1. 如图，在 $△ ABC$ 中，$D$ 是边 $BC$ 上的点(与 $B$，$C$ 两点不重合)，过点 $D$ 作 $DE// AC$，$DF// AB$，分别交 $AB$，$AC$ 于 $E$，$F$ 两点。下列说法正确的是()。

A.若 $AD⊥ BC$，则四边形 $AEDF$ 是矩形
B.若 $AD$ 垂直平分 $BC$，则四边形 $AEDF$ 是矩形
C.若 $BD = CD$，则四边形 $AEDF$ 是菱形
D.若 $AD$ 平分 $∠ BAC$，则四边形 $AEDF$ 是菱形

1. D

2. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$AC = BC = 10$，$D$ 是 $BC$ 上一点，连结 $AD$，$AD$ 的垂直平分线分别交 $AC$，$AB$ 于点 $E$，$F$。当 $CD =$ 时，四边形 $AEDF$ 是菱形。

2. 10√{2}-10

3. 如图，已知 $△ ABC$ 的面积为 $3\sqrt{3}$，且 $AB = AC$，现将 $△ ABC$ 沿 $CA$ 方向平移与 $CA$ 等长的长度，得到 $△ EFA$。
(1)求四边形 $CEFB$ 的面积。
(2)试判断 $AF$ 与 $BE$ 的位置关系，并说明理由。
(3)若 $∠ BEC = 30°$，求 $AC$ 的长。

3. (1) 9√{3} (2) AF⊥BE,理由略。提示:证明四边形 ABFE 是菱形 (3) 2√{3}

4. 如图，一张矩形纸片 $ABCD$ 的边长分别为 $9\mathrm{cm}$ 和 $3\mathrm{cm}$，把顶点 $A$ 和 $C$ 叠合在一起，得到折痕 $EF$。
(1)猜想四边形 $AECF$ 是什么四边形，并证明你的猜想。
(2)求折痕 $EF$ 的长。

4. (1) 四边形 AECF 是菱形,理由如下:
因为四边形 ABCD 为矩形,所以 AB//CD,∠AFE=∠CEF。
因为矩形 ABCD 沿 EF 折叠,点 A 和点 C 重合,所以∠CEF=∠AEF,AE=CE。
所以∠AFE=∠AEF。所以 AE=AF。所以 AF=CE。
又因为 AF//CE,所以 AECF 为平行四边形。
因为 AE=EC,所以四边形 AECF 为菱形
(2) 因为 AB=9 cm,BC=3 cm,所以 AC=3√{10} cm,AF=CF。
所以在 Rt△BCF 中,设 BF=x cm,则 CF=(9-x)cm。
由勾股定理,可得(9-x)²=x²+3²,
即 18x=72,解得 x=4,则 CF=5 cm,BF=4 cm。
由面积可得$\frac{1}{2}AC·EF=AF·BC,$即$\frac{1}{2}·3√{10}·EF=5×3,$
所以 EF=√{10} cm