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1. 进位制及其相关概念
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统. 约定逢十进一就是______,逢二进一就是______. 也就是说,“逢几进一”就是几进制,几进制的基数就是______,如$(1011)_2$是二进制数,它的基数是______；$(3745)_8$是八进制数,它的基数是______.
2. 计算机运算的方式
计算机系统中的所有数据都由二进制信息组成,二进制是逢二进一,其各数位上只用0或1这两个数字,这正好与电路的断和通两种状态相对应,因此计算机在进行数(十进制)的运算时,先把接收到的数转换为二进制数进行计算,再把运算结果转换为十进制数,并输出结果.
3. 八卦符号的认识
如图所示的八卦符号可以用于记数,称为阳爻,对应数字1；称为阴爻,对应数字0,这是二进制记数法.
八卦符号可以用于记数,请探究上面这几个符号所表示的数,互相交流各自的计算方法.
提示：八卦中,每卦均由三个阳爻或阴爻组合而成,如从左起第一个符号表示的二进制数为$(011)_2$.
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统. 约定逢十进一就是______,逢二进一就是______. 也就是说,“逢几进一”就是几进制,几进制的基数就是______,如$(1011)_2$是二进制数,它的基数是______；$(3745)_8$是八进制数,它的基数是______.
2. 计算机运算的方式
计算机系统中的所有数据都由二进制信息组成,二进制是逢二进一,其各数位上只用0或1这两个数字,这正好与电路的断和通两种状态相对应,因此计算机在进行数(十进制)的运算时,先把接收到的数转换为二进制数进行计算,再把运算结果转换为十进制数,并输出结果.
3. 八卦符号的认识
如图所示的八卦符号可以用于记数,称为阳爻,对应数字1；称为阴爻,对应数字0,这是二进制记数法.
八卦符号可以用于记数,请探究上面这几个符号所表示的数,互相交流各自的计算方法.
提示：八卦中,每卦均由三个阳爻或阴爻组合而成,如从左起第一个符号表示的二进制数为$(011)_2$.
答案
十进制 二进制 几 2 8
解析
【分析】
本题考查进位制的基础概念，解题时紧扣题干给出的进位制定义规则即可逐一推导答案：首先明确“逢几进一就是几进制”的核心规则，再对应“几进制的基数为几”的规律，依次对应每个空缺的描述填写内容即可，不需要复杂计算，属于概念识记类题目。
【解析】
根据进位制的定义逐一分析填空：
1. 按照规则“逢几进一就是几进制”，逢十进一对应的就是十进制；
2. 同理，逢二进一对应的就是二进制；
3. 由“逢几进一就是几进制”可直接得出，几进制的基数就是几；
4. 二进制符合“逢二进一”的规则，因此它的基数是2；
5. 八进制符合“逢八进一”的规则，因此它的基数是8。
【答案】
十进制 二进制 几 2 8
【知识点】
进位制概念，进制基数
【点评】
本题是进位制的入门基础题，重点考查对基础概念的识记和理解，只要牢记进位制的进位规则和基数的对应关系，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查进位制的基础概念，解题时紧扣题干给出的进位制定义规则即可逐一推导答案：首先明确“逢几进一就是几进制”的核心规则，再对应“几进制的基数为几”的规律，依次对应每个空缺的描述填写内容即可，不需要复杂计算，属于概念识记类题目。
【解析】
根据进位制的定义逐一分析填空：
1. 按照规则“逢几进一就是几进制”，逢十进一对应的就是十进制；
2. 同理，逢二进一对应的就是二进制；
3. 由“逢几进一就是几进制”可直接得出，几进制的基数就是几；
4. 二进制符合“逢二进一”的规则，因此它的基数是2；
5. 八进制符合“逢八进一”的规则，因此它的基数是8。
【答案】
十进制 二进制 几 2 8
【知识点】
进位制概念，进制基数
【点评】
本题是进位制的入门基础题，重点考查对基础概念的识记和理解，只要牢记进位制的进位规则和基数的对应关系，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
【例1】填空：把下列数表示成各位上的数字与基数10的幂的乘积之和的形式.
(1)$32567= $______；
(2)$0.7546= $______.
(1)$32567= $______；
(2)$0.7546= $______.
