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【例3】将下列各数转换为八进制数.
(1)17；(2)31；(3)253.
(1)17；(2)31；(3)253.
答案
解:
(1)$17÷ 8=2\cdots \cdots 1$,$2÷ 8=0\cdots \cdots 2$,所以17转换成八进制数是21.
(2)$31÷ 8=3\cdots \cdots 7$,$3÷ 8=0\cdots \cdots 3$,所以31转换成八进制数是37.
(3)
......57((第第21位位余余数数)) ...3(第3位余数) 所以253转换成八进制数是375.解析
【分析】
十进制转八进制使用“除8取余法”，解题思路如下：1. 把需要转换的十进制数除以8，记录得到的商和余数；2. 若商不为0，就用得到的商再次除以8，记录新的商和余数，重复操作直到商为0；3. 把所有记录的余数按“最后得到的余数在前，最先得到的余数在后”的顺序排列，得到的就是对应八进制数，我们按这个方法分别计算三个数即可。
【解析】
(1) 转换17：
第一步：$17÷ 8=2······1$，记录余数1，商为2；
第二步：$2÷ 8=0······2$，记录余数2，商为0，停止计算；
将余数倒序排列，得到八进制数21。
(2) 转换31：
第一步：$31÷ 8=3······7$，记录余数7，商为3；
第二步：$3÷ 8=0······3$，记录余数3，商为0，停止计算；
将余数倒序排列，得到八进制数37。
(3) 转换253：
用短除法计算过程如下：
第一步：$253÷8=31······5$，记录余数5（最低位），商为31；
第二步：$31÷8=3······7$，记录余数7，商为3；
第三步：$3÷8=0······3$，记录余数3（最高位），商为0，停止计算；
将余数从高位到低位排列，得到八进制数375。
【答案】
(1) $\boxed{21}$；(2) $\boxed{37}$；(3) $\boxed{375}$
【知识点】
1. 十进制转八进制
2. 除8取余法
【点评】
本题是进位制转换的基础题型，核心要掌握除8取余后倒序排列余数的规则，计算时注意不要颠倒余数的先后顺序，熟练掌握方法后可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
十进制转八进制使用“除8取余法”，解题思路如下：1. 把需要转换的十进制数除以8，记录得到的商和余数；2. 若商不为0，就用得到的商再次除以8，记录新的商和余数，重复操作直到商为0；3. 把所有记录的余数按“最后得到的余数在前，最先得到的余数在后”的顺序排列，得到的就是对应八进制数，我们按这个方法分别计算三个数即可。
【解析】
(1) 转换17：
第一步：$17÷ 8=2······1$，记录余数1，商为2；
第二步：$2÷ 8=0······2$，记录余数2，商为0，停止计算；
将余数倒序排列，得到八进制数21。
(2) 转换31：
第一步：$31÷ 8=3······7$，记录余数7，商为3；
第二步：$3÷ 8=0······3$，记录余数3，商为0，停止计算；
将余数倒序排列，得到八进制数37。
(3) 转换253：
用短除法计算过程如下：
第一步：$253÷8=31······5$，记录余数5（最低位），商为31；
第二步：$31÷8=3······7$，记录余数7，商为3；
第三步：$3÷8=0······3$，记录余数3（最高位），商为0，停止计算；
将余数从高位到低位排列，得到八进制数375。
【答案】
(1) $\boxed{21}$；(2) $\boxed{37}$；(3)
$\boxed{375}$【知识点】
1. 十进制转八进制
2. 除8取余法
【点评】
本题是进位制转换的基础题型，核心要掌握除8取余后倒序排列余数的规则，计算时注意不要颠倒余数的先后顺序，熟练掌握方法后可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
把十进制数转换为八进制数的方法
将十进制数除以8,得到商和余数；将余数作为八进制数的最低位,将商继续除以8,得到新的商和余数,将新的余数作为八进制数的次低位. 如此重复,直到商为0为止. 将所有的余数按照从高位到低位的顺序排列,就得到了八进制数.
将十进制数除以8,得到商和余数；将余数作为八进制数的最低位,将商继续除以8,得到新的商和余数,将新的余数作为八进制数的次低位. 如此重复,直到商为0为止. 将所有的余数按照从高位到低位的顺序排列,就得到了八进制数.
