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11. 如图，在矩形$ABCD$中，$G$是$BC$的中点，过$A$，$D$，$G$三点的$\odot O$与边$AB$，$CD$分别交于点$E$，$F$，给出下列说法：①$AC$与$BD$的交点是$\odot O$的圆心；②$AF$与$DE$的交点是$\odot O$的圆心；③$BC$与$\odot O$相切. 其中说法正确的有
②③
.答案
11. ②③
解析
【解析】
1. 分析①：矩形$ABCD$中，$AC$与$BD$的交点是矩形的中心，但该点不一定在$AD$和$DG$的垂直平分线的交点（即$\odot O$的圆心）上，故①错误。
2. 分析②：四边形$AEDF$是$\odot O$的内接四边形，矩形中$∠ DAE=90°$，因此$DE$是$\odot O$的直径；同理$AF$也是$\odot O$的直径，所以$AF$与$DE$的交点是$\odot O$的圆心，故②正确。
3. 分析③：连接$OG$，取$AD$中点$H$，连接$OH$。$OH⊥ AD$，又$AD// BC$，则$OH⊥ BC$，且$OG=OH$（均为$\odot O$半径），故$OG⊥ BC$，根据切线判定定理，$BC$与$\odot O$相切，故③正确。
【答案】
②③
【知识点】
圆的性质，矩形的性质，切线的判定
【点评】
本题综合考查矩形、圆的性质及切线的判定，需结合图形性质逐一分析各结论，对几何图形性质的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.4
1. 分析①：矩形$ABCD$中，$AC$与$BD$的交点是矩形的中心，但该点不一定在$AD$和$DG$的垂直平分线的交点（即$\odot O$的圆心）上，故①错误。
2. 分析②：四边形$AEDF$是$\odot O$的内接四边形，矩形中$∠ DAE=90°$，因此$DE$是$\odot O$的直径；同理$AF$也是$\odot O$的直径，所以$AF$与$DE$的交点是$\odot O$的圆心，故②正确。
3. 分析③：连接$OG$，取$AD$中点$H$，连接$OH$。$OH⊥ AD$，又$AD// BC$，则$OH⊥ BC$，且$OG=OH$（均为$\odot O$半径），故$OG⊥ BC$，根据切线判定定理，$BC$与$\odot O$相切，故③正确。
【答案】
②③
【知识点】
圆的性质，矩形的性质，切线的判定
【点评】
本题综合考查矩形、圆的性质及切线的判定，需结合图形性质逐一分析各结论，对几何图形性质的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.4
12. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$，$O$为$AB$上一点，经过点$A$，$D$的$\odot O$分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$，连结$OF$交$AD$于点$G$.
（1）求证：$BC$是$\odot O$的切线；
（2）设$AB = x$，$AF = y$，试用含$x$，$y$的代数式表示线段$AD$的长；
（3）若$BE = 8$，$\sin B=\dfrac{5}{13}$，求$DG$的长.
（1）求证：$BC$是$\odot O$的切线；
（2）设$AB = x$，$AF = y$，试用含$x$，$y$的代数式表示线段$AD$的长；
（3）若$BE = 8$，$\sin B=\dfrac{5}{13}$，求$DG$的长.
