9. 已知二次函数$y = mx^{2}+(m - 3)x - 1$.
(1) 求证:不论m取何值,这个二次函数的图像都与x轴有两个公共点.
(2) 当$m=\frac{9}{2}$时,这个二次函数的图像与x轴交于A、B两点,求线段AB的长.
(3) 设第(2)题中抛物线的顶点为P,求$\triangle ABP$的面积.
(1) 求证:不论m取何值,这个二次函数的图像都与x轴有两个公共点.
(2) 当$m=\frac{9}{2}$时,这个二次函数的图像与x轴交于A、B两点,求线段AB的长.
(3) 设第(2)题中抛物线的顶点为P,求$\triangle ABP$的面积.
答案
证明:(1)∵判别式$b^2-4ac=(m-3)^2-4\ \mathrm {m}×(-1)=(m-1)^2+8\gt 0$
∴不论m 取何值，二次函数的图像都与x轴交于两点
(2) 当$m=\frac {9}{2} $时，$y=\frac 92x^2+\frac 32x-1$
令y=0，$\frac 92x^2+\frac 32x-1=0$
$x_1=-\frac 23 ，$$x_2=\frac 13 $
∴两个交点的坐标分别是$(-\frac {2}{3}，$0)、$ (\frac {1}{3}，$0)
∴线段AB的长为1
(3) 由(2)中抛物线顶点P 的坐标为$(- \frac {1}{6}，$$- \frac {9}{8} )$
∴△ABP 的面积是$ \frac {1}{2} ×1× \frac {9}{8}=\frac {9}{16}$
∴不论m 取何值，二次函数的图像都与x轴交于两点
(2) 当$m=\frac {9}{2} $时，$y=\frac 92x^2+\frac 32x-1$
令y=0，$\frac 92x^2+\frac 32x-1=0$
$x_1=-\frac 23 ，$$x_2=\frac 13 $
∴两个交点的坐标分别是$(-\frac {2}{3}，$0)、$ (\frac {1}{3}，$0)
∴线段AB的长为1
(3) 由(2)中抛物线顶点P 的坐标为$(- \frac {1}{6}，$$- \frac {9}{8} )$
∴△ABP 的面积是$ \frac {1}{2} ×1× \frac {9}{8}=\frac {9}{16}$
10. 已知二次函数$y = x^{2}-x - 1$的图像与x轴的一个交点坐标为$(m,0)$,则代数式$2m^{2}-2m + 2016$的值为.
答案
2018
11. 我们知道,一元二次方程$-x^{2}+2x + 3 = 0$的根是二次函数$y = - x^{2}+2x + 3$的图像与x轴交点的横坐标:$x_{1}=-1,x_{2}=3$.观察图像可知,不等式$-x^{2}+2x + 3\gt0$的解集是x轴上方的图像所对应的x的值,即$-1\lt x\lt3$,不等式$-x^{2}+2x + 3\lt0$的解集是x轴下方的图像所对应的x的值,即$x\gt3$或$x\lt-1$.利用二次函数的图像可以求某些一元二次不等式的解集. 再如,不等式$-x^{2}+2x + 3\gt2$的解集可以利用函数$y = - x^{2}+2x + 3$的图像来求.它可以看作过点$(0,2)$且平行于x轴的直线上方的图像所对应的x的值,即$1-\sqrt{2}\lt x\lt1+\sqrt{2}$,还可将这个不等式化成$-x^{2}+2x + 1\gt0$,利用函数$y = - x^{2}+2x + 1$的图像求解,即x轴上方的图像所对应的x的值.
用上述方法求不等式$2x^{2}+3x - 2\gt0$的解集.
用上述方法求不等式$2x^{2}+3x - 2\gt0$的解集.
答案
解：如图所示
函数$y=2x^2+3x-2$在x轴上方的图像所对应的x值为
x＜-2或$x＞\frac 12$
∴不等式$2x^2+3x-2＞0$的解集为x＜-2或$x＞\frac 12$
