7. 若不论自变量$x$取何值，二次函数$y = 2x^{2}-6x + m$的值总是正数，求常数$m$的取值范围.

​​ 解：$y=2x²- 6x+m=2(x-\frac {3}{2})²+m-\frac {9}{2}​​$
​​ 因为不论x取什么实数，二次函数y= 2x²-6x+m的值总是正数​​
​​ 所以二次函数y=2x²-6x+m的最小值为正数，​​
​​ 即$m-\frac {9}{2}\gt 0​​$
​​ 所以m的取值范围为$m \gt \frac {9}{2}​​$

8. 某企业接到一批生产粽子的任务，要求在 15 天内完成，约定粽子的出厂价为每只 6 元.为按时完成任务，该企业招收了新工人.设新工人李明第$x$天生产的粽子数量为$y$只，$y$与$x$满足关系式：$y=\begin{cases}54x(0\leqslant x\leqslant5),\\30x + 120(5\lt x\leqslant15).\end{cases}$
(1)李明第几天生产的粽子数量为 420 只？
(2)设第$x$天生产粽子的成本是每只$p$元，且$p$与$x$之间的关系可用图中的函数图像来刻画.若李明第$x$天创造的利润为$w$元，求$w$与$x$之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元(利润$=$出厂价$-$成本).
(第 8 题)

​​ 解：(1)若0≤x≤5，则54x= 420，​​
​​ 得x≈7.7 ，不在取值范围内，舍去​​
​​ 若5< x≤15 ，则30x+ 120= 420 ​​
​​ 得x= 10 ，在取值范围内​​
​​ 所以李明第10天生产的粽子数量为420只​​
​​ (2)①当0≤x≤5时，w= (6- 4.1)×54x = 102.6x​​
​​ 当x= 5时， w有最大值513​​
​​ 当5< x≤9时，w=(6- 4.1)(30x + 120)= 57x + 228​​
​​ 当x= 9时， w有最大值741​​
​​ 当9< x≤15时， w=(6- 4.7)(30x+120)= -3x²+72x+336​​
​​ = -3(x-12)²+ 768​​
​​ 当x= 12时， w有最大值768​​
​​ 第12天利润最大，最大利润是768元​​