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1. 计算：$(2x)^{3}=$.
答案
1. $ 8x^{3} $
解析
【分析】
这道题考查积的乘方运算，解题时需要回忆积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。首先观察式子$(2x)^3$，它是2与x的积的三次方，所以我们需要分别对2和x进行三次方运算，再将结果相乘即可得到答案。
【解析】
根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$（n为正整数），对$(2x)^3$进行计算：
$\begin{aligned}(2x)^3&=2^3× x^3\\&=8× x^3\\&=8x^3\end{aligned}$
【答案】
$8x^3$
【知识点】
积的乘方法则
【点评】
本题是积的乘方的基础运算题，难度较低，只要熟练掌握积的乘方法则，准确对每个因式进行乘方运算就能得出正确结果，学生在解题时需注意不要遗漏对积中任意一个因式的乘方操作。
【难度系数】
0.9
这道题考查积的乘方运算，解题时需要回忆积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。首先观察式子$(2x)^3$，它是2与x的积的三次方，所以我们需要分别对2和x进行三次方运算，再将结果相乘即可得到答案。
【解析】
根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$（n为正整数），对$(2x)^3$进行计算：
$\begin{aligned}(2x)^3&=2^3× x^3\\&=8× x^3\\&=8x^3\end{aligned}$
【答案】
$8x^3$
【知识点】
积的乘方法则
【点评】
本题是积的乘方的基础运算题，难度较低，只要熟练掌握积的乘方法则，准确对每个因式进行乘方运算就能得出正确结果，学生在解题时需注意不要遗漏对积中任意一个因式的乘方操作。
【难度系数】
0.9
2. 化简：$(-ab)^{3}=$
$-a^{3}b^{3}$
.答案
2. $ -a^{3}b^{3} $
解析
【分析】
要化简$(-ab)^3$，我们可以利用积的乘方的运算法则来思考。首先回忆积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。另外还要注意负数的奇次幂的符号规则，当指数为奇数时，负数的奇次幂是负数。具体步骤是：先把$-ab$拆成$-1$、$a$、$b$三个因式，然后分别对这三个因式进行三次方运算，最后将结果相乘即可得到化简后的式子。
【解析】
根据积的乘方法则：$(xy)^n=x^n y^n$（$n$为正整数），对$(-ab)^3$进行化简：
$\begin{aligned}(-ab)^3&=(-1)^3 × a^3 × b^3\\&=-1 × a^3 b^3\\&=-a^3 b^3\end{aligned}$
【答案】
$-a^{3}b^{3}$
【知识点】
积的乘方法则
【点评】
本题考查积的乘方的基本运算，属于基础题型。解题的关键是熟练掌握积的乘方法则，同时注意负数的奇次幂的符号判断，避免因符号处理错误导致结果出错。
【难度系数】
0.9
要化简$(-ab)^3$，我们可以利用积的乘方的运算法则来思考。首先回忆积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。另外还要注意负数的奇次幂的符号规则，当指数为奇数时，负数的奇次幂是负数。具体步骤是：先把$-ab$拆成$-1$、$a$、$b$三个因式，然后分别对这三个因式进行三次方运算，最后将结果相乘即可得到化简后的式子。
【解析】
根据积的乘方法则：$(xy)^n=x^n y^n$（$n$为正整数），对$(-ab)^3$进行化简：
$\begin{aligned}(-ab)^3&=(-1)^3 × a^3 × b^3\\&=-1 × a^3 b^3\\&=-a^3 b^3\end{aligned}$
【答案】
$-a^{3}b^{3}$
【知识点】
积的乘方法则
【点评】
本题考查积的乘方的基本运算，属于基础题型。解题的关键是熟练掌握积的乘方法则，同时注意负数的奇次幂的符号判断，避免因符号处理错误导致结果出错。
【难度系数】
0.9
3. 计算：$(\frac{1}{2}a^{2}b)^{3}=$
$\frac{1}{8}a^{6}b^{3}$
.答案
3. $ \frac{1}{8}a^{6}b^{3} $
解析
【分析】
这道题考查积的乘方与幂的乘方的混合运算，解题思路是先运用积的乘方法则，将积中的每个因式分别乘方，再对含字母的因式运用幂的乘方法则计算指数，最后将各部分结果相乘。具体来说，先把括号里的$\frac{1}{2}$、$a^2$、$b$分别进行三次方运算，再计算出各自的结果后相乘即可得到最终答案。
【解析】
根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数），以及幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），计算如下：
$\begin{aligned}(\frac{1}{2}a^{2}b)^{3}&=(\frac{1}{2})^3 · (a^2)^3 · b^3\\&=\frac{1}{8} · a^{2×3} · b^3\\&=\frac{1}{8}a^{6}b^{3}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{8}a^{6}b^{3}$
【知识点】
积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，重点考查积的乘方与幂的乘方法则的应用，计算时需注意系数的乘方运算以及指数的乘法运算，避免出现指数相加或系数计算错误的问题，熟练掌握幂的运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
这道题考查积的乘方与幂的乘方的混合运算，解题思路是先运用积的乘方法则，将积中的每个因式分别乘方，再对含字母的因式运用幂的乘方法则计算指数，最后将各部分结果相乘。具体来说，先把括号里的$\frac{1}{2}$、$a^2$、$b$分别进行三次方运算，再计算出各自的结果后相乘即可得到最终答案。
【解析】
根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数），以及幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），计算如下：
$\begin{aligned}(\frac{1}{2}a^{2}b)^{3}&=(\frac{1}{2})^3 · (a^2)^3 · b^3\\&=\frac{1}{8} · a^{2×3} · b^3\\&=\frac{1}{8}a^{6}b^{3}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{8}a^{6}b^{3}$
【知识点】
积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，重点考查积的乘方与幂的乘方法则的应用，计算时需注意系数的乘方运算以及指数的乘法运算，避免出现指数相加或系数计算错误的问题，熟练掌握幂的运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
4. 下列运算正确的是(
A.$(-a^{3})^{2}=a^{5}$
B.$(-a^{3})^{2}=-a^{6}$
C.$(-3a^{2})^{2}=6a^{4}$
D.$(-3a^{2})^{2}=9a^{4}$
D
)A.$(-a^{3})^{2}=a^{5}$
