1. 下列计算正确的是()

A.$2x(x - 3) = 2x^{2} + 6x$
B.$(x - 2)(x + 3) = x^{2} - x - 6$
C.$(-2x - y)(2x - y) = 4x^{2} - y^{2}$
D.$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$

D

A选项，利用单项式乘多项式法则计算左边得：$2x(x - 3)=2x^{2}-6x$，与右边$2x^{2}+6x$不相等，所以A选项错误。
B选项，根据多项式乘多项式法则，$(x - 2)(x + 3)=x^{2}+3x-2x - 6=x^{2}+x - 6$，与右边$x^{2}-x - 6$不相等，所以B选项错误。
C选项，根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，对于$(-2x - y)(2x - y)$，可变形为$(-y - 2x)(-y + 2x)=(-y)^{2}-(2x)^{2}=y^{2}-4x^{2}$，与右边$4x^{2}-y^{2}$不相等，所以C选项错误。
D选项，根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，左右两边相等，所以D选项正确。

2. $(a^{2} + b^{2})^{2} - (a^{2} - b^{2})^{2}$的计算结果是()

A.$2ab$
B.$4ab$
C.$2a^{2}b^{2}$
D.$4a^{2}b^{2}$

D

本题可利用平方差公式$m^2 - n^2=(m + n)(m - n)$对原式进行化简，其中$m = a^{2} + b^{2}$，$n = a^{2} - b^{2}$，然后再根据多项式乘法法则进一步计算。
步骤一：利用平方差公式化简原式
将$(a^{2} + b^{2})^{2} - (a^{2} - b^{2})^{2}$中的$(a^{2} + b^{2})$看作$m$，$(a^{2} - b^{2})$看作$n$，根据平方差公式可得：
$(a^{2} + b^{2})^{2} - (a^{2} - b^{2})^{2}=[(a^{2} + b^{2})+(a^{2} - b^{2})][(a^{2} + b^{2})-(a^{2} - b^{2})]$
步骤二：分别化简中括号内的式子
化简$(a^{2} + b^{2})+(a^{2} - b^{2})$：
去括号可得$a^{2} + b^{2}+a^{2} - b^{2}$，合并同类项得$2a^{2}$。
化简$(a^{2} + b^{2})-(a^{2} - b^{2})$：
去括号可得$a^{2} + b^{2}-a^{2} + b^{2}$，合并同类项得$2b^{2}$。
步骤三：计算化简后的式子
将上述化简结果代入$[(a^{2} + b^{2})+(a^{2} - b^{2})][(a^{2} + b^{2})-(a^{2} - b^{2})]$可得：
$2a^{2}×2b^{2}=4a^{2}b^{2}$

3. 已知多项式$9x^{2} + 24x + k$($k$为常数)是某个关于$x$的整式的平方，则$k$的值为.

$16$

已知多项式 $9x^{2} + 24x + k$ 是某个关于 $x$ 的整式的平方，设该整式为 $ax + b$，则：
$9x^{2} + 24x + k = (ax + b)^{2}$，
展开右侧得：
$9x^{2} + 24x + k = a^{2}x^{2} + 2abx + b^{2}$，
比较两侧相同次数的项系数，有：
$a^{2} = 9 ⇒ a = \pm 3$，
$2ab = 24$，
当 $a = 3$ 时，$2 × 3 × b = 24 ⇒ b = 4$；
当 $a = -3$ 时，$2 × (-3) × b = 24 ⇒ b = -4$。
无论 $a$ 取正还是负，都有 $b^{2} = k$。
因此，$k = 4^{2} = 16$。

4. 填空：
(1)若$a + b = - 4$，$ab = 3$，则$a^{2} + b^{2} =$；
(2)若$a + b = 3$，$ab = 2$，则$(a - b)^{2} =$；
(3)若$(a + b)^{2} = 9$，$(a - b)^{2} = 5$，则$ab =$；
(4)若$3x + y = - 4$，$3xy = 3$，则$9x^{2} + y^{2} =$.

10；1；1；10

(1) $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (-4)^2 - 2×3 = 16 - 6 = 10$；
(2) $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 3^2 - 4×2 = 9 - 8 = 1$；
(3) 由$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 9$，$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 5$，两式相减得$4ab = 4$，$ab = 1$；
(4) $9x^2 + y^2 = (3x)^2 + y^2 = (3x + y)^2 - 2×3x×y = (-4)^2 - 2×3 = 16 - 6 = 10$。

5. 计算：
（1）$(3a - b)^{2} + (b + 3a)^{2}$；
（2）$(2m + 3n)^{2}(3n - 2m)^{2}$；
（3）$(2x - 1)(2x + 1)(4x^{2} + 1)$；
（4）$(ab + \dfrac{1}{2})^{2}(ab - \dfrac{1}{2})^{2}$；
（5）$(2x + y)(2x - y) - (2x - y)^{2}$；
（6）$(x - y + 1)(x - y - 1)$.

（1）$(3a - b)^{2} + (b + 3a)^{2}$
$=(9a^{2}-6ab + b^{2})+(9a^{2}+6ab + b^{2})$
$=9a^{2}-6ab + b^{2}+9a^{2}+6ab + b^{2}$
$=18a^{2}+2b^{2}$
（2）$(2m + 3n)^{2}(3n - 2m)^{2}$
$=[(2m + 3n)(3n - 2m)]^{2}$
$=[(3n)^{2}-(2m)^{2}]^{2}$
$=(9n^{2}-4m^{2})^{2}$
$=81n^{4}-72m^{2}n^{2}+16m^{4}$
（3）$(2x - 1)(2x + 1)(4x^{2} + 1)$
$=[(2x)^{2}-1^{2}](4x^{2}+1)$
$=(4x^{2}-1)(4x^{2}+1)$
$=(4x^{2})^{2}-1^{2}$
$=16x^{4}-1$
（4）$(ab + \dfrac{1}{2})^{2}(ab - \dfrac{1}{2})^{2}$
$=[(ab + \dfrac{1}{2})(ab - \dfrac{1}{2})]^{2}$
$=[(ab)^{2}-(\dfrac{1}{2})^{2}]^{2}$
$=(a^{2}b^{2}-\dfrac{1}{4})^{2}$
$=a^{4}b^{4}-\dfrac{1}{2}a^{2}b^{2}+\dfrac{1}{16}$
（5）$(2x + y)(2x - y) - (2x - y)^{2}$
$=(4x^{2}-y^{2})-(4x^{2}-4xy + y^{2})$
$=4x^{2}-y^{2}-4x^{2}+4xy - y^{2}$
$=4xy - 2y^{2}$
（6）$(x - y + 1)(x - y - 1)$
$=[(x - y)+1][(x - y)-1]$
$=(x - y)^{2}-1^{2}$
$=x^{2}-2xy + y^{2}-1$