例 阅读材料：在二次根式中有一种相辅相成的“对子”，如$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^{2}-(\sqrt{3})^{2}=1$，$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})=(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=3$，它们的积为有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.于是，二次根式除法可以这样解：$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$.像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化.
(1)填空：$4+\sqrt{7}$的有理化因式是；$\frac{2}{\sqrt{2}}$的分母有理化得.
(2)计算$\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\sqrt{27}-6\sqrt{\frac{1}{3}}$.
分析：$\sqrt{a}+\sqrt{b}$与$\sqrt{a}-\sqrt{b}$互为有理化因式.
解：(1)$4-\sqrt{7}$；$\sqrt{2}$.(2)$\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\sqrt{27}-6\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}+3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2$.

解：
(1)$4-\sqrt{7}$；$\sqrt{2}$。
(2)$\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\sqrt{27}-6\sqrt{\frac{1}{3}}$
$=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}+3\sqrt{3}-6×\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2-\sqrt{3}+3\sqrt{3}-2\sqrt{3}$
$=2$。

1. 计算$\sqrt{\frac{1}{2}}÷\sqrt{\frac{1}{8}}$的结果为().

A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

B

根据二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}$（$a≥0$，$b＞0$），计算得：$\sqrt{\frac{1}{2}}÷\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{1}{2}÷\frac{1}{8}}=\sqrt{4}=2$。

2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是().

A.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{2a^{3}}$
D.$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

D

根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析：
A选项：$\sqrt{\frac{1}{2}}$被开方数含分母，不是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{2a^3}=\sqrt{2a· a^2}=a\sqrt{2a}$，被开方数含能开得尽方的因式$a^2$，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{x^2+y^2}$的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式。