答案
答题卡作答如下：
将十进制数转换为八进制数的步骤：
1. 将十进制数除以8，记录余数 $r_1$，并计算商 $Q_1$：$Q_1 = \lfloor \frac{N}{8} \rfloor, \quad r_1 = N \mod 8$。
2. 将商 $Q_1$ 继续除以8，记录余数 $r_2$，并计算新的商 $Q_2$：$Q_2 = \lfloor \frac{Q_1}{8} \rfloor, \quad r_2 = Q_1 \mod 8$。
3. 重复上述步骤，直到商为0，记录最后的余数 $r_n$。
4. 将所有余数从最后一次除法到第一次除法的顺序排列，得到八进制数：$(r_n r_{n-1} \ldots r_2 r_1)_8$。
例如，将十进制数 100 转换为八进制数：
$100 ÷ 8 = 12$ 余 $4$（最低位）。
$12 ÷ 8 = 1$ 余 $4$。
$1 ÷ 8 = 0$ 余 $1$（最高位）。
因此，十进制数 100 的八进制表示为 $144_8$。
将十进制数转换为八进制数的步骤：
1. 将十进制数除以8，记录余数 $r_1$，并计算商 $Q_1$：$Q_1 = \lfloor \frac{N}{8} \rfloor, \quad r_1 = N \mod 8$。
2. 将商 $Q_1$ 继续除以8，记录余数 $r_2$，并计算新的商 $Q_2$：$Q_2 = \lfloor \frac{Q_1}{8} \rfloor, \quad r_2 = Q_1 \mod 8$。
3. 重复上述步骤，直到商为0，记录最后的余数 $r_n$。
4. 将所有余数从最后一次除法到第一次除法的顺序排列，得到八进制数：$(r_n r_{n-1} \ldots r_2 r_1)_8$。
例如，将十进制数 100 转换为八进制数：
$100 ÷ 8 = 12$ 余 $4$（最低位）。
$12 ÷ 8 = 1$ 余 $4$。
$1 ÷ 8 = 0$ 余 $1$（最高位）。
因此，十进制数 100 的八进制表示为 $144_8$。
解析
【分析】
要掌握十进制转八进制的方法，首先明确八进制的计数基数为8，每一位对应数字为0~7。解题核心思路为“除8取余，逆序排列”：我们需要依次得到八进制每一位的数字，每次用当前数值除以8，得到的余数就是当前最低位的八进制数字，得到的商用来计算更高位的数字，直到商为0时停止运算；由于最先得到的余数是八进制的最低位，最后得到的余数是最高位，因此最终要将所有余数倒序排列，即可得到对应的八进制数，思考时可结合具体数值演练验证逻辑。
【解析】
十进制转八进制的具体操作步骤如下：
1. 把待转换的十进制数N除以8，记录得到的第一个余数$r_1$（为八进制数的最低位），同时计算商$Q_1$，$Q_1$是N除以8的整数部分，$r_1$是N除以8的剩余余数；
2. 把上一步得到的商$Q_1$再次除以8，记录得到的第二个余数$r_2$（为八进制数的次低位），同时计算新的商$Q_2$；
3. 重复上述除以8、记录余数、计算新商的操作，直到某一步得到的商为0，此时记录最后一个余数$r_n$（为八进制数的最高位）；
4. 将所有得到的余数按照最后得到到最先得到的顺序排列，即最高位$r_n$放在最前，最低位$r_1$放在最后，组合得到的就是对应的八进制数。
我们可以用实例验证：转换十进制数100为八进制数
① $100 ÷ 8 = 12$ 余 $4$（最低位$r_1=4$）
② $12 ÷ 8 = 1$ 余 $4$（次低位$r_2=4$）
③ $1 ÷ 8 = 0$ 余 $1$（最高位$r_3=1$）
将余数倒序排列得到1、4、4，即十进制100对应的八进制数为$144_8$。
【答案】
将十进制数转换为八进制数的步骤：
1. 将十进制数除以8，记录余数 $r_1$，并计算商 $Q_1$：$Q_1 = \lfloor \frac{N}{8} \rfloor, \quad r_1 = N \mod 8$。
2. 将商 $Q_1$ 继续除以8，记录余数 $r_2$，并计算新的商 $Q_2$：$Q_2 = \lfloor \frac{Q_1}{8} \rfloor, \quad r_2 = Q_1 \mod 8$。
3. 重复上述步骤，直到商为0，记录最后的余数 $r_n$。
4. 将所有余数从最后一次除法到第一次除法的顺序排列，得到八进制数：$(r_n r_{n-1} \ldots r_2 r_1)_8$。
例如，将十进制数 100 转换为八进制数：
$100 ÷ 8 = 12$ 余 $4$（最低位）。
$12 ÷ 8 = 1$ 余 $4$。
$1 ÷ 8 = 0$ 余 $1$（最高位）。
因此，十进制数 100 的八进制表示为 $144_8$。
【知识点】
十进制转八进制、除基取余法、进位制转换
【点评】