答案
(1)$3× 10^{4}+2× 10^{3}+5× 10^{2}+6× 10^{1}+7× 10^{0}$；
(2)$7× 10^{-1}+5× 10^{-2}+4× 10^{-3}+6× 10^{-4}$
解析
【分析】
解决这类问题首先要明确十进制数的数位意义：整数部分从右到左依次是个位、十位、百位、千位、万位……对应的计数单位分别是$10^0$、$10^1$、$10^2$、$10^3$、$10^4$……；小数部分从小数点后从左到右依次是十分位、百分位、千分位、万分位……对应的计数单位分别是$10^{-1}$、$10^{-2}$、$10^{-3}$、$10^{-4}$……。解题时只需要找到每个数位上的数字，乘对应数位的计数单位，再把所有乘积相加即可。
【解析】
(1) $32567$是五位数，万位数字为3，对应计数单位$10^4$；千位数字为2，对应计数单位$10^3$；百位数字为5，对应计数单位$10^2$；十位数字为6，对应计数单位$10^1$；个位数字为7，对应计数单位$10^0$。
因此$32567=3×10^{4}+2×10^{3}+5×10^{2}+6×10^{1}+7×10^{0}$。
(2) $0.7546$是四位小数，十分位数字为7，对应计数单位$10^{-1}$；百分位数字为5，对应计数单位$10^{-2}$；千分位数字为4，对应计数单位$10^{-3}$；万分位数字为6，对应计数单位$10^{-4}$。
因此$0.7546=7×10^{-1}+5×10^{-2}+4×10^{-3}+6×10^{-4}$。
【答案】
(1)$3× 10^{4}+2× 10^{3}+5× 10^{2}+6× 10^{1}+7× 10^{0}$；
(2)$7× 10^{-1}+5× 10^{-2}+4× 10^{-3}+6× 10^{-4}$
【知识点】
十进制计数法，乘方的意义
【点评】
本题是进位制的基础考查题，核心是掌握十进制数各数位对应的计数单位规律，熟练区分整数部分和小数部分的10的幂次特征即可轻松解题，是学习其他进位制的必备基础。
【难度系数】
0.9
解决这类问题首先要明确十进制数的数位意义：整数部分从右到左依次是个位、十位、百位、千位、万位……对应的计数单位分别是$10^0$、$10^1$、$10^2$、$10^3$、$10^4$……；小数部分从小数点后从左到右依次是十分位、百分位、千分位、万分位……对应的计数单位分别是$10^{-1}$、$10^{-2}$、$10^{-3}$、$10^{-4}$……。解题时只需要找到每个数位上的数字，乘对应数位的计数单位，再把所有乘积相加即可。
【解析】
(1) $32567$是五位数，万位数字为3，对应计数单位$10^4$；千位数字为2，对应计数单位$10^3$；百位数字为5，对应计数单位$10^2$；十位数字为6，对应计数单位$10^1$；个位数字为7，对应计数单位$10^0$。
因此$32567=3×10^{4}+2×10^{3}+5×10^{2}+6×10^{1}+7×10^{0}$。
(2) $0.7546$是四位小数，十分位数字为7，对应计数单位$10^{-1}$；百分位数字为5，对应计数单位$10^{-2}$；千分位数字为4，对应计数单位$10^{-3}$；万分位数字为6，对应计数单位$10^{-4}$。
因此$0.7546=7×10^{-1}+5×10^{-2}+4×10^{-3}+6×10^{-4}$。
【答案】
(1)$3× 10^{4}+2× 10^{3}+5× 10^{2}+6× 10^{1}+7× 10^{0}$；
(2)$7× 10^{-1}+5× 10^{-2}+4× 10^{-3}+6× 10^{-4}$
【知识点】
十进制计数法，乘方的意义
【点评】
本题是进位制的基础考查题，核心是掌握十进制数各数位对应的计数单位规律，熟练区分整数部分和小数部分的10的幂次特征即可轻松解题，是学习其他进位制的必备基础。
【难度系数】
0.9
【例2】把下列各数转换为二进制数.
(1)17(用除2取余法)；
(2)31(用短除法).
(1)17(用除2取余法)；
(2)31(用短除法).
答案
解:
(1)$17÷ 2=8\cdots \cdots 1$,$8÷ 2=4\cdots \cdots 0$,$4÷ 2=2\cdots \cdots 0$,$2÷ 2=1\cdots \cdots 0$,$1÷ 2=0\cdots \cdots 1$,得到二进制数为10001.
