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7. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$∠ B = 30°$，$AD$ 是 $∠ CAB$ 的平分线，若 $AC = \sqrt{3}$，求 $AD$ 的长.
答案
解：
在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=180°−90°−30°=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=½∠CAB=30°，
在Rt△ACD中，设CD=x，则AD=2x，
由勾股定理得：$AC^2+CD^2=AD^2$，
即$(\sqrt{3})^2+x^2=(2x)^2$，
$3+x^2=4x^2$，
$3x^2=3$，
$x^2=1$，
∵x＞0，∴x=1，
∴AD=2x=2。
在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=180°−90°−30°=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=½∠CAB=30°，
在Rt△ACD中，设CD=x，则AD=2x，
由勾股定理得：$AC^2+CD^2=AD^2$，
即$(\sqrt{3})^2+x^2=(2x)^2$，
$3+x^2=4x^2$，
$3x^2=3$，
$x^2=1$，
∵x＞0，∴x=1，
∴AD=2x=2。
8. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ C = 75°$，$∠ B = 60°$，$BC = 2\sqrt{3}$，求 $△ ABC$ 的面积.
答案
解：
过点C作CD⊥AB于点D。
在△ABC中，∠A = 180° - ∠C - ∠B = 180° - 75° - 60° = 45°。
在Rt△BCD中，∠BDC = 90°，∠B = 60°，BC = 2√3，
∵ sinB = CD/BC，
∴ CD = BC·sin60° = 2√3 × (√3/2) = 3，
∵ cosB = BD/BC，
∴ BD = BC·cos60° = 2√3 × 1/2 = √3。
在Rt△ACD中，∠ADC = 90°，∠A = 45°，
∴ AD = CD = 3，
∴ AB = AD + BD = 3 + √3。
∴ S△ABC = 1/2 × AB × CD = 1/2 × (3 + √3) × 3 = (9 + 3√3)/2。
过点C作CD⊥AB于点D。
在△ABC中，∠A = 180° - ∠C - ∠B = 180° - 75° - 60° = 45°。
在Rt△BCD中，∠BDC = 90°，∠B = 60°，BC = 2√3，
∵ sinB = CD/BC，
∴ CD = BC·sin60° = 2√3 × (√3/2) = 3，
∵ cosB = BD/BC，
∴ BD = BC·cos60° = 2√3 × 1/2 = √3。
在Rt△ACD中，∠ADC = 90°，∠A = 45°，
∴ AD = CD = 3，
∴ AB = AD + BD = 3 + √3。
∴ S△ABC = 1/2 × AB × CD = 1/2 × (3 + √3) × 3 = (9 + 3√3)/2。
9. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ BAD = ∠ C = 90°$，$AB = AD = 9$，$AE⊥ BC$，垂足为 $E$，$AE = 8$，求 $CD$ 的长.
