6 ÷ 2 = 51 (平方分米)，
中间空白三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 = 7 × 6 ÷ 2 = 21 (平方分米)，
阴影部分面积 = 梯形面积 - 空白三角形面积 = 51 - 21 = 30 (平方分米)。
(2) 第二个图形：
梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 = (6 + 9) × 6 ÷ 2 = 45 (平方分米)，
四分之一圆的面积 = π × 半径的平方 ÷ 4 = 3.14 × 6 × 6 ÷ 4 = 28.26 (平方分米)，
阴影部分面积 = 梯形面积 - 四分之一圆的面积 = 45 - 28.26 = 16.74 (平方分米)。
梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 = (7 + 10) × 6 ÷ 2 = 51 (平方分米)，
中间空白三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 = 7 × 6 ÷ 2 = 21 (平方分米)，
阴影部分面积 = 梯形面积 - 空白三角形面积 = 51 - 21 = 30 (平方分米)。
(2) 第二个图形：
梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 = (6 + 9) × 6 ÷ 2 = 45 (平方分米)，
四分之一圆的面积 = π × 半径的平方 ÷ 4 = 3.14 × 6 × 6 ÷ 4 = 28.26 (平方分米)，
阴影部分面积 = 梯形面积 - 四分之一圆的面积 = 45 - 28.26 = 16.74 (平方分米)。
(1)一个圆锥形零件，底面周长是31.4 cm，高是9 cm，它的体积是多少立方厘米？
答案
①求底面半径：
根据圆的周长公式$C = 2π r$，已知底面周长$C = 31.4cm$，$π$取$3.14$，则底面半径$r = C÷(2π)=31.4÷(2×3.14)= 5cm$。
②求圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^{2}h$，把$r = 5cm$，$h = 9cm$，$π = 3.14$代入可得：
$V=\frac{1}{3}×3.14×5^{2}×9$
$=\frac{1}{3}×3.14×25×9$
$ = 3.14×25×3$
$ = 235.5cm^{3}$
答：体积是$235.5$立方厘米。
根据圆的周长公式$C = 2π r$，已知底面周长$C = 31.4cm$，$π$取$3.14$，则底面半径$r = C÷(2π)=31.4÷(2×3.14)= 5cm$。
②求圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^{2}h$，把$r = 5cm$，$h = 9cm$，$π = 3.14$代入可得：
$V=\frac{1}{3}×3.14×5^{2}×9$
$=\frac{1}{3}×3.14×25×9$
$ = 3.14×25×3$
$ = 235.5cm^{3}$
答：体积是$235.5$立方厘米。
(2)一个底面半径是6 cm的圆柱形玻璃容器里装有一部分水，水中浸没着一个高是9 cm的圆锥形铅锥，将铅锥从水中取出后，水面下降了0.5 cm。不计铅锥上附着的水分，这个圆锥形铅锥的底面积是多少？
答案
解：圆柱形玻璃容器底面半径$r = 6\space cm$，水面下降高度$h = 0.5\space cm$。
圆锥体积$V = $圆柱中下降水的体积$= π r^2 h = 3.14×6^2×0.5 = 3.14×36×0.5 = 56.52\space cm^3$。
圆锥体积公式$V = \frac{1}{3}Sh$，圆锥高$h = 9\space cm$，则圆锥底面积$S = 3V÷ h = 3×56.52÷9 = 169.56÷9 = 18.84\space cm^2$。
答：这个圆锥形铅锥的底面积是$18.84\space cm^2$。
