12. 数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题：$1 + 2 + 3 + ··· + 10 =?$
经过研究，这个问题的一般性结论是$1 + 2 + 3 + ··· + n=\frac{1}{2}n(n + 1)$（其中$n$为正整数）。现在我们来研究一个类似的问题：$1×2 + 2×3 + ··· + n(n + 1)=?$
观察下面三个特殊的等式：
$1×2=\frac{1}{3}(1×2×3 - 0×1×2)$；$2×3=\frac{1}{3}(2×3×4 - 1×2×3)$；$3×4=\frac{1}{3}(3×4×5 - 2×3×4)$。
将这三个等式的两边相加，可以得到$1×2 + 2×3 + 3×4=\frac{1}{3}×3×4×5 = 20$。
读完这段材料，请你计算：
（1）$1×2 + 2×3 + ··· + 100×101$；
（2）$1×2 + 2×3 + ··· + n(n + 1)$；
（3）$1×2×3 + 2×3×4 + ··· + n(n + 1)(n + 2)$。

解：$​(1) \frac {1}{3} ×100×101×102=343400 ​$
​(2)​∵$​1×2=\frac {1}{3} (1×2×3-0×1×2)，$$​​2×3=\frac {1}{3} (2×3×4-1×2×3)，$​
$​3×4=\frac {1}{3} (3×4×5-2×3×4)，$​···，$​n(n+1)=\frac {1}{3} ([n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]​$
∴​1×2+2×3+···+n(n+1)​
$​=\frac {1}{3} [1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-4×3×4+···+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]​$
$​=\frac {1}{3}\ \mathrm {n}(n+1)(n+2)​$
​ (3)​根据​(2)​的计算方法，$​1×2×3=\frac {1}{4} (1×2×3×4-0×1×2×3)，$​
$​2×3×4=\frac {1}{4} (2×3×4×5-1×2×3×4)，$​···，
$​n(n+1)(n+2)=\frac {1}{4} [n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]​$
∴​1×2×3+2×3×4+···+n(n+1)(n+2)​
$​=\frac {1}{4} [1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+···+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]​$
$​=\frac {1}{4}\ \mathrm {n}(n+1)(n+2)(n+3)​$