B.$(-a^{3})^{2}=-a^{6}$
C.$(-3a^{2})^{2}=6a^{4}$
D.$(-3a^{2})^{2}=9a^{4}$
答案
4. D
解析
【分析】
要判断各选项运算是否正确，需运用幂的乘方和积的乘方的运算法则。先明确相关法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$；积的乘方，先把积中每个因式分别乘方，再把所得幂相乘，即$(ab)^n=a^nb^n$。接下来逐个分析选项：
1. 选项A：计算$(-a^3)^2$时，先利用积的乘方拆分，再用幂的乘方计算，结果应为$a^6$，而非$a^5$，A错误；
2. 选项B：$(-a^3)^2$中负数的偶次幂为正，计算结果是$a^6$，不是$-a^6$，B错误；
3. 选项C：$(-3a^2)^2$中$(-3)^2=9$，不是6，正确结果是$9a^4$，C错误；
4. 选项D：按照积的乘方和幂的乘方法则计算，$(-3a^2)^2=9a^4$，运算正确。
【解析】
根据幂的乘方与积的乘方运算法则对各选项逐一分析：
选项A：$(-a^{3})^{2}=(-1)^2×(a^{3})^{2}=1× a^{3×2}=a^6≠ a^5$，故A错误；
选项B：$(-a^{3})^{2}=(-1)^2×(a^{3})^{2}=a^6≠ -a^6$，故B错误；
选项C：$(-3a^{2})^{2}=(-3)^2×(a^{2})^{2}=9× a^{2×2}=9a^4≠ 6a^4$，故C错误；
选项D：$(-3a^{2})^{2}=(-3)^2×(a^{2})^{2}=9a^4$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算，关键是熟练掌握运算法则，尤其要注意负数偶次幂的符号处理，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
要判断各选项运算是否正确，需运用幂的乘方和积的乘方的运算法则。先明确相关法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$；积的乘方，先把积中每个因式分别乘方，再把所得幂相乘，即$(ab)^n=a^nb^n$。接下来逐个分析选项：
1. 选项A：计算$(-a^3)^2$时，先利用积的乘方拆分，再用幂的乘方计算，结果应为$a^6$，而非$a^5$，A错误；
2. 选项B：$(-a^3)^2$中负数的偶次幂为正，计算结果是$a^6$，不是$-a^6$，B错误；
3. 选项C：$(-3a^2)^2$中$(-3)^2=9$，不是6，正确结果是$9a^4$，C错误；
4. 选项D：按照积的乘方和幂的乘方法则计算，$(-3a^2)^2=9a^4$，运算正确。
【解析】
根据幂的乘方与积的乘方运算法则对各选项逐一分析：
选项A：$(-a^{3})^{2}=(-1)^2×(a^{3})^{2}=1× a^{3×2}=a^6≠ a^5$，故A错误；
选项B：$(-a^{3})^{2}=(-1)^2×(a^{3})^{2}=a^6≠ -a^6$，故B错误；
选项C：$(-3a^{2})^{2}=(-3)^2×(a^{2})^{2}=9× a^{2×2}=9a^4≠ 6a^4$，故C错误；
选项D：$(-3a^{2})^{2}=(-3)^2×(a^{2})^{2}=9a^4$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算，关键是熟练掌握运算法则，尤其要注意负数偶次幂的符号处理，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
5. 下列运算正确的是(
A.$a^{2}· a^{3}=a^{6}$
B.$(a^{4})^{3}=a^{12}$
C.$(-2a)^{3}=-6a^{3}$
D.$a^{4}+a^{5}=a^{9}$
B
)A.$a^{2}· a^{3}=a^{6}$
B.$(a^{4})^{3}=a^{12}$
C.$(-2a)^{3}=-6a^{3}$
D.$a^{4}+a^{5}=a^{9}$
答案
5. B
解析
【分析】
这道题考查幂的相关运算，解题思路是根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及同类项合并的法则，逐一判断每个选项的正误：
1. 对于选项A，回忆同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，计算后对比结果判断对错；
2. 对于选项B，根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，计算后验证结果；
3. 对于选项C，依据积的乘方法则：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算后判断；
4. 对于选项D，明确只有同类项才能合并，判断$a^4$与$a^5$是否为同类项，进而确定能否合并。
【解析】
A选项：根据同底数幂的乘法法则，$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠ a^6$，故A错误；
B选项：根据幂的乘方法则，$(a^4)^3=a^{4×3}=a^{12}$，故B正确；
C选项：根据积的乘方法则，$(-2a)^3=(-2)^3·a^3=-8a^3≠ -6a^3$，故C错误；
D选项：$a^4$与$a^5$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，涵盖了多种常见幂运算法则及同类项合并的知识点，重点考查学生对幂运算基本法则的掌握程度，需注意区分不同运算法则的适用条件，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
这道题考查幂的相关运算，解题思路是根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及同类项合并的法则，逐一判断每个选项的正误：
1. 对于选项A，回忆同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，计算后对比结果判断对错；
2. 对于选项B，根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，计算后验证结果；
3. 对于选项C，依据积的乘方法则：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算后判断；
4. 对于选项D，明确只有同类项才能合并，判断$a^4$与$a^5$是否为同类项，进而确定能否合并。
【解析】
A选项：根据同底数幂的乘法法则，$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠ a^6$，故A错误；
B选项：根据幂的乘方法则，$(a^4)^3=a^{4×3}=a^{12}$，故B正确；
C选项：根据积的乘方法则，$(-2a)^3=(-2)^3·a^3=-8a^3≠ -6a^3$，故C错误；
D选项：$a^4$与$a^5$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，涵盖了多种常见幂运算法则及同类项合并的知识点，重点考查学生对幂运算基本法则的掌握程度，需注意区分不同运算法则的适用条件，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
6. 计算：
(1) $(2ab^{2})^{2}$；
(2) $(-\frac{1}{2}ab)^{2}$；
(3) $(-3×10^{2})^{2}$；
(4) $3^{2}×(\frac{1}{3})^{2}$.
