一、有一种变速自行车，有 2 个前齿轮，6 个后齿轮。
1. 算一算这种自行车的前、后齿轮的齿数比，把右表填写完整。

2. 这种自行车的前、后齿轮有()种不同的组合。
3. 蹬同样的圈数，哪种齿轮组合使自行车行得最远？

1. $12:7$，$10:7$，$2:1$，$5:3$，$12:5$，$2:1$，$8:3$，$20:9$，$3:1$，$5:2$，$24:7$，$20:7$；
2. $12$；
3. 前齿轮$48$齿，后齿轮$14$齿

1. 计算前、后齿轮的齿数比：
当后齿轮齿数为$28$，前齿轮齿数为$48$时，齿数比为$48:28 = \frac{48}{28}= \frac{12}{7}$；前齿轮齿数为$40$时，齿数比为$40:28=\frac{40}{28} = \frac{10}{7}$。
同理，当后齿轮齿数为$24$时，与$48$的齿数比为$48:24 = 2:1$，与$40$的齿数比为$40:24=\frac{40}{24}=\frac{5}{3}$。
后齿轮齿数为$20$时，与$48$的齿数比为$48:20=\frac{48}{20} =\frac{12}{5}$，与$40$的齿比为$40:20 = 2:1$。
后齿轮齿数为$18$时，与$48$的齿数比为$48:18=\frac{48}{18}=\frac{8}{3}$，与$40$的齿数比为$40:18=\frac{40}{18}=\frac{20}{9}$。
后齿轮齿数为$16$时，与$48$的齿数比为$48:16 = 3:1$，与$40$的齿数比为$40:16=\frac{40}{16} =\frac{5}{2}$。
后齿轮齿数为$14$时，与$48$的齿数比为$48:14=\frac{48}{14}=\frac{24}{7}$，与$40$的齿数比为$40:14=\frac{40}{14}=\frac{20}{7}$。
填表如下：
| 后齿轮齿数 | $48$（前齿轮齿数比） | $40$（前齿轮齿数比） |
| --- | --- | --- |
| 28 | $12:7$ | $10:7$ |
| 24 | $2:1$ | $5:3$ |
| 20 | $12:5$ | $2:1$ |
| 18 | $8:3$ | $20:9$ |
| 16 | $3:1$ | $5:2$ |
| 14 | $24:7$ | $20:7$ |
2. 前齿轮有$2$个选择，后齿轮有$6$个选择，根据排列组合的乘法原理，不同的组合有$2×6 = 12$（种）。
3. 蹬同样的圈数，前后齿轮齿数比最大时，自行车行得最远。比较所有的齿数比，$48:14=\frac{24}{7}$最大，即前齿轮齿数$48$，后齿轮齿数$14$这种组合使自行车行得最远。

二、一辆自行车的前齿轮有 28 个齿，后齿轮有 14 个齿，蹬 1 圈自行车前进 502.4 cm。求这辆自行车的车轮直径。

前齿轮蹬一圈，后齿轮转动的圈数：
$\frac{前齿轮齿数}{后齿轮齿数}=\frac{28}{14} = 2$（圈）。
即前齿轮蹬一圈，后轮转$2$圈，同时自行车前进$502.4$cm。
那么后轮的周长为：
$502.4÷2 = 251.2$（$cm$）。
根据圆的周长公式$C=π d$（$C$为周长，$d$为直径），可得车轮直径$d = C÷π$，$π$取$3.14$，则车轮直径为：
$251.2÷3.14 = 80$（$cm$）。
综上，这辆自行车的车轮直径是$80cm$。

三、有一款自行车的车轮直径大约是 60 cm，蹬 1 圈可以前进 376.8 cm，其后齿轮齿数是 20 个。它的前齿轮齿数是多少个？

解题过程如下：
设前齿轮齿数为$x$个。
根据齿轮传动原理，前齿轮齿数$×$前齿轮转数$=$后齿轮齿数$×$后齿轮转数。
已知车轮直径$d = 60$cm，根据圆的周长公式$C=π d$，可得车轮周长$C = 3.14×60=188.4$（cm）。
蹬$1$圈前进$376.8$cm，则后齿轮转数$=\frac{376.8}{188.4}=2$（圈）。
已知后齿轮齿数是$20$个，因为前齿轮转$1$圈，根据上述齿轮传动关系可得方程$x×1 = 20×2$，解得$x = 40$。
答：前齿轮齿数是$40$个。

四、【拓展题】张刚骑自行车经过一座长 3768 m 的大桥，他的自行车的前齿轮有 40 个齿，前、后齿轮的齿数比是 5 : 3，车轮的直径是 60 cm。从自行车上桥到离桥，张刚大约要蹬多少圈？（自行车车长忽略不计）

1. 首先计算后齿轮齿数：
已知前齿轮齿数$Z_1 = 40$齿，前、后齿轮的齿数比是$5:3$，即$\frac{Z_1}{Z_2}=\frac{5}{3}$，那么后齿轮齿数$Z_2=\frac{3×40}{5}=24$齿。
2. 接着计算车轮的周长：
车轮直径$d = 60cm=0.6m$，根据圆的周长公式$C=π d$，可得车轮周长$C = 3.14×0.6 = 1.884m$。
3. 然后计算自行车经过大桥时车轮转动的圈数：
大桥长$s = 3768m$，车轮转动的圈数$n_2=\frac{s}{C}=\frac{3768}{1.884}=2000$圈。
4. 最后计算前齿轮转动的圈数（即蹬的圈数）：
因为前齿轮齿数与转动圈数的乘积等于后齿轮齿数与转动圈数的乘积，即$Z_1n_1 = Z_2n_2$，所以前齿轮转动的圈数$n_1=\frac{Z_2n_2}{Z_1}$。
把$Z_1 = 40$，$Z_2 = 24$，$n_2 = 2000$代入可得：$n_1=\frac{24×2000}{40}=1200÷ (这里原应该是\frac{24×2000}{40}=1200) 1200$（圈）。
答：张刚大约要蹬$1000（原计算正确应为1200）$ 1200圈。