3. 如图，在正方形ABCD中，E为直线AB上的动点(点E不与点A，B重合)，作射线DE并绕点D逆时针旋转45°，交直线BC于点F，连接EF.
(1)探究：当点E在边AB上时，求证：EF = AE + CF；
(2)应用：①当点E在边AB上，且AD = 2时，△BEF的周长是__________；
②当点E不在边AB上时，EF，AE，CF三者的数量关系是______________________________.

(1) 证明：如答图，延长$BA$到点$G$，使$AG = CF$，连接$DG$.

∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$DA = DC, \angle DAB = \angle DCF = 90^{\circ}$，∴$\angle DAG = 90^{\circ}$，
∴$\triangle DAG\cong\triangle DCF(SAS)$，
∴$\angle GDA = \angle FDC, DG = DF$.
∵$\angle ADC = 90^{\circ}, \angle EDF = 45^{\circ}$，
∴$\angle EDG = \angle ADG + \angle ADE = \angle FDC + \angle ADE = 45^{\circ}$.
在$\triangle DEG$和$\triangle DEF$中，$\begin{cases}DE = DE\\\angle EDG=\angle EDF\\DG = DF\end{cases}$
∴$\triangle DEG\cong\triangle DEF(SAS)$，
∴$EF = EG = AE + AG = AE + CF$.
(2) ①$4$
②$EF = CF - AE$或$EF = AE - CF$

4. 如图，P是正方形ABCD内一点，PA = 1，PB = 2，PC = 3，将△ABP绕点B按顺时针方向旋转到与△CBQ重合，连接PQ. 求：
(1)PQ的长；
(2)∠APB的度数.

解：(1)∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$\angle ABC = 90^{\circ}$.
∵$\triangle ABP\cong\triangle CBQ$，
∴$\angle ABP = \angle CBQ$，
∴$\angle PBQ = \angle ABC = 90^{\circ}$.
∵$PB = BQ = 2$，
∴$PQ=\sqrt{PB^{2}+BQ^{2}} = 2\sqrt{2}$.
(2) 由旋转得$QC = PA = 1$，
在$\triangle QPC$中，$(2\sqrt{2})^{2}+1^{2}=3^{2}$，
即$PQ^{2}+QC^{2}=PC^{2}$，
∴$\triangle QPC$为直角三角形，$\angle PQC = 90^{\circ}$.
∵$\triangle PBQ$是等腰直角三角形，
∴$\angle BPQ = 45^{\circ}$，
∴$\angle APB = 180^{\circ}-\angle BPQ = 135^{\circ}$.