16. (★★) 如图，在 $△ ABC$ 中，$BC$ 的垂直平分线 $DE$ 分别交 $AB$，$BC$ 于点 $D$，$E$，且 $BD^{2}-AD^{2} = AC^{2}$。
(1) 求证：$△ ABC$ 是直角三角形；
(2) 若 $BC = 2\sqrt{14}$，$AD:BD = 3:4$，求 $AC$ 的长。

(1) 证明见上；(2) √7。

(1) 证明：∵DE是BC的垂直平分线，∴DC=BD。
∵BD² - AD² = AC²，∴DC² - AD² = AC²，即DC² = AD² + AC²。
∴△ADC是直角三角形，∠A=90°。
∴△ABC是直角三角形。
(2) 设AD=3k，BD=4k，则AB=AD+BD=7k，DC=BD=4k。
在Rt△ADC中，AC²=DC² - AD²=(4k)² - (3k)²=7k²。
在Rt△ABC中，AC² + AB²=BC²，BC=2√14，
∴7k² + (7k)²=(2√14)²，即7k² + 49k²=56，56k²=56，k²=1，k=1（k＞0）。
∴AC²=7k²=7，AC=√7。

17. (★★★) 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = 5$，$AC = 13$，$BC$ 边上的中线 $AD = 6$。求 $BC$ 的长。

延长AD至E，使DE=AD，连接BE。
∵AD是BC中线，∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴△ADC≌△EDB（SAS）。
∴BE=AC=13。
∵AD=6，∴AE=AD+DE=12。
在△ABE中，AB=5，AE=12，BE=13，∵5²+12²=13²，∴△ABE是直角三角形，∠BAE=90°。
在Rt△ABD中，AB=5，AD=6，∴BD²=AB²+AD²=5²+6²=61，∴BD=√61。
∵AD是中线，∴BC=2BD=2√61。
BC的长为2√61。