(1) $(2ab^{2})^{2}$；
(2) $(-\frac{1}{2}ab)^{2}$；
(3) $(-3×10^{2})^{2}$；
(4) $3^{2}×(\frac{1}{3})^{2}$.
答案
6. (1)$ 4a^{2}b^{4} $ (2)$ \frac{1}{4}a^{2}b^{2} $ (3)$ 9 × 10^{4} $ (4)1
解析
【分析】
本题主要考查幂的运算，解题核心是运用积的乘方法则和幂的乘方法则：
1. 对于(1)，是积的乘方运算，需把积中的每个因式分别乘方，其中$b^2$的乘方要用到幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），再将所得结果相乘；
2. 对于(2)，同样是积的乘方，先处理负数的平方（负数的偶次幂为正），再把$a$、$b$分别乘方后相乘；
3. 对于(3)，把$-3$和$10^2$分别乘方，$(-3)$的平方是正数，$10^2$的乘方用幂的乘方法则计算，最后将结果相乘；
4. 对于(4)，可以逆用积的乘方法则，将两个幂的底数相乘后再乘方，这样计算更简便，也可以分别计算两个幂的值再相乘。
【解析】
(1) 根据积的乘方法则和幂的乘方法则：
$\begin{aligned}(2ab^{2})^{2}&=2^{2}×a^{2}×(b^{2})^{2}\\&=4a^{2}b^{4}\end{aligned}$
(2) 根据积的乘方法则：
$\begin{aligned}(-\frac{1}{2}ab)^{2}&=(-\frac{1}{2})^{2}×a^{2}×b^{2}\\&=\frac{1}{4}a^{2}b^{2}\end{aligned}$
(3) 根据积的乘方法则和幂的乘方法则：
$\begin{aligned}(-3×10^{2})^{2}&=(-3)^{2}×(10^{2})^{2}\\&=9×10^{4}\end{aligned}$
(4) 逆用积的乘方法则：
$\begin{aligned}3^{2}×(\frac{1}{3})^{2}&=(3×\frac{1}{3})^{2}\\&=1^{2}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
(1)$4a^{2}b^{4}$；(2)$\frac{1}{4}a^{2}b^{2}$；(3)$9×10^{4}$；(4)1
【知识点】
积的乘方法则、幂的乘方法则、有理数乘方运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，覆盖了正数、负数、含科学记数法的数以及逆用积的乘方的多种情况，能有效帮助学生巩固幂运算的基本法则，提升运算的准确性和灵活性。
【难度系数】
0.8
本题主要考查幂的运算，解题核心是运用积的乘方法则和幂的乘方法则：
1. 对于(1)，是积的乘方运算，需把积中的每个因式分别乘方，其中$b^2$的乘方要用到幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），再将所得结果相乘；
2. 对于(2)，同样是积的乘方，先处理负数的平方（负数的偶次幂为正），再把$a$、$b$分别乘方后相乘；
3. 对于(3)，把$-3$和$10^2$分别乘方，$(-3)$的平方是正数，$10^2$的乘方用幂的乘方法则计算，最后将结果相乘；
4. 对于(4)，可以逆用积的乘方法则，将两个幂的底数相乘后再乘方，这样计算更简便，也可以分别计算两个幂的值再相乘。
【解析】
(1) 根据积的乘方法则和幂的乘方法则：
$\begin{aligned}(2ab^{2})^{2}&=2^{2}×a^{2}×(b^{2})^{2}\\&=4a^{2}b^{4}\end{aligned}$
(2) 根据积的乘方法则：
$\begin{aligned}(-\frac{1}{2}ab)^{2}&=(-\frac{1}{2})^{2}×a^{2}×b^{2}\\&=\frac{1}{4}a^{2}b^{2}\end{aligned}$
(3) 根据积的乘方法则和幂的乘方法则：
$\begin{aligned}(-3×10^{2})^{2}&=(-3)^{2}×(10^{2})^{2}\\&=9×10^{4}\end{aligned}$
(4) 逆用积的乘方法则：
$\begin{aligned}3^{2}×(\frac{1}{3})^{2}&=(3×\frac{1}{3})^{2}\\&=1^{2}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
(1)$4a^{2}b^{4}$；(2)$\frac{1}{4}a^{2}b^{2}$；(3)$9×10^{4}$；(4)1
【知识点】
积的乘方法则、幂的乘方法则、有理数乘方运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，覆盖了正数、负数、含科学记数法的数以及逆用积的乘方的多种情况，能有效帮助学生巩固幂运算的基本法则，提升运算的准确性和灵活性。