(2)
得到31的二进制数为11111.解析
【分析】
十进制转二进制可使用除2取余法，解题思路如下：将需要转换的十进制数反复除以2，每计算一次就记录对应的余数，直到商为0时停止运算，最后把所有余数按照从最后一次得到的余数到第一次得到的余数的顺序倒序排列，所得结果就是对应的二进制数。第(1)问直接逐次对17做除以2的运算记录余数即可；第(2)问的短除法本质也是除2取余法，短除过程中得到的余数记录完成后倒序排列就能得到结果。
【解析】
(1) 计算17转换为二进制数：
$17÷2=8······1$
$8÷2=4······0$
$4÷2=2······0$
$2÷2=1······0$
$1÷2=0······1$
商为0停止计算，将余数从后往前倒序排列，得到二进制数10001。
(2) 用短除法计算31转换为二进制数：
按照短除法步骤依次将31除以2取余，过程如下，最终得到的余数依次为1、1、1、1、1，商为0后将余数倒序排列，得到二进制数11111。
【答案】
(1) 10001
(2)11111
【知识点】
十进制转二进制；除2取余法；短除法
【点评】
本题是进位制转换的基础题型，核心考查十进制转二进制的基础运算规则，熟练掌握“除2取余、倒序读数”的方法即可快速解题，是学习其他进位制转换的基础。
【难度系数】
0.8
十进制转二进制可使用除2取余法，解题思路如下：将需要转换的十进制数反复除以2，每计算一次就记录对应的余数，直到商为0时停止运算，最后把所有余数按照从最后一次得到的余数到第一次得到的余数的顺序倒序排列，所得结果就是对应的二进制数。第(1)问直接逐次对17做除以2的运算记录余数即可；第(2)问的短除法本质也是除2取余法，短除过程中得到的余数记录完成后倒序排列就能得到结果。
【解析】
(1) 计算17转换为二进制数：
$17÷2=8······1$
$8÷2=4······0$
$4÷2=2······0$
$2÷2=1······0$
$1÷2=0······1$
商为0停止计算，将余数从后往前倒序排列，得到二进制数10001。
(2) 用短除法计算31转换为二进制数：
按照短除法步骤依次将31除以2取余，过程如下，最终得到的余数依次为1、1、1、1、1，商为0后将余数倒序排列，得到二进制数11111。
【答案】
(1) 10001
(2)
11111【知识点】
十进制转二进制；除2取余法；短除法
【点评】
本题是进位制转换的基础题型，核心考查十进制转二进制的基础运算规则，熟练掌握“除2取余、倒序读数”的方法即可快速解题，是学习其他进位制转换的基础。
【难度系数】
0.8
把十进制数转换为二进制数的方法
(1)除2取余法：将十进制数的整数部分除以2,余数作为二进制数的最低位,而商继续除以2,余数作为二进制数的次低位,这个步骤一直持续下去,直至商为0为止,即得到二进制数；
(2)短除法：不断将十进制数除以2,每次记录商数剩余的整数部分,直至商数为0. 然后把所有剩余整数部分按照从下到上的顺序排列,即得到二进制数.
(1)除2取余法：将十进制数的整数部分除以2,余数作为二进制数的最低位,而商继续除以2,余数作为二进制数的次低位,这个步骤一直持续下去,直至商为0为止,即得到二进制数；
(2)短除法：不断将十进制数除以2,每次记录商数剩余的整数部分,直至商数为0. 然后把所有剩余整数部分按照从下到上的顺序排列,即得到二进制数.
答案
答题（以下为将十进制数转换为二进制数的步骤，以十进制数10为例）：
使用除2取余法：
$10 ÷ 2 = 5$ 余 $0$，
$5 ÷ 2 = 2$ 余 $1$，
$2 ÷ 2 = 1$ 余 $0$，
$1 ÷ 2 = 0$ 余 $1$，
将余数从下往上排列，得到二进制数 $1010$。
使用短除法：
短除式为：
$2|10\ \ 0$，
$2|5 \ \ \ 1$，
$2|2 \ \ \ 0$，
$2|1\ \ \ 0$（这一步其实在短除法中可省略，因为当商为1时，下一步直接得出余数），
$ |0\ \ \ 1$（商为0时停止），
将余数从下往上排列，得到二进制数 $1010$。
使用除2取余法：
$10 ÷ 2 = 5$ 余 $0$，
$5 ÷ 2 = 2$ 余 $1$，
$2 ÷ 2 = 1$ 余 $0$，
$1 ÷ 2 = 0$ 余 $1$，
将余数从下往上排列，得到二进制数 $1010$。
使用短除法：
短除式为：
$2|10\ \ 0$，
$2|5 \ \ \ 1$，
$2|2 \ \ \ 0$，
