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1. (★)以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是【 】
A.3,3,3
B.1,1,√{2}
C.2,3,4
D.8,16,17
A.3,3,3
B.1,1,√{2}
C.2,3,4
D.8,16,17
答案
B
解析
根据勾股定理的逆定理，若三边长$a$，$b$，$c$（$c$为最长边）满足$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，则能组成直角三角形。
选项A：$3^{2}+3^{2}=18≠3^{2}$，不能组成直角三角形。
选项B：$1^{2}+1^{2}=2=(\sqrt{2})^{2}$，能组成直角三角形。
选项C：$2^{2}+3^{2}=13≠4^{2}$，不能组成直角三角形。
选项D：$8^{2}+16^{2}=320≠17^{2}$，不能组成直角三角形。
选项A：$3^{2}+3^{2}=18≠3^{2}$，不能组成直角三角形。
选项B：$1^{2}+1^{2}=2=(\sqrt{2})^{2}$，能组成直角三角形。
选项C：$2^{2}+3^{2}=13≠4^{2}$，不能组成直角三角形。
选项D：$8^{2}+16^{2}=320≠17^{2}$，不能组成直角三角形。
2. (★)在△ABC 中,AB:BC:CA = 6:8:10,则△ABC 是三角形.
答案
直角
解析
设$AB = 6x$，因为$AB:BC:CA = 6:8:10$，所以$BC = 8x$，$CA = 10x$。
根据勾股定理逆定理，若$AB^{2}+BC^{2}=CA^{2}$，则$△ ABC$是直角三角形。
计算$AB^{2}+BC^{2}=(6x)^{2}+(8x)^{2}=36x^{2}+64x^{2}=100x^{2}$，$CA^{2}=(10x)^{2}=100x^{2}$。
因为$AB^{2}+BC^{2}=CA^{2}$，所以$△ ABC$是直角三角形。
根据勾股定理逆定理，若$AB^{2}+BC^{2}=CA^{2}$，则$△ ABC$是直角三角形。
计算$AB^{2}+BC^{2}=(6x)^{2}+(8x)^{2}=36x^{2}+64x^{2}=100x^{2}$，$CA^{2}=(10x)^{2}=100x^{2}$。
因为$AB^{2}+BC^{2}=CA^{2}$，所以$△ ABC$是直角三角形。
3. (★)如图,在△ABC 中,BC = 10,AC = 6,AD = 4,D 是 AB 的中点,连接 CD,则 CD 的长为.
]
]答案
2√13
解析
∵D是AB中点，AD=4，∴AB=2AD=8。
∵AC=6，BC=10，∴AB²+AC²=8²+6²=64+36=100=10²=BC²，∴△ABC是直角三角形，∠A=90°。
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立坐标系，则A(0,0)，B(8,0)，C(0,6)，D为AB中点，∴D(4,0)。
∴CD=√[(4-0)²+(0-6)²]=√(16+36)=√52=2√13。
∵AC=6，BC=10，∴AB²+AC²=8²+6²=64+36=100=10²=BC²，∴△ABC是直角三角形，∠A=90°。
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立坐标系，则A(0,0)，B(8,0)，C(0,6)，D为AB中点，∴D(4,0)。
∴CD=√[(4-0)²+(0-6)²]=√(16+36)=√52=2√13。
4. (★★)若一个直角三角形的两边长分别是 3 和 4,则它的面积为.
答案
6或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$
解析
分两种情况讨论：
①若3和4为直角边，面积为$\frac{1}{2}×3×4=6$；
②若4为斜边，3为直角边，另一直角边为$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，面积为$\frac{1}{2}×3×\sqrt{7}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$。
①若3和4为直角边，面积为$\frac{1}{2}×3×4=6$；
②若4为斜边，3为直角边，另一直角边为$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，面积为$\frac{1}{2}×3×\sqrt{7}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$。
5. (★)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为 5 里、12 里、13 里,则这块沙田的面积为【 】
A.65 平方里
B.60 平方里
C.325 平方里
D.30 平方里
A.65 平方里
B.60 平方里
C.325 平方里
D.30 平方里
答案
D
解析
首先判断三角形形状，因为$5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169=13^{2}$，满足勾股定理，所以该三角形是直角三角形，两直角边为$5$里和$12$里。
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a,b$为两直角边），可得$S=\frac{1}{2}×5×12 = 30$平方里。
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a,b$为两直角边），可得$S=\frac{1}{2}×5×12 = 30$平方里。
6. (★)某时刻渔船 A 和渔船 B 与灯塔 O 的位置如图所示,经测得 OA = 4 n mile,OB = 3 n mile,AB = 5 n mile,渔船 A 位于灯塔 O 北偏东 24°方向,则渔船 B 位于灯塔 O 南偏东(填度数)方向.
]
]答案
66°
解析
在△AOB中，OA=4 n mile，OB=3 n mile，AB=5 n mile，因为$3^2 + 4^2 = 5^2$，所以△AOB是直角三角形，∠AOB=90°。渔船A位于灯塔O北偏东24°方向，所以∠AON=24°（N为正北方向），则∠BOS=180° - 90° - 24°=66°（S为正南方向），即渔船B位于灯塔O南偏东66°方向。
7. (★★)已知△ABC 的三边长 a,b,c 满足 a + b = 10,ab = 18,c = 8,则△ABC 是三角形.
答案
直角
解析
已知 $a + b = 10$，$ab = 18$，$c = 8$。
根据完全平方公式，有：
$a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab$，
代入已知条件，得：
$a^{2} + b^{2} = 10^{2} - 2 × 18 = 64$，
由于$c=8$，可以计算出：
$c^{2} = 8^{2} = 64$，
因为 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，
根据勾股定理的逆定理，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，
所以，$\bigtriangleup ABC$ 是直角三角形。
根据完全平方公式，有：
$a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab$，
代入已知条件，得：
$a^{2} + b^{2} = 10^{2} - 2 × 18 = 64$，
由于$c=8$，可以计算出：
$c^{2} = 8^{2} = 64$，
因为 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，
根据勾股定理的逆定理，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，
所以，$\bigtriangleup ABC$ 是直角三角形。
8. (★★)图①是超市的儿童玩具购物车,图②为其侧面简化示意图,测得支架 AC = 24 cm,CB = 18 cm,两轮中心的距离 AB = 30 cm.
(1)试判断△ABC 的形状,并说明理由;
(2)求点 C 到 AB 的距离.
]
(1)试判断△ABC 的形状,并说明理由;
(2)求点 C 到 AB 的距离.
]答案
(1)△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AC=24cm，CB=18cm，AB=30cm，
∴AC²+CB²=24²+18²=576+324=900，AB²=30²=900，
∴AC²+CB²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
(2)设点C到AB的距离为h cm，
∵S△ABC=1/2·AC·CB=1/2·AB·h，
∴1/2×24×18=1/2×30·h，
解得h=14.4，
即点C到AB的距离为14.4cm。
∵AC=24cm，CB=18cm，AB=30cm，
∴AC²+CB²=24²+18²=576+324=900，AB²=30²=900，
∴AC²+CB²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
(2)设点C到AB的距离为h cm，
∵S△ABC=1/2·AC·CB=1/2·AB·h，
∴1/2×24×18=1/2×30·h，
解得h=14.4，
即点C到AB的距离为14.4cm。
