5. 已知在$□ ABCD$中，延长$AB$至点$E$，延长$CD$至点$F$，使得$BE = DF$。连接$EF$，与对角线$AC$交于点$O$。
求证：$OE = OF$。

5. 证明: $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形
$ \therefore A B = C D $ $ A B // C D $
$ \because B E = D F $
$ \therefore A B + B E = C D + D F $ 即 $ C F = A E $
$ \because A B // C D $
$ \therefore ∠ O A E = ∠ O C F $
在 $ △ A O E $ 和 $ △ C O F $ 中 $ \{ \begin{array} { l } { ∠ A O E = ∠ C O F } \\ { ∠ O C F = ∠ O A E } \\ { A E = C F } \end{array} $
$ \therefore △ A O E ≌ △ C O F $
$ \therefore O E = O F $

6. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$∠ ADB = 90^{\circ}$，且$BD = AD = 2$。
（1）求$□ ABCD$的周长；
（2）求对角线$AC$的长。

6. 解: (1) $ \because ∠ A D B = 90 ^ { \circ } $, 且 $ B D = A D = 2 $
$ \therefore A B = \sqrt { A D ^ { 2 } + B D ^ { 2 } } $
$ = 2 \sqrt { 2 } $
$ \therefore $ 周长 $ = 2 ( A D + A B ) = 4 + 4 \sqrt { 2 } $
(2) $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形
$ \therefore O D = \frac { 1 } { 2 } B D = 1 $, $ A C = 2 A O $
在 $ \mathrm { Rt } △ A D O $ 中,
$ A O = \sqrt { A D ^ { 2 } + O D ^ { 2 } } $
$ = \sqrt { 5 } $
$ \therefore A C = 2 A O = 2 \sqrt { 5 } $

在平行四边形$ABCD$中，$O$是对角线$AC$的中点，过$O$点作直线$EF$分别交$BC$，$AD$于$E$，$F$。
（1）求证：$BE = DF$；
（2）若$AC$，$EF$将平行四边形$ABCD$分成的四部分的面积相等，指出$E$点的位置，并说明理由。

(1) 证明: $ \because $ 点 $ O $ 是 $ AC $ 的中点
$ \therefore O A = O C $
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形
$ \therefore AD \stackrel { // } { = } BC $
$ \therefore ∠ F A O = ∠ E C O $
在 $ △ A O F $ 和 $ △ C O E $ 中 $ \{ \begin{array} { l } { ∠ F A O = ∠ E C O } \\ { O A = O C } \\ { ∠ A O F = ∠ C O E } \end{array} $
$ \therefore △ A O F ≌ △ C O E $
$ \therefore A F = C E $
$ \because A D = B C $
$ \therefore A D - A F = B C - C E $
$ \therefore B E = D F $
(2) 解: 当 $ E $ 点与 $ B $ 点重合时 $ E F $ 将平行四边形 $ ABCD $ 分成的四部分面积相等
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形
$ \therefore O A = O C $, $ O B = O D $
由 $ △ A B O $ 与 $ △ A O D $ 等底同高可知面积相等.
同理, $ △ A B O $ 与 $ △ B O C $ 面积相等, $ △ A O D $ 与 $ △ C O D $ 的面积相等
$ \therefore $ 四个三角形面积相等.