圆锥体积$V = $圆柱中下降水的体积$= π r^2 h = 3.14×6^2×0.5 = 3.14×36×0.5 = 56.52\space cm^3$。
圆锥体积公式$V = \frac{1}{3}Sh$，圆锥高$h = 9\space cm$，则圆锥底面积$S = 3V÷ h = 3×56.52÷9 = 169.56÷9 = 18.84\space cm^2$。
答：这个圆锥形铅锥的底面积是$18.84\space cm^2$。
(3)一个房间长6 m，宽3.5 m，高3 m，门窗的面积是8 m²。现在要给这个房间的墙壁和房顶都粉刷涂料，如果每平方米需要涂料4 kg，那么一共需要多少千克涂料？
答案
1. 计算房间墙壁和房顶的总面积：
房顶面积：$6×3.5 = 21$（平方米）
前后墙壁面积：$2×(6×3) = 36$（平方米）
左右墙壁面积：$2×(3.5×3) = 21$（平方米）
总面积：$21 + 36 + 21 = 78$（平方米）
2. 扣除门窗面积：$78 - 8 = 70$（平方米）
3. 计算所需涂料总量：$70×4 = 280$（千克）
答：一共需要280千克涂料。
房顶面积：$6×3.5 = 21$（平方米）
前后墙壁面积：$2×(6×3) = 36$（平方米）
左右墙壁面积：$2×(3.5×3) = 21$（平方米）
总面积：$21 + 36 + 21 = 78$（平方米）
2. 扣除门窗面积：$78 - 8 = 70$（平方米）
3. 计算所需涂料总量：$70×4 = 280$（千克）
答：一共需要280千克涂料。
(4)把如图所示的四个纸巾盒包装在一起，至少需要多少包装纸？(单位：cm，接头处忽略不计)
答案
2080$\mathrm{cm}^2$
解析
步骤1：确定单个纸巾盒尺寸
纸巾盒长$a=20\,\mathrm{cm}$，宽$b=10\,\mathrm{cm}$，高$h=8\,\mathrm{cm}$。
步骤2：分析拼接方式，使表面积最小
要使包装纸最少，需使拼成的大长方体表面积最小。当长、宽、高越接近时，表面积越小。优先拼接最大面以减少外露面积。
步骤3：确定最优拼接方案
将4个纸巾盒按$2×2×1$排列：
沿宽方向拼接2个（宽变为$2b=2×10=20\,\mathrm{cm}$），形成长$20\,\mathrm{cm}$、宽$20\,\mathrm{cm}$、高$8\,\mathrm{cm}$的长方体；
再沿高方向叠放2层（高变为$2h=2×8=16\,\mathrm{cm}$），最终大长方体尺寸为：长$20\,\mathrm{cm}$、宽$20\,\mathrm{cm}$、高$16\,\mathrm{cm}$。
步骤4：计算表面积
表面积公式：$S=2(ab+ah+bh)$
代入尺寸：
$S=2×(20×20 + 20×16 + 20×16)$
$=2×(400 + 320 + 320)$
$=2×1040=2080\,\mathrm{cm}^2$
纸巾盒长$a=20\,\mathrm{cm}$，宽$b=10\,\mathrm{cm}$，高$h=8\,\mathrm{cm}$。
步骤2：分析拼接方式，使表面积最小
要使包装纸最少，需使拼成的大长方体表面积最小。当长、宽、高越接近时，表面积越小。优先拼接最大面以减少外露面积。
步骤3：确定最优拼接方案
将4个纸巾盒按$2×2×1$排列：
沿宽方向拼接2个（宽变为$2b=2×10=20\,\mathrm{cm}$），形成长$20\,\mathrm{cm}$、宽$20\,\mathrm{cm}$、高$8\,\mathrm{cm}$的长方体；
再沿高方向叠放2层（高变为$2h=2×8=16\,\mathrm{cm}$），最终大长方体尺寸为：长$20\,\mathrm{cm}$、宽$20\,\mathrm{cm}$、高$16\,\mathrm{cm}$。
步骤4：计算表面积
表面积公式：$S=2(ab+ah+bh)$
代入尺寸：
$S=2×(20×20 + 20×16 + 20×16)$
$=2×(400 + 320 + 320)$
$=2×1040=2080\,\mathrm{cm}^2$