【难度系数】
0.8
1. 填空：
(1) $(a^{2}b)^{5}=$
(2) $(-2pq)^{3}=$
(3) $(-\frac{1}{3}ab^{3})^{2}=$
(4) $(-a^{n}b^{n + 1})^{4}=$
(5) $0.25^{2024}×4^{2025}=$
(1) $(a^{2}b)^{5}=$
$a^{10}b^{5}$
；(2) $(-2pq)^{3}=$
$-8p^{3}q^{3}$
；(3) $(-\frac{1}{3}ab^{3})^{2}=$
$\frac{1}{9}a^{2}b^{6}$
；(4) $(-a^{n}b^{n + 1})^{4}=$
$a^{4n}b^{4n + 4}$
；(5) $0.25^{2024}×4^{2025}=$
4
.答案
1. (1)$ a^{10}b^{5} $ (2)$ -8p^{3}q^{3} $ (3)$ \frac{1}{9}a^{2}b^{6} $ (4)$ a^{4n}b^{4n + 4} $ (5)4
解析
【分析】
本题考查幂的运算，需运用积的乘方、幂的乘方法则，部分小题还需逆用积的乘方公式简化计算，具体思路如下：
1. 对于(1)(2)(3)(4)，依据积的乘方规则：$(ab)^n=a^n b^n$，将积中每个因式分别乘方，再结合幂的乘方规则$(a^m)^n=a^{mn}$计算指数；同时注意负数乘方的符号：奇次幂为负，偶次幂为正。
2. 对于(5)，观察到$0.25$和$4$互为倒数，可将$4^{2025}$拆分为$4^{2024}×4$，逆用积的乘方公式$a^n b^n=(ab)^n$，把$0.25^{2024}$与$4^{2024}$结合计算，简化运算。
【解析】
(1) 根据积的乘方与幂的乘方运算法则：
$\begin{aligned}(a^{2}b)^{5}&=(a^2)^5 · b^5\\&=a^{2×5}b^5\\&=a^{10}b^5\end{aligned}$
(2) 根据积的乘方运算法则：
$\begin{aligned}(-2pq)^{3}&=(-2)^3 · p^3 · q^3\\&=-8p^3q^3\end{aligned}$
(3) 根据积的乘方与幂的乘方运算法则：
$\begin{aligned}(-\frac{1}{3}ab^{3})^{2}&=(-\frac{1}{3})^2 · a^2 · (b^3)^2\\&=\frac{1}{9}a^2b^{3×2}\\&=\frac{1}{9}a^2b^6\end{aligned}$
(4) 根据积的乘方与幂的乘方运算法则：
$\begin{aligned}(-a^{n}b^{n + 1})^{4}&=(-1)^4 · (a^n)^4 · (b^{n+1})^4\\&=1 · a^{4n} · b^{4(n+1)}\\&=a^{4n}b^{4n+4}\end{aligned}$
(5) 逆用积的乘方运算法则：
$\begin{aligned}0.25^{2024}×4^{2025}&=0.25^{2024}×4^{2024}×4\\&=(0.25×4)^{2024}×4\\&=1^{2024}×4\\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1)$ a^{10}b^{5} $；(2)$ -8p^{3}q^{3} $；(3)$ \frac{1}{9}a^{2}b^{6} $；(4)$ a^{4n}b^{4n + 4} $；(5)$4$
【知识点】
积的乘方，幂的乘方，积的乘方逆用
【点评】
本题全面考查幂的核心运算规则，重点在于准确运用积的乘方、幂的乘方法则，同时需关注负数乘方的符号变化、指数运算的准确性，第(5)题要求灵活逆用公式简化计算，能有效检验学生对幂运算的理解与应用能力。
【难度系数】
0.6
本题考查幂的运算，需运用积的乘方、幂的乘方法则，部分小题还需逆用积的乘方公式简化计算，具体思路如下：
1. 对于(1)(2)(3)(4)，依据积的乘方规则：$(ab)^n=a^n b^n$，将积中每个因式分别乘方，再结合幂的乘方规则$(a^m)^n=a^{mn}$计算指数；同时注意负数乘方的符号：奇次幂为负，偶次幂为正。
2. 对于(5)，观察到$0.25$和$4$互为倒数，可将$4^{2025}$拆分为$4^{2024}×4$，逆用积的乘方公式$a^n b^n=(ab)^n$，把$0.25^{2024}$与$4^{2024}$结合计算，简化运算。
【解析】
(1) 根据积的乘方与幂的乘方运算法则：
$\begin{aligned}(a^{2}b)^{5}&=(a^2)^5 · b^5\\&=a^{2×5}b^5\\&=a^{10}b^5\end{aligned}$
(2) 根据积的乘方运算法则：
$\begin{aligned}(-2pq)^{3}&=(-2)^3 · p^3 · q^3\\&=-8p^3q^3\end{aligned}$
(3) 根据积的乘方与幂的乘方运算法则：