答案
解：过点D作DF⊥AE于点F，
因为AE⊥BC，∠C=90°，DF⊥AE，
所以∠DFE=∠FEC=∠C=90°，
所以四边形DFEC是矩形，
所以CD=EF。
因为∠BAD=90°，
所以∠BAE + ∠DAF=90°，
又因为AE⊥BC，所以∠BAE + ∠B=90°，
所以∠B=∠DAF。
在△ABE和△DAF中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠DAF \\∠AEB=∠DFA=90° \\AB=AD\end{array} $
所以△ABE≌△DAF（AAS），
所以AF=BE。
在Rt△ABE中，AB=9，AE=8，
由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{9^2 - 8^2}=\sqrt{17}$，
所以AF=$\sqrt{17}$。
因为EF=AE - AF=8 - $\sqrt{17}$，
所以CD=EF=8 - $\sqrt{17}$。
答：CD的长为$8 - \sqrt{17}$。
因为AE⊥BC，∠C=90°，DF⊥AE，
所以∠DFE=∠FEC=∠C=90°，
所以四边形DFEC是矩形，
所以CD=EF。
因为∠BAD=90°，
所以∠BAE + ∠DAF=90°，
又因为AE⊥BC，所以∠BAE + ∠B=90°，
所以∠B=∠DAF。
在△ABE和△DAF中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠DAF \\∠AEB=∠DFA=90° \\AB=AD\end{array} $
所以△ABE≌△DAF（AAS），
所以AF=BE。
在Rt△ABE中，AB=9，AE=8，
由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{9^2 - 8^2}=\sqrt{17}$，
所以AF=$\sqrt{17}$。
因为EF=AE - AF=8 - $\sqrt{17}$，
所以CD=EF=8 - $\sqrt{17}$。
答：CD的长为$8 - \sqrt{17}$。
10. 如图，在长方形 $ABCD$ 中，$AB = 8$，$BC = 6$，$P$ 为 $AD$ 上一点，将 $△ ABP$ 沿 $BP$ 翻折为 $△ EBP$，$PE$ 与 $CD$ 相交于点 $O$，$BE$ 与 $CD$ 相交于点 $G$，且 $OE = OD$.
(1) 求证 $DG = EP$.
(2) 求 $AP$ 的长.
(1) 求证 $DG = EP$.
(2) 求 $AP$ 的长.
答案
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是长方形，
∴ $∠ D=∠ A=90°$，$AD=BC=6$，$AB=CD=8$。
由翻折的性质得：$△ EBP ≌ △ ABP$，
∴ $∠ E=∠ A=90°$，$EP=AP$，$EB=AB=8$。
在$△ DOP$和$△ EOG$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ E \\OD=OE \\∠ DOP=∠ EOG\end{cases}$
∴ $△ DOP ≌ △ EOG$（ASA），
∴ $OP=OG$，
∵ $OD=OE$，
∴ $OD+OG=OE+OP$，
即 $DG=EP$。
(2) 解：
设$AP=x$，则$EP=x$，$DP=AD-AP=6-x$。
由$△ DOP ≌ △ EOG$得：$EG=DP=6-x$，
∴ $BG=EB-EG=8-(6-x)=x+2$。
∵ $DG=EP=x$，
∴ $CG=CD-DG=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ BCG$中，由勾股定理得：
$BC^2 + CG^2=BG^2$，
即 $6^2+(8-x)^2=(x+2)^2$，
展开得：$36+64-16x+x^2=x^2+4x+4$，
整理得：$20x=96$，
解得：$x=4.8$（或$\frac{24}{5}$）。
即$AP$的长为$4.8$（或$\frac{24}{5}$）。
∵ 四边形$ABCD$是长方形，
∴ $∠ D=∠ A=90°$，$AD=BC=6$，$AB=CD=8$。
由翻折的性质得：$△ EBP ≌ △ ABP$，
∴ $∠ E=∠ A=90°$，$EP=AP$，$EB=AB=8$。
在$△ DOP$和$△ EOG$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ E \\OD=OE \\∠ DOP=∠ EOG\end{cases}$
∴ $△ DOP ≌ △ EOG$（ASA），
∴ $OP=OG$，
∵ $OD=OE$，
∴ $OD+OG=OE+OP$，
即 $DG=EP$。
(2) 解：
设$AP=x$，则$EP=x$，$DP=AD-AP=6-x$。
由$△ DOP ≌ △ EOG$得：$EG=DP=6-x$，
∴ $BG=EB-EG=8-(6-x)=x+2$。
∵ $DG=EP=x$，
∴ $CG=CD-DG=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ BCG$中，由勾股定理得：
$BC^2 + CG^2=BG^2$，
即 $6^2+(8-x)^2=(x+2)^2$，
展开得：$36+64-16x+x^2=x^2+4x+4$，
整理得：$20x=96$，
解得：$x=4.8$（或$\frac{24}{5}$）。
即$AP$的长为$4.8$（或$\frac{24}{5}$）。