$2|1\ \ \ 0$（这一步其实在短除法中可省略，因为当商为1时，下一步直接得出余数），
$ |0\ \ \ 1$（商为0时停止），
将余数从下往上排列，得到二进制数 $1010$。
解析
【分析】
本题需要掌握十进制整数转换为二进制数的两种常用方法，解题核心是抓住“除2取余、逆序排列”的通用规则。思考时可结合具体的十进制数示例理解操作步骤：两种方法本质都是反复将十进制数除以2，记录每次的余数，直到商为0停止，最后将得到的余数按最后一次到第一次的顺序排列，就是对应的二进制数。其中除2取余法是分步计算记录余数，短除法是将分步过程用统一的短除格式书写，更方便核对余数顺序，减少错误。
【解析】
我们以十进制数10为例演示两种方法的操作步骤：
1. 除2取余法：将整数部分反复除以2，依次记录余数，直到商为0：
第一次计算：$10÷2=5$，余数为0（对应二进制最低位）
第二次计算：$5÷2=2$，余数为1（对应二进制次低位）
第三次计算：$2÷2=1$，余数为0
第四次计算：$1÷2=0$，余数为1（对应二进制最高位）
最后将余数从最后一次到第一次的顺序（从下往上）排列，得到二进制数。
2. 短除法：用短除格式依次除以2，右侧记录余数，直到商为0：
依次书写短除式，每次将商写在下一行，右侧标注对应余数，直到商为0后，将右侧余数从下往上排列，即可得到对应二进制数。
【答案】
答题（以下为将十进制数转换为二进制数的步骤，以十进制数10为例）：
使用除2取余法：
$10 ÷ 2 = 5$ 余 $0$，
$5 ÷ 2 = 2$ 余 $1$，
$2 ÷ 2 = 1$ 余 $0$，
$1 ÷ 2 = 0$ 余 $1$，
将余数从下往上排列，得到二进制数 $1010$。
使用短除法：
短除式为：
$2|10\ \ 0$，
$2|5 \ \ \ 1$，
$2|2 \ \ \ 0$，
$2|1\ \ \ 0$（这一步其实在短除法中可省略，因为当商为1时，下一步直接得出余数），
$ |0\ \ \ 1$（商为0时停止），
将余数从下往上排列，得到二进制数 $1010$。
【知识点】
十进制转二进制、除2取余法、短除法
【点评】
本题是进位制转换的基础题型，核心规则清晰易懂，两种转换方法本质一致，短除法的书写形式更便于初学者核对余数顺序，降低出错概率，熟练掌握后可快速完成十进制整数到二进制的转换。
【难度系数】
0.8
本题需要掌握十进制整数转换为二进制数的两种常用方法，解题核心是抓住“除2取余、逆序排列”的通用规则。思考时可结合具体的十进制数示例理解操作步骤：两种方法本质都是反复将十进制数除以2，记录每次的余数，直到商为0停止，最后将得到的余数按最后一次到第一次的顺序排列，就是对应的二进制数。其中除2取余法是分步计算记录余数，短除法是将分步过程用统一的短除格式书写，更方便核对余数顺序，减少错误。
【解析】
我们以十进制数10为例演示两种方法的操作步骤：
1. 除2取余法：将整数部分反复除以2，依次记录余数，直到商为0：
第一次计算：$10÷2=5$，余数为0（对应二进制最低位）
第二次计算：$5÷2=2$，余数为1（对应二进制次低位）
第三次计算：$2÷2=1$，余数为0
第四次计算：$1÷2=0$，余数为1（对应二进制最高位）
最后将余数从最后一次到第一次的顺序（从下往上）排列，得到二进制数。
2. 短除法：用短除格式依次除以2，右侧记录余数，直到商为0：
依次书写短除式，每次将商写在下一行，右侧标注对应余数，直到商为0后，将右侧余数从下往上排列，即可得到对应二进制数。
【答案】
答题（以下为将十进制数转换为二进制数的步骤，以十进制数10为例）：
使用除2取余法：
$10 ÷ 2 = 5$ 余 $0$，
$5 ÷ 2 = 2$ 余 $1$，
$2 ÷ 2 = 1$ 余 $0$，
$1 ÷ 2 = 0$ 余 $1$，
将余数从下往上排列，得到二进制数 $1010$。
使用短除法：
短除式为：
$2|10\ \ 0$，
$2|5 \ \ \ 1$，
$2|2 \ \ \ 0$，
$2|1\ \ \ 0$（这一步其实在短除法中可省略，因为当商为1时，下一步直接得出余数），
$ |0\ \ \ 1$（商为0时停止），
将余数从下往上排列，得到二进制数 $1010$。
【知识点】
十进制转二进制、除2取余法、短除法
【点评】
本题是进位制转换的基础题型，核心规则清晰易懂，两种转换方法本质一致，短除法的书写形式更便于初学者核对余数顺序，降低出错概率，熟练掌握后可快速完成十进制整数到二进制的转换。
【难度系数】
0.8