$\begin{aligned}(-\frac{1}{3}ab^{3})^{2}&=(-\frac{1}{3})^2 · a^2 · (b^3)^2\\&=\frac{1}{9}a^2b^{3×2}\\&=\frac{1}{9}a^2b^6\end{aligned}$
(4) 根据积的乘方与幂的乘方运算法则：
$\begin{aligned}(-a^{n}b^{n + 1})^{4}&=(-1)^4 · (a^n)^4 · (b^{n+1})^4\\&=1 · a^{4n} · b^{4(n+1)}\\&=a^{4n}b^{4n+4}\end{aligned}$
(5) 逆用积的乘方运算法则：
$\begin{aligned}0.25^{2024}×4^{2025}&=0.25^{2024}×4^{2024}×4\\&=(0.25×4)^{2024}×4\\&=1^{2024}×4\\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1)$ a^{10}b^{5} $；(2)$ -8p^{3}q^{3} $；(3)$ \frac{1}{9}a^{2}b^{6} $；(4)$ a^{4n}b^{4n + 4} $；(5)$4$
【知识点】
积的乘方，幂的乘方，积的乘方逆用
【点评】
本题全面考查幂的核心运算规则，重点在于准确运用积的乘方、幂的乘方法则，同时需关注负数乘方的符号变化、指数运算的准确性，第(5)题要求灵活逆用公式简化计算，能有效检验学生对幂运算的理解与应用能力。
【难度系数】
0.6
2. 已知有理数$a$，$b$满足$a + b = 2$，$a - b = 5$，则$(a + b)^{3}·(a - b)^{3}$的值是
1000
.答案
2. 1000
解析
【分析】
首先观察题目，已知$a + b = 2$，$a - b = 5$，要求的式子是$(a + b)^{3}·(a - b)^{3}$，正好是已知两个式子的立方乘积。我们不需要先解方程组求出$a$和$b$的值，直接将已知的$a+b$和$a-b$代入式子计算即可，这样更简便；也可以利用积的乘方的逆运算$x^3·y^3=(xy)^3$，将原式转化为$[(a+b)(a-b)]^3$后再计算，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一：直接代入求值
已知$a + b = 2$，$a - b = 5$，将其代入原式：
$\begin{aligned}(a + b)^{3}·(a - b)^{3}&=2^{3}×5^{3}\\&=8×125\\&=1000\end{aligned}$
方法二：利用积的乘方逆运算
根据积的乘方逆运算公式$x^3·y^3=(xy)^3$，可得：
$\begin{aligned}(a + b)^{3}·(a - b)^{3}&=[(a + b)(a - b)]^{3}\\&=(2×5)^{3}\\&=10^{3}\\&=1000\end{aligned}$
【答案】
1000
【知识点】
有理数乘方运算、代入求值、积的乘方逆用
【点评】
本题考查有理数的乘方运算及代入求值的技巧，解题时无需求解$a$、$b$的具体值，直接利用已知条件代入或借助积的乘方逆运算简化计算，能有效提升解题速度，培养观察式子特点、灵活运用运算律的能力。
【难度系数】
0.9
首先观察题目，已知$a + b = 2$，$a - b = 5$，要求的式子是$(a + b)^{3}·(a - b)^{3}$，正好是已知两个式子的立方乘积。我们不需要先解方程组求出$a$和$b$的值，直接将已知的$a+b$和$a-b$代入式子计算即可，这样更简便；也可以利用积的乘方的逆运算$x^3·y^3=(xy)^3$，将原式转化为$[(a+b)(a-b)]^3$后再计算，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一：直接代入求值
已知$a + b = 2$，$a - b = 5$，将其代入原式：
$\begin{aligned}(a + b)^{3}·(a - b)^{3}&=2^{3}×5^{3}\\&=8×125\\&=1000\end{aligned}$
方法二：利用积的乘方逆运算
根据积的乘方逆运算公式$x^3·y^3=(xy)^3$，可得：
$\begin{aligned}(a + b)^{3}·(a - b)^{3}&=[(a + b)(a - b)]^{3}\\&=(2×5)^{3}\\&=10^{3}\\&=1000\end{aligned}$
【答案】
1000
【知识点】
有理数乘方运算、代入求值、积的乘方逆用
【点评】
本题考查有理数的乘方运算及代入求值的技巧，解题时无需求解$a$、$b$的具体值，直接利用已知条件代入或借助积的乘方逆运算简化计算，能有效提升解题速度，培养观察式子特点、灵活运用运算律的能力。
【难度系数】
0.9
3. 已知$x + y = a$，试求$(x + y)^{3}(2x + 2y)^{3}(3x + 3y)^{3}$的值.