该方法是十进制转换为其他进制的基础方法，核心是理解余数的含义和排列顺序，掌握该方法后可延伸推广到十进制转二进制、十六进制等其他进位制的转换场景，结合实例练习即可快速掌握。
【难度系数】
0.7
要掌握十进制转八进制的方法，首先明确八进制的计数基数为8，每一位对应数字为0~7。解题核心思路为“除8取余，逆序排列”：我们需要依次得到八进制每一位的数字，每次用当前数值除以8，得到的余数就是当前最低位的八进制数字，得到的商用来计算更高位的数字，直到商为0时停止运算；由于最先得到的余数是八进制的最低位，最后得到的余数是最高位，因此最终要将所有余数倒序排列，即可得到对应的八进制数，思考时可结合具体数值演练验证逻辑。
【解析】
十进制转八进制的具体操作步骤如下：
1. 把待转换的十进制数N除以8，记录得到的第一个余数$r_1$（为八进制数的最低位），同时计算商$Q_1$，$Q_1$是N除以8的整数部分，$r_1$是N除以8的剩余余数；
2. 把上一步得到的商$Q_1$再次除以8，记录得到的第二个余数$r_2$（为八进制数的次低位），同时计算新的商$Q_2$；
3. 重复上述除以8、记录余数、计算新商的操作，直到某一步得到的商为0，此时记录最后一个余数$r_n$（为八进制数的最高位）；
4. 将所有得到的余数按照最后得到到最先得到的顺序排列，即最高位$r_n$放在最前，最低位$r_1$放在最后，组合得到的就是对应的八进制数。
我们可以用实例验证：转换十进制数100为八进制数
① $100 ÷ 8 = 12$ 余 $4$（最低位$r_1=4$）
② $12 ÷ 8 = 1$ 余 $4$（次低位$r_2=4$）
③ $1 ÷ 8 = 0$ 余 $1$（最高位$r_3=1$）
将余数倒序排列得到1、4、4，即十进制100对应的八进制数为$144_8$。
【答案】
将十进制数转换为八进制数的步骤：
1. 将十进制数除以8，记录余数 $r_1$，并计算商 $Q_1$：$Q_1 = \lfloor \frac{N}{8} \rfloor, \quad r_1 = N \mod 8$。
2. 将商 $Q_1$ 继续除以8，记录余数 $r_2$，并计算新的商 $Q_2$：$Q_2 = \lfloor \frac{Q_1}{8} \rfloor, \quad r_2 = Q_1 \mod 8$。
3. 重复上述步骤，直到商为0，记录最后的余数 $r_n$。
4. 将所有余数从最后一次除法到第一次除法的顺序排列，得到八进制数：$(r_n r_{n-1} \ldots r_2 r_1)_8$。
例如，将十进制数 100 转换为八进制数：
$100 ÷ 8 = 12$ 余 $4$（最低位）。
$12 ÷ 8 = 1$ 余 $4$。
$1 ÷ 8 = 0$ 余 $1$（最高位）。
因此，十进制数 100 的八进制表示为 $144_8$。
【知识点】
十进制转八进制、除基取余法、进位制转换
【点评】
该方法是十进制转换为其他进制的基础方法，核心是理解余数的含义和排列顺序，掌握该方法后可延伸推广到十进制转二进制、十六进制等其他进位制的转换场景，结合实例练习即可快速掌握。
【难度系数】
0.7
1. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统. 约定逢十进一就是十进制,逢二进一就是二进制. 在二进制中,只有0,1两个数字,部分十进制数和二进制数转化如下表：
|十进制|0|1|2|3|4|5|6|
|二进制|0|1|10|11|100|x|110|
则表中x的值为( )
A.110
B.100
C.101
D.1110
|十进制|0|1|2|3|4|5|6|
|二进制|0|1|10|11|100|x|110|
则表中x的值为( )
A.110
B.100
C.101
D.1110
答案
C
解析
【分析】
解题思路：首先明确本题要求是求十进制数5对应的二进制数，可从两个方向思考：①根据二进制“逢二进一”的规则，结合表格中已有的十进制4对应二进制100的关系，给二进制数100加1即可得到对应十进制5的二进制数；②用十进制转二进制的通用方法“除2取余法”计算结果，最后匹配选项即可。
【解析】
方法1：根据二进制逢二进一的规则，十进制数每增加1，对应的二进制数加1。
已知十进制4对应的二进制是100，十进制5比4大1，给二进制100加1：末位0+1=1，无进位，可得结果为101，即x=101。
方法2：用除2取余法将十进制5转换为二进制：
第一步：5÷2，商为2，余数为1；
第二步：2÷2，商为1，余数为0；
第三步：1÷2，商为0，余数为1；
将所得余数从后往前（倒序）排列，得到101，即x=101。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二进制认识，进制转换，逢二进一规则
【点评】
