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1. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$CD⊥ AB$，垂足为 $D$. 若 $∠ A = 30°$，$BD = 2$，则 $AC$ 的长是().
A.4
B.$4\sqrt{3}$
C.8
D.16
A.4
B.$4\sqrt{3}$
C.8
D.16
答案
B
解析
1. 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠A=30°$，故$∠B=60°$，且$BC=\frac{1}{2}AB$。
2. 因为$CD⊥AB$，所以$∠CDB=90°$，在$Rt△CDB$中，$∠BCD=30°$，已知$BD=2$，根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得$BC=2BD=4$。
3. 回到$Rt△ABC$，由$∠A=30°$，得$AB=2BC=8$。
4. 根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}=4\sqrt{3}$。
2. 因为$CD⊥AB$，所以$∠CDB=90°$，在$Rt△CDB$中，$∠BCD=30°$，已知$BD=2$，根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得$BC=2BD=4$。
3. 回到$Rt△ABC$，由$∠A=30°$，得$AB=2BC=8$。
4. 根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}=4\sqrt{3}$。
2. 在四边形 $BCDE$ 中，$∠ C = ∠ BED = 90°$，$∠ B = 60°$，延长 $CD$，$BE$，两线相交于点 $A$. 已知 $CD = 4$，$DE = 2$，则 $BC$ 的长是().
A.8
B.$\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
C.16
D.$\dfrac{16\sqrt{3}}{3}$
A.8
B.$\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
C.16
D.$\dfrac{16\sqrt{3}}{3}$
答案
B
解析
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，可得$∠ A=30°$。
2. 在$Rt△ ADE$中，$∠ AED=90°$，$∠ A=30°$，$DE=2$，根据30°角所对直角边是斜边的一半，得$AD=2DE=4$。
3. 已知$CD=4$，则$AC=CD+AD=4+4=8$。
4. 设$BC=x$，在$Rt△ ABC$中，$∠ A=30°$，故$AB=2x$，由勾股定理：$AC^2+BC^2=AB^2$，即$8^2+x^2=(2x)^2$，解得$x=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$，即$BC=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$。
2. 在$Rt△ ADE$中，$∠ AED=90°$，$∠ A=30°$，$DE=2$，根据30°角所对直角边是斜边的一半，得$AD=2DE=4$。
3. 已知$CD=4$，则$AC=CD+AD=4+4=8$。
4. 设$BC=x$，在$Rt△ ABC$中，$∠ A=30°$，故$AB=2x$，由勾股定理：$AC^2+BC^2=AB^2$，即$8^2+x^2=(2x)^2$，解得$x=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$，即$BC=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$。
3. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ A = 90°$，$BD$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AC$ 于点 $D$，$DE// AB$ 交 $BC$ 于点 $E$. 若 $CE = 10$，$BE = 6$，则 $△ CDE$ 的周长为().
A.18
B.20
C.22
D.24
A.18
B.20
C.22
D.24
答案
D
解析
1. 由BD平分∠ABC，得∠ABD=∠DBE；
2. 因为DE//AB，所以∠ABD=∠BDE，进而∠DBE=∠BDE，故DE=BE=6；
3. 由∠A=90°，DE//AB，得∠EDC=∠A=90°，即△CDE为直角三角形；
4. 在Rt△CDE中，CE=10，DE=6，根据勾股定理得CD=√(10²-6²)=8；
5. △CDE的周长为CD+DE+CE=8+6+10=24。
2. 因为DE//AB，所以∠ABD=∠BDE，进而∠DBE=∠BDE，故DE=BE=6；
3. 由∠A=90°，DE//AB，得∠EDC=∠A=90°，即△CDE为直角三角形；
4. 在Rt△CDE中，CE=10，DE=6，根据勾股定理得CD=√(10²-6²)=8；
5. △CDE的周长为CD+DE+CE=8+6+10=24。
4. 如图，点 $A$，$B$，$C$，$D$ 均在正方形网格的格点上，比线段 $BD$ 短的是线段().
A.$AB$
B.$AC$
C.$BC$
D.$CD$
A.$AB$
B.$AC$
C.$BC$
D.$CD$
答案
A
解析
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算各线段长度的平方：
$BD^2 = 3^2 + 1^2 = 10$
$AB^2 = 2^2 + 2^2 = 8$
$AC^2 = 3^2 + 1^2 = 10$
$BC^2 = 1^2 + 3^2 = 10$
$CD^2 = 4^2 + 4^2 = 32$
因为$8 ＜ 10$，所以$AB ＜ BD$，其余线段长度均不小于$BD$。
$BD^2 = 3^2 + 1^2 = 10$
$AB^2 = 2^2 + 2^2 = 8$
$AC^2 = 3^2 + 1^2 = 10$
$BC^2 = 1^2 + 3^2 = 10$
$CD^2 = 4^2 + 4^2 = 32$
因为$8 ＜ 10$，所以$AB ＜ BD$，其余线段长度均不小于$BD$。
5. 如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $3$，$E$ 为 $CD$ 边上一点，$DE = 1$. 以点 $A$ 为中心，把 $△ ADE$ 顺时针旋转 $90°$ 得到 $△ ABE_{1}$，连接 $EE_{1}$，则 $EE_{1}$ 的长是.
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{5}}$
解析
1. 根据旋转的性质，可得$△ ADE ≌ △ ABE_{1}$，因此$BE_{1}=DE=1$，$AE=AE_{1}$，$∠ EAE_{1}=90°$，且$∠ ABE_{1}=∠ D=90°$，故$E_{1}$、$B$、$C$三点共线。
2. 已知正方形边长为3，计算得$EC=CD-DE=3-1=2$，$E_{1}C=BE_{1}+BC=1+3=4$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ E_{1}CE$中，由勾股定理得：$EE_{1}=\sqrt{E_{1}C^{2}+EC^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
2. 已知正方形边长为3，计算得$EC=CD-DE=3-1=2$，$E_{1}C=BE_{1}+BC=1+3=4$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ E_{1}CE$中，由勾股定理得：$EE_{1}=\sqrt{E_{1}C^{2}+EC^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
6. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC = 5$，$BD$ 是 $AC$ 边上的高，$DC = 2$，则 $BC$ 的长为.
答案
$2\sqrt{5}$
解析
1. 计算$AD$的长度：已知$AC=5$，$DC=2$，则$AD=AC-DC=5-2=3$。
2. 求$BD$的长度：因为$BD$是$AC$边上的高，所以$△ ABD$是直角三角形。根据勾股定理，$BD^2=AB^2-AD^2=5^2-3^2=16$，故$BD=4$。
3. 计算$BC$的长度：$△ BDC$是直角三角形，根据勾股定理，$BC^2=BD^2+DC^2=4^2+2^2=20$，因此$BC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
2. 求$BD$的长度：因为$BD$是$AC$边上的高，所以$△ ABD$是直角三角形。根据勾股定理，$BD^2=AB^2-AD^2=5^2-3^2=16$，故$BD=4$。
3. 计算$BC$的长度：$△ BDC$是直角三角形，根据勾股定理，$BC^2=BD^2+DC^2=4^2+2^2=20$，因此$BC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