答案
3. $ 216a^{9} $
解析
【分析】
首先观察待求式的结构，发现式子中的2x+2y、3x+3y可通过提取公因式转化为含x+y的形式，再结合已知x+y=a，利用整体代入思想，同时运用幂的运算性质（积的乘方、同底数幂的乘法）逐步化简计算即可得到结果。具体思考步骤如下：
1. 先对2x+2y和3x+3y提取公因式，将其表示为2(x+y)和3(x+y)，使待求式全部用x+y表示；
2. 运用积的乘方公式展开式子中的幂项；
3. 合并同底数幂，计算常数项的乘积；
4. 将x+y=a代入化简后的式子，得到最终结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(x + y)^{3}(2x + 2y)^{3}(3x + 3y)^{3}\\=&(x + y)^{3}·[2(x + y)]^{3}·[3(x + y)]^{3}\\=&(x + y)^{3}·2^{3}·(x + y)^{3}·3^{3}·(x + y)^{3}\\=&2^{3}×3^{3}·(x + y)^{3+3+3}\\=&8×27·(x + y)^{9}\\=&216(x + y)^{9}\end{aligned}$
因为$x + y = a$，将其代入上式得：$216a^{9}$。
【答案】
$216a^{9}$
【知识点】
积的乘方运算，同底数幂的乘法，整体代入求值
【点评】
本题考查幂的运算性质与整体代入思想的综合应用，解题核心是通过提取公因式将待求式转化为含已知条件的形式，再利用幂的运算法则化简，难度较低，侧重对基础运算能力和转化思想的考查。
【难度系数】
0.8
首先观察待求式的结构，发现式子中的2x+2y、3x+3y可通过提取公因式转化为含x+y的形式，再结合已知x+y=a，利用整体代入思想，同时运用幂的运算性质（积的乘方、同底数幂的乘法）逐步化简计算即可得到结果。具体思考步骤如下：
1. 先对2x+2y和3x+3y提取公因式，将其表示为2(x+y)和3(x+y)，使待求式全部用x+y表示；
2. 运用积的乘方公式展开式子中的幂项；
3. 合并同底数幂，计算常数项的乘积；
4. 将x+y=a代入化简后的式子，得到最终结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(x + y)^{3}(2x + 2y)^{3}(3x + 3y)^{3}\\=&(x + y)^{3}·[2(x + y)]^{3}·[3(x + y)]^{3}\\=&(x + y)^{3}·2^{3}·(x + y)^{3}·3^{3}·(x + y)^{3}\\=&2^{3}×3^{3}·(x + y)^{3+3+3}\\=&8×27·(x + y)^{9}\\=&216(x + y)^{9}\end{aligned}$
因为$x + y = a$，将其代入上式得：$216a^{9}$。
【答案】
$216a^{9}$
【知识点】
积的乘方运算，同底数幂的乘法，整体代入求值
【点评】
本题考查幂的运算性质与整体代入思想的综合应用，解题核心是通过提取公因式将待求式转化为含已知条件的形式，再利用幂的运算法则化简，难度较低，侧重对基础运算能力和转化思想的考查。
【难度系数】
0.8
4. 计算：
(1) $(-m^{2})^{3}·(-m^{3})^{2}$；
(2) $(x^{3}y^{3})^{2}+(-x^{2}y^{2})^{3}$；
(3) $(-ab^{3})^{2}-8a^{2}b^{6}+2(ab^{3})^{2}$；
(4) $(-4)^{2025}×0.25^{2025}+(-0.125)^{2024}×8^{2024}$；
(5) $2^{5}×8^{2}$.
(1) $(-m^{2})^{3}·(-m^{3})^{2}$；
(2) $(x^{3}y^{3})^{2}+(-x^{2}y^{2})^{3}$；
(3) $(-ab^{3})^{2}-8a^{2}b^{6}+2(ab^{3})^{2}$；
(4) $(-4)^{2025}×0.25^{2025}+(-0.125)^{2024}×8^{2024}$；
(5) $2^{5}×8^{2}$.
答案
4. (1)$ -m^{12} $ (2)0 (3)$ -5a^{2}b^{6} $ (4)0 (5)$ 2^{11} $
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：
1. 对于(1)：先依据幂的乘方、积的乘方法则分别计算两个乘方项，再利用同底数幂乘法法则计算乘积，注意符号的判定；
2. 对于(2)：先运用积的乘方法则展开两项，再合并同类项得出结果；
3. 对于(3)：先通过积的乘方法则化简各项，再合并同类项，重点关注系数的运算；
4. 对于(4)：逆用积的乘方公式，将两组乘积分别结合，计算底数乘积的幂后再求和；
5. 对于(5)：先把8转化为$2^3$，将原式化为同底数幂乘法，再依据同底数幂乘法法则计算。
【解析】
(1) 计算$(-m^{2})^{3}·(-m^{3})^{2}$：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$、积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$：
$(-m^2)^3=(-1)^3×(m^2)^3=-m^{6}$，
$(-m^3)^2=(-1)^2×(m^3)^2=m^{6}$，
再根据同底数幂乘法法则$a^m×a^n=a^{m+n}$：
原式$=-m^6·m^6=-m^{6+6}=-m^{12}$；
(2) 计算$(x^{3}y^{3})^{2}+(-x^{2}y^{2})^{3}$：
根据积的乘方法则：
$(x^3y^3)^2=(x^3)^2·(y^3)^2=x^{6}y^{6}$，
$(-x^2y^2)^3=(-1)^3·(x^2)^3·(y^2)^3=-x^{6}y^{6}$，
合并同类项：
原式$=x^6y^6 - x^6y^6=0$；
