1. (2023·吴江区期中)如图①，E为正方形ABCD内一点，∠AEB = 90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'，延长AE交CE'于点F，连接DE.
(1)试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
(2)如图②，若DA = DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并说明理由；
(3)如图①，若△ADE的面积为72，BC = 15，求CF的长.

解：(1) 四边形$BE'FE$是正方形. 理由如下：
∵将$Rt\triangle ABE$绕点$B$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$得到$\triangle CBE'$，
∴$\angle AEB = \angle CE'B = 90^{\circ}, BE = BE', \angle EBE' = 90^{\circ}$.
∵$\angle BEF = 90^{\circ}$，∴四边形$BE'FE$是正方形.
(2)$CF = FE'$. 理由如下：
如答图①，过点$D$作$DH\perp AE$于点$H$，

∵$DA = DE, DH\perp AE$，
∴$AH=\frac{1}{2}AE, \angle ADH + \angle DAH = 90^{\circ}$.
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD = AB, \angle DAB = 90^{\circ}$，
∴$\angle DAH + \angle BAE = 90^{\circ}$，
∴$\angle ADH = \angle BAE$.
∵$AD = AB, \angle AHD = \angle BEA = 90^{\circ}$，
∴$\triangle ADH\cong\triangle BAE(AAS)$，
∴$AH = HE = BE=\frac{1}{2}AE$.
由(1)可知四边形$BE'FE$是正方形，∴$BE = E'F$，
∴$E'F=\frac{1}{2}AE$.
∵将$Rt\triangle ABE$绕点$B$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$得到$\triangle CBE'$，
∴$AE = CE'$，
∴$E'F=\frac{1}{2}CE', \therefore CF = FE'$.
(3) 作$DG\perp AE$于点$G$，如答图②.

由(2)可知，$Rt\triangle AEB\cong Rt\triangle DGA$，
由将$Rt\triangle ABE$绕点$B$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$得$Rt\triangle CBE'$可知，
$Rt\triangle AEB\cong Rt\triangle CE'B$，
∴$Rt\triangle DGA\cong Rt\triangle CE'B$，
∴$DG = AE = CE'$.
∵$S_{\triangle ADE}=72=\frac{1}{2}DG\cdot AE$，
设$AE = x$，则$DG=\frac{144}{x}$，
∴由$AE = DG$，得$x=\frac{144}{x}$，解得$x = 12$，
∴$DG = AE = CE' = 12$.
在$Rt\triangle CBE'$中，$BE'=\sqrt{BC^{2}-CE'^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}} = 9$.
∵四边形$BE'FE$是正方形，∴$BE = E'F = 9$，
∴$CF = CE' - E'F = 12 - 9 = 3$.

2. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点(与点B，C不重合)，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF.
(1)求证：△ABE≌△EGF；
(2)若BE = 2EC，$S_{△ECF}= 4，$求AB的长；
(3)试判断△FCG的形状，并说明理由.

(1) 证明：∵$\angle AEF = 90^{\circ}$，∴$\angle AEB + \angle GEF = 90^{\circ}$.
又∵四边形$ABCD$是正方形，∴$\angle ABE = 90^{\circ}$，
∴$\angle AEB + \angle BAE = 90^{\circ}$，∴$\angle GEF = \angle BAE$.
又∵$FG\perp BC$，∴$\angle EGF = 90^{\circ}$.
在$\triangle ABE$和$\triangle EGF$中，$\begin{cases}\angle ABE=\angle EGF\\\angle BAE=\angle GEF\\AE = EF\end{cases}$
∴$\triangle ABE\cong\triangle EGF(AAS)$.
(2) 解：由(1)知$\triangle ABE\cong\triangle EGF$，
∴$AB = EG, BE = GF$.
设$EC = x$，则$BE = GF = 2EC = 2x$.
∵$S_{\triangle ECF}=4$，∴$\frac{1}{2}x\cdot 2x = 4$，解得$x = 2$，
∴$AB = BC = 3x = 6$.
(3) 解：$\triangle FCG$是等腰直角三角形. 理由如下：
∵$BC = AB = EG$，∴$BE = CG$，∴$CG = FG$.
又∵$\angle EGF = 90^{\circ}$，∴$\triangle FCG$是等腰直角三角形.