本题是进位制的基础应用题，主要考查对二进制基本规则的理解和十进制转二进制基础方法的掌握，熟悉进位制的运算规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确本题要求是求十进制数5对应的二进制数，可从两个方向思考：①根据二进制“逢二进一”的规则，结合表格中已有的十进制4对应二进制100的关系，给二进制数100加1即可得到对应十进制5的二进制数；②用十进制转二进制的通用方法“除2取余法”计算结果，最后匹配选项即可。
【解析】
方法1：根据二进制逢二进一的规则，十进制数每增加1，对应的二进制数加1。
已知十进制4对应的二进制是100，十进制5比4大1，给二进制100加1：末位0+1=1，无进位，可得结果为101，即x=101。
方法2：用除2取余法将十进制5转换为二进制：
第一步：5÷2，商为2，余数为1；
第二步：2÷2，商为1，余数为0；
第三步：1÷2，商为0，余数为1；
将所得余数从后往前（倒序）排列，得到101，即x=101。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二进制认识，进制转换，逢二进一规则
【点评】
本题是进位制的基础应用题，主要考查对二进制基本规则的理解和十进制转二进制基础方法的掌握，熟悉进位制的运算规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 填空,把下列各数转换为八进制数.
8：______；91：______.
8：______；91：______.
答案
10；133
解析
【分析】
要将十进制整数转换为八进制数，我们使用“除8取余法”：把待转换的十进制数反复除以8，每次记录得到的余数，直到商为0时停止运算，最后将所有余数按从后到前的顺序（最后得到的余数为最高位，最先得到的余数为最低位）排列，就是对应的八进制数。我们分别对8和91按这个方法计算即可。
【解析】
1. 转换十进制数8为八进制：
① $8÷8=1$，余数为0；
② $1÷8=0$，余数为1；
商为0停止计算，将余数逆序排列得10，即8对应的八进制数是10。
2. 转换十进制数91为八进制：
① $91÷8=11$，余数为 $91-8×11=3$；
② $11÷8=1$，余数为 $11-8×1=3$；
③ $1÷8=0$，余数为1；
商为0停止计算，将余数逆序排列得133，即91对应的八进制数是133。
【答案】
10；133
【知识点】
进位制转换；十进制转八进制；除8取余法
【点评】
本题是进位制换算的基础题型，核心考察十进制转八进制的运算规则，熟练掌握“除8取余、逆序排列”的运算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要将十进制整数转换为八进制数，我们使用“除8取余法”：把待转换的十进制数反复除以8，每次记录得到的余数，直到商为0时停止运算，最后将所有余数按从后到前的顺序（最后得到的余数为最高位，最先得到的余数为最低位）排列，就是对应的八进制数。我们分别对8和91按这个方法计算即可。
【解析】
1. 转换十进制数8为八进制：
① $8÷8=1$，余数为0；
② $1÷8=0$，余数为1；
商为0停止计算，将余数逆序排列得10，即8对应的八进制数是10。
2. 转换十进制数91为八进制：
① $91÷8=11$，余数为 $91-8×11=3$；
② $11÷8=1$，余数为 $11-8×1=3$；
③ $1÷8=0$，余数为1；
商为0停止计算，将余数逆序排列得133，即91对应的八进制数是133。
【答案】
10；133
【知识点】
进位制转换；十进制转八进制；除8取余法
【点评】
本题是进位制换算的基础题型，核心考察十进制转八进制的运算规则，熟练掌握“除8取余、逆序排列”的运算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. (1)请你把二进制数10101转换为十进制数的过程补充完整：
$(10101)_2$
$=(\underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad)} _{10}$
$=(\underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad)} _{10}$；
(2)现在,请你尝试把六进制数421转化为十进制数,并写出转换过程.
$(10101)_2$
$=(\underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad)} _{10}$
$=(\underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad)} _{10}$；
(2)现在,请你尝试把六进制数421转化为十进制数,并写出转换过程.