(3) 计算$(-ab^{3})^{2}-8a^{2}b^{6}+2(ab^{3})^{2}$：
先计算积的乘方：
$(-ab^3)^2=(-1)^2·a^2·(b^3)^2=a^2b^6$，
$(ab^3)^2=a^2·(b^3)^2=a^2b^6$，
代入原式合并同类项：
原式$=a^2b^6 - 8a^2b^6 + 2a^2b^6=(1-8+2)a^2b^6=-5a^2b^6$；
(4) 计算$(-4)^{2025}×0.25^{2025}+(-0.125)^{2024}×8^{2024}$：
逆用积的乘方公式$a^n×b^n=(ab)^n$：
$(-4)^{2025}×0.25^{2025}=(-4×0.25)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$，
$(-0.125)^{2024}×8^{2024}=(-0.125×8)^{2024}=(-1)^{2024}=1$，
求和得：
原式$=-1 + 1=0$；
(5) 计算$2^{5}×8^{2}$：
将$8$转化为$2^3$，则$8^2=(2^3)^2=2^{6}$，
根据同底数幂乘法法则：
原式$=2^5×2^6=2^{5+6}=2^{11}$；
【答案】
(1)$ -m^{12} $；(2)$0$；(3)$ -5a^{2}b^{6} $；(4)$0$；(5)$ 2^{11} $
【知识点】
幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂乘法
【点评】
本题综合考查幂的多种运算规则，需熟练掌握幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法的法则及其逆用，计算时要注意符号处理和同类项合并，避免因指数或符号运算失误导致结果错误。
【难度系数】
0.6
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：
1. 对于(1)：先依据幂的乘方、积的乘方法则分别计算两个乘方项，再利用同底数幂乘法法则计算乘积，注意符号的判定；
2. 对于(2)：先运用积的乘方法则展开两项，再合并同类项得出结果；
3. 对于(3)：先通过积的乘方法则化简各项，再合并同类项，重点关注系数的运算；
4. 对于(4)：逆用积的乘方公式，将两组乘积分别结合，计算底数乘积的幂后再求和；
5. 对于(5)：先把8转化为$2^3$，将原式化为同底数幂乘法，再依据同底数幂乘法法则计算。
【解析】
(1) 计算$(-m^{2})^{3}·(-m^{3})^{2}$：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$、积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$：
$(-m^2)^3=(-1)^3×(m^2)^3=-m^{6}$，
$(-m^3)^2=(-1)^2×(m^3)^2=m^{6}$，
再根据同底数幂乘法法则$a^m×a^n=a^{m+n}$：
原式$=-m^6·m^6=-m^{6+6}=-m^{12}$；
(2) 计算$(x^{3}y^{3})^{2}+(-x^{2}y^{2})^{3}$：
根据积的乘方法则：
$(x^3y^3)^2=(x^3)^2·(y^3)^2=x^{6}y^{6}$，
$(-x^2y^2)^3=(-1)^3·(x^2)^3·(y^2)^3=-x^{6}y^{6}$，
合并同类项：
原式$=x^6y^6 - x^6y^6=0$；
(3) 计算$(-ab^{3})^{2}-8a^{2}b^{6}+2(ab^{3})^{2}$：
先计算积的乘方：
$(-ab^3)^2=(-1)^2·a^2·(b^3)^2=a^2b^6$，
$(ab^3)^2=a^2·(b^3)^2=a^2b^6$，
代入原式合并同类项：
原式$=a^2b^6 - 8a^2b^6 + 2a^2b^6=(1-8+2)a^2b^6=-5a^2b^6$；
(4) 计算$(-4)^{2025}×0.25^{2025}+(-0.125)^{2024}×8^{2024}$：
逆用积的乘方公式$a^n×b^n=(ab)^n$：
$(-4)^{2025}×0.25^{2025}=(-4×0.25)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$，
$(-0.125)^{2024}×8^{2024}=(-0.125×8)^{2024}=(-1)^{2024}=1$，
求和得：
原式$=-1 + 1=0$；
(5) 计算$2^{5}×8^{2}$：
将$8$转化为$2^3$，则$8^2=(2^3)^2=2^{6}$，
根据同底数幂乘法法则：
原式$=2^5×2^6=2^{5+6}=2^{11}$；
【答案】
(1)$ -m^{12} $；(2)$0$；(3)$ -5a^{2}b^{6} $；(4)$0$；(5)$ 2^{11} $
【知识点】
幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂乘法
【点评】
本题综合考查幂的多种运算规则，需熟练掌握幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法的法则及其逆用，计算时要注意符号处理和同类项合并，避免因指数或符号运算失误导致结果错误。
【难度系数】
0.6
1. 若$(-a^{n}· b^{m}· b)^{3}=-a^{9}b^{15}$，求$m$，$n$值.
答案
1. 解:由$ (-a^{n} · b^{m} · b)^{3} = -a^{9}b^{15} $,
$ (-a^{n} · b^{m} · b)^{3} = -a^{3n}b^{3m + 3} $.
得$ 3n = 9 $,$ 3m + 3 = 15 $
所以$ n = 3 $,$ m = 4 $
$ (-a^{n} · b^{m} · b)^{3} = -a^{3n}b^{3m + 3} $.
