7.1.1 两条直线相交
课前预习
1. 邻补角
若两个角有一条，且它们的另一边，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角. 例如图中∠1 与或是邻补角.

2. 对顶角
若两个角有一个，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. 例如图中∠1 与，∠2 与是对顶角.
3. 邻补角、对顶角的性质
邻补角；对顶角.
易错提示：(1)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；
(2)对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角.
课堂探究
探究点 1 邻补角和对顶角的概念

1. 公共边；互为反向延长线；∠2；∠4
2. 公共顶点；反向延长线；∠3；∠4
3. 互补；相等

【例 1】如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 是∠BOD 内部的一条射线.
(1)分别写出∠AOD 和∠AOE 的邻补角；
(2)写出图中所有的对顶角.
(1)邻补角、对顶角是两条直线相交形成的四个角的特殊关系；
(2)邻补角、对顶角是成对出现的.

(1)∠AOD的邻补角是∠AOC和∠BOD；∠AOE的邻补角是∠BOE。
(2)图中的对顶角是∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC。

【变式 1】如图，直线 AB，CD 和 EF 相交于点 O.

(1)∠AOC 的对顶角为，邻补角为；
(2)∠BOF 的对顶角为，邻补角为.

(1)∠BOD，$∠AOD和∠BOC$；
(2)$∠AOE$，$∠BOE和∠AOF$。

(1)根据对顶角和邻补角的定义：
对顶角：两个角如果它们的两边分别是另一角的两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角。
邻补角：两个角如果它们共享一条边，且它们的另一边互为反向延长线，则这两个角互为邻补角。
对于∠AOC：
∠AOC的对顶角为∠BOD，因为AO和BO，CO和DO分别互为反向延长线。
∠AOC的邻补角为∠AOD和∠BOC，因为∠AOC与∠AOD共享边AO，且CO和DO互为反向延长线；同理，∠AOC与∠BOC共享边CO，且AO和BO互为反向延长线。
(2)对于∠BOF：
∠BOF的对顶角为∠AOE，因为BO和AO，FO和EO分别互为反向延长线。
∠BOF的邻补角为∠BOE和∠AOF，因为∠BOF与∠BOE共享边BO，且FO和EO互为反向延长线；同理，∠BOF与∠AOF共享边FO，且BO和AO互为反向延长线。

【例 2】如图，已知直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分∠BOC.
(1)已知∠AOC = 40°，求∠DOE 的度数；
(2)若∠AOE : ∠BOE = 11 : 7，求∠AOD 的度数.

(1)
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC+∠BOC=180°（邻补角互补）.
∵∠AOC=40°，
∴∠BOC=180°-40°=140°.
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOC/2=140°/2=70°.
∵∠DOE+∠COE=180°（邻补角互补），
∴∠DOE=180°-70°=110°.
(2)设∠AOE=11x，∠BOE=7x.
∵∠AOE+∠BOE=∠AOB=180°（平角定义），
∴11x+7x=180°，解得x=10°.
∴∠BOE=7x=70°.
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠BOE=140°.
∵∠AOD与∠BOC是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC=140°.