答案
12. (1) 略
(2) $AD = \sqrt{xy}$
(3) $DG = \frac{30\sqrt{13}}{23}$
(2) $AD = \sqrt{xy}$
(3) $DG = \frac{30\sqrt{13}}{23}$
解析
【解析】
（1）连接$OD$，
因为$OA=OD$，所以$∠ OAD=∠ ODA$，
又$AD$平分$∠ BAC$，所以$∠ OAD=∠ CAD$，
故$∠ ODA=∠ CAD$，所以$OD// AC$，
因为$∠ C=90°$，所以$∠ ODC=90°$，即$OD⊥ BC$，
又$OD$是$\odot O$的半径，所以$BC$是$\odot O$的切线。
（2）连接$DF$、$DE$，
因为$AE$是$\odot O$的直径，所以$∠ ADE=∠ AFD=90°$，
又$AD$平分$∠ BAC$，所以$∠ EAD=∠ DAF$，
故$△ ADE∽△ AFD$，则$\frac{AD}{AF}=\frac{AE}{AD}$，即$AD^2=AE· AF$，
因为$AE=AB=x$，$AF=y$，所以$AD=\sqrt{xy}$。
（3）设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OE=r$，$OB=BE+OE=8+r$，
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$\sin B=\frac{OD}{OB}=\frac{r}{8+r}=\frac{5}{13}$，解得$r=5$，
所以$AE=10$，$AB=AE+BE=18$，
由$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$，得$AC=18×\frac{5}{13}=\frac{90}{13}$，
因为$AE$是直径，所以$∠ AFE=90°$，又$∠ C=90°$，故$EF// BC$，
所以$∠ AEF=∠ B$，则$\sin∠ AEF=\frac{AF}{AE}=\frac{5}{13}$，得$AF=10×\frac{5}{13}=\frac{50}{13}$，
由（2）得$AD=\sqrt{AB· AF}=\sqrt{18×\frac{50}{13}}=\frac{30\sqrt{13}}{13}$，
因为$OD// AC$，所以$△ ODG∽△ FAG$，则$\frac{DG}{AG}=\frac{OD}{AF}=\frac{5}{\frac{50}{13}}=\frac{13}{10}$，
即$\frac{DG}{AD}=\frac{13}{23}$，所以$DG=\frac{13}{23}×\frac{30\sqrt{13}}{13}=\frac{30\sqrt{13}}{23}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$\boldsymbol{AD=\sqrt{xy}}$；
（3）$\boldsymbol{DG=\frac{30\sqrt{13}}{23}}$
【知识点】
切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、相似三角形的应用及锐角三角函数的计算，需灵活运用圆的性质、相似三角形的判定与性质解决问题，综合性较强。
【难度系数】
0.4
（1）连接$OD$，
因为$OA=OD$，所以$∠ OAD=∠ ODA$，
又$AD$平分$∠ BAC$，所以$∠ OAD=∠ CAD$，
故$∠ ODA=∠ CAD$，所以$OD// AC$，
因为$∠ C=90°$，所以$∠ ODC=90°$，即$OD⊥ BC$，
又$OD$是$\odot O$的半径，所以$BC$是$\odot O$的切线。
（2）连接$DF$、$DE$，
因为$AE$是$\odot O$的直径，所以$∠ ADE=∠ AFD=90°$，
又$AD$平分$∠ BAC$，所以$∠ EAD=∠ DAF$，
故$△ ADE∽△ AFD$，则$\frac{AD}{AF}=\frac{AE}{AD}$，即$AD^2=AE· AF$，
因为$AE=AB=x$，$AF=y$，所以$AD=\sqrt{xy}$。
（3）设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OE=r$，$OB=BE+OE=8+r$，
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$\sin B=\frac{OD}{OB}=\frac{r}{8+r}=\frac{5}{13}$，解得$r=5$，
所以$AE=10$，$AB=AE+BE=18$，
由$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$，得$AC=18×\frac{5}{13}=\frac{90}{13}$，
因为$AE$是直径，所以$∠ AFE=90°$，又$∠ C=90°$，故$EF// BC$，
所以$∠ AEF=∠ B$，则$\sin∠ AEF=\frac{AF}{AE}=\frac{5}{13}$，得$AF=10×\frac{5}{13}=\frac{50}{13}$，
由（2）得$AD=\sqrt{AB· AF}=\sqrt{18×\frac{50}{13}}=\frac{30\sqrt{13}}{13}$，
因为$OD// AC$，所以$△ ODG∽△ FAG$，则$\frac{DG}{AG}=\frac{OD}{AF}=\frac{5}{\frac{50}{13}}=\frac{13}{10}$，
即$\frac{DG}{AD}=\frac{13}{23}$，所以$DG=\frac{13}{23}×\frac{30\sqrt{13}}{13}=\frac{30\sqrt{13}}{23}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$\boldsymbol{AD=\sqrt{xy}}$；
（3）$\boldsymbol{DG=\frac{30\sqrt{13}}{23}}$
【知识点】
切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、相似三角形的应用及锐角三角函数的计算，需灵活运用圆的性质、相似三角形的判定与性质解决问题，综合性较强。
【难度系数】
0.4