得$ 3n = 9 $,$ 3m + 3 = 15 $
所以$ n = 3 $,$ m = 4 $
解析
【分析】
首先，我们需要运用幂的相关运算法则化简等式左边的式子。先观察左边的$(-a^{n}· b^{m}· b)^{3}$，其中$b^{m}$与$b$是同底数幂，根据同底数幂相乘的法则可先合并为$b^{m+1}$；再对整个式子进行积的乘方运算，注意负数的奇次幂为负，将左边化简为$-a^{3n}b^{3m+3}$。由于等式两边的幂相等，且底数$a$、$b$均不为0，那么相同底数的指数必然相等，由此可列出关于$m$、$n$的一元一次方程，最后解方程就能求出$m$、$n$的值。
【解析】
解：由$ (-a^{n} · b^{m} · b)^{3} = -a^{9}b^{15} $，
根据同底数幂乘法法则和积的乘方运算法则化简左边：
$ (-a^{n} · b^{m} · b)^{3} = (-a^{n}·b^{m+1})^{3}=-a^{3n}b^{3(m+1)}=-a^{3n}b^{3m + 3} $，
因为等式两边相同底数的幂相等，对应指数也相等，所以可得：
$ 3n = 9 $，$ 3m + 3 = 15 $，
分别解方程：
由$3n=9$，解得$n=3$；
由$3m+3=15$，移项得$3m=15-3=12$，解得$m=4$。
【答案】
$m=4$，$n=3$
【知识点】
积的乘方运算、同底数幂的乘法、一元一次方程求解
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的综合应用，解题核心是熟练掌握积的乘方和同底数幂相乘的运算规则，通过对比等式两边相同底数的指数建立方程求解。题目侧重基础运算能力的考查，计算时需注意符号和指数的正确运算，避免出现低级错误。
【难度系数】
0.7
首先，我们需要运用幂的相关运算法则化简等式左边的式子。先观察左边的$(-a^{n}· b^{m}· b)^{3}$，其中$b^{m}$与$b$是同底数幂，根据同底数幂相乘的法则可先合并为$b^{m+1}$；再对整个式子进行积的乘方运算，注意负数的奇次幂为负，将左边化简为$-a^{3n}b^{3m+3}$。由于等式两边的幂相等，且底数$a$、$b$均不为0，那么相同底数的指数必然相等，由此可列出关于$m$、$n$的一元一次方程，最后解方程就能求出$m$、$n$的值。
【解析】
解：由$ (-a^{n} · b^{m} · b)^{3} = -a^{9}b^{15} $，
根据同底数幂乘法法则和积的乘方运算法则化简左边：
$ (-a^{n} · b^{m} · b)^{3} = (-a^{n}·b^{m+1})^{3}=-a^{3n}b^{3(m+1)}=-a^{3n}b^{3m + 3} $，
因为等式两边相同底数的幂相等，对应指数也相等，所以可得：
$ 3n = 9 $，$ 3m + 3 = 15 $，
分别解方程：
由$3n=9$，解得$n=3$；
由$3m+3=15$，移项得$3m=15-3=12$，解得$m=4$。
【答案】
$m=4$，$n=3$
【知识点】
积的乘方运算、同底数幂的乘法、一元一次方程求解
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的综合应用，解题核心是熟练掌握积的乘方和同底数幂相乘的运算规则，通过对比等式两边相同底数的指数建立方程求解。题目侧重基础运算能力的考查，计算时需注意符号和指数的正确运算，避免出现低级错误。
【难度系数】
0.7
2. 若$5^{9}=a$，$9^{5}=b$，用$a$，$b$表示$45^{45}$的值.
答案
2. $ 45^{45} = 5^{45} × 9^{45} = (5^{9})^{5} × (9^{5})^{9} = a^{5}b^{9} $.
解析
【分析】
要解决用$a$，$b$表示$45^{45}$的问题，需通过幂的运算性质逐步转化：
1. 先将底数45分解为$5×9$，把$45^{45}$转化为$(5×9)^{45}$；
2. 根据积的乘方法则，将$(5×9)^{45}$拆分为$5^{45}×9^{45}$；
3. 结合已知$5^9=a$、$9^5=b$，利用幂的乘方法则，把$5^{45}$转化为$(5^9)^5$，$9^{45}$转化为$(9^5)^9$；
4. 最后代入$a$、$b$即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}45^{45}&=(5×9)^{45}\\&=5^{45}×9^{45}&\mathrm{（积的乘方：}(mn)^p=m^pn^p\mathrm{）}\\&=(5^9)^5×(9^5)^9&\mathrm{（幂的乘方：}(m^p)^q=m^{pq}\mathrm{）}\\&=a^5b^9&\mathrm{（代入}5^9=a，9^5=b\mathrm{）}\end{aligned}$
【答案】
$a^5b^9$
【知识点】
积的乘方，幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，解题核心是熟练运用积的乘方和幂的乘方法则，通过拆分底数、转化指数，将目标幂转化为与已知$a$、$b$相关的形式，对指数的倍数关系理解是关键。
【难度系数】
0.7
要解决用$a$，$b$表示$45^{45}$的问题，需通过幂的运算性质逐步转化：
1. 先将底数45分解为$5×9$，把$45^{45}$转化为$(5×9)^{45}$；
2. 根据积的乘方法则，将$(5×9)^{45}$拆分为$5^{45}×9^{45}$；
3. 结合已知$5^9=a$、$9^5=b$，利用幂的乘方法则，把$5^{45}$转化为$(5^9)^5$，$9^{45}$转化为$(9^5)^9$；
4. 最后代入$a$、$b$即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}45^{45}&=(5×9)^{45}\\&=5^{45}×9^{45}&\mathrm{（积的乘方：}(mn)^p=m^pn^p\mathrm{）}\\&=(5^9)^5×(9^5)^9&\mathrm{（幂的乘方：}(m^p)^q=m^{pq}\mathrm{）}\\&=a^5b^9&\mathrm{（代入}5^9=a，9^5=b\mathrm{）}\end{aligned}$
【答案】
$a^5b^9$
【知识点】
积的乘方，幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，解题核心是熟练运用积的乘方和幂的乘方法则，通过拆分底数、转化指数，将目标幂转化为与已知$a$、$b$相关的形式，对指数的倍数关系理解是关键。
【难度系数】
0.7