答案
解:
(1)$(10101)_2$$=(1× 2^{4}+0× 2^{3}+1× 2^{2}+0× 2^{1}+1× 2^{0}) _{10}$$=(21) _{10}$；
(2)$(421)_6=(4× 6^{2}+2× 6^{1}+1× 6^{0})_{10}=4× 36+2× 6+1× 1=144+12+1=157$
(1)$(10101)_2$$=(1× 2^{4}+0× 2^{3}+1× 2^{2}+0× 2^{1}+1× 2^{0}) _{10}$$=(21) _{10}$；
(2)$(421)_6=(4× 6^{2}+2× 6^{1}+1× 6^{0})_{10}=4× 36+2× 6+1× 1=144+12+1=157$
解析
【分析】
解决不同进制转十进制的问题，核心方法是按权展开求和，规则为：n进制数转十进制时，从右往左给每个数位标注位次，位次从0开始计数，将每个数位上的数字乘n的对应位次次幂，再把所有结果相加，得到的就是对应的十进制数。
第(1)题是二进制转十进制，先确定二进制数10101的各个数位对应位次，再按规则展开后计算结果即可；第(2)题六进制转十进制同理，将基数换成6，按相同规则展开计算即可。
【解析】
(1) 按照二进制转十进制的按权展开规则：
$\begin{aligned}(10101)_2&=(1× 2^{4}+0× 2^{3}+1× 2^{2}+0× 2^{1}+1× 2^{0}) _{10}\\&=(1×16+0×8+1×4+0×2+1×1)_{10}\\&=(21) _{10}\end{aligned}$
(2) 按照六进制转十进制的按权展开规则：
$\begin{aligned}(421)_6&=(4× 6^{2}+2× 6^{1}+1× 6^{0})_{10}\\&=4×36+2×6+1×1\\&=144+12+1\\&=157\end{aligned}$
【答案】
(1) $1× 2^{4}+0× 2^{3}+1× 2^{2}+0× 2^{1}+1× 2^{0}$；$21$
(2) 转换过程见解析，结果为$\boxed{157}$
【知识点】
进制转换、按权展开求和、有理数乘方运算
【点评】
本题考查不同进位制转换为十进制的方法，解题关键是熟练掌握按权展开求和的规则，注意数位对应的幂次从右往左由0开始计数，计算时要准确计算乘方的值再求和，属于基础题型，掌握规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解决不同进制转十进制的问题，核心方法是按权展开求和，规则为：n进制数转十进制时，从右往左给每个数位标注位次，位次从0开始计数，将每个数位上的数字乘n的对应位次次幂，再把所有结果相加，得到的就是对应的十进制数。
第(1)题是二进制转十进制，先确定二进制数10101的各个数位对应位次，再按规则展开后计算结果即可；第(2)题六进制转十进制同理，将基数换成6，按相同规则展开计算即可。
【解析】
(1) 按照二进制转十进制的按权展开规则：
$\begin{aligned}(10101)_2&=(1× 2^{4}+0× 2^{3}+1× 2^{2}+0× 2^{1}+1× 2^{0}) _{10}\\&=(1×16+0×8+1×4+0×2+1×1)_{10}\\&=(21) _{10}\end{aligned}$
(2) 按照六进制转十进制的按权展开规则：
$\begin{aligned}(421)_6&=(4× 6^{2}+2× 6^{1}+1× 6^{0})_{10}\\&=4×36+2×6+1×1\\&=144+12+1\\&=157\end{aligned}$
【答案】
(1) $1× 2^{4}+0× 2^{3}+1× 2^{2}+0× 2^{1}+1× 2^{0}$；$21$
(2) 转换过程见解析，结果为$\boxed{157}$
【知识点】
进制转换、按权展开求和、有理数乘方运算
【点评】
本题考查不同进位制转换为十进制的方法，解题关键是熟练掌握按权展开求和的规则，注意数位对应的幂次从右往左由0开始计数，计算时要准确计算乘方的值再求和，属于基础题型，掌握规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
【例4】计算下列各题：
(1)$(10110)_2+(1101)_2$；
(2)$(1110)_2+(101011)_2$.
(1)$(10110)_2+(1101)_2$；
(2)$(1110)_2+(101011)_2$.
答案
1. （1）
解：二进制加法规则是“满二进一”。
$(10110)_2+(1101)_2$
从右往左逐位相加：
第$1$位：$0 + 1=1$；
第$2$位：$1+0 = 1$；
第$3$位：$1 + 1=10$，本位写$0$，向高位进$1$；
第$4$位：$0+1 + 1=10$，本位写$0$，向高位进$1$；
第$5$位：$1+0+1 = 10$。
所以$(10110)_2+(1101)_2=(100011)_2$。
2. （2）
解：
$(1110)_2+(101011)_2$
从右往左逐位相加：
第$1$位：$0 + 1=1$；
第$2$位：$1+1 = 10$，本位写$0$，向高位进$1$；
第$3$位：$1+0 + 1=10$，本位写$0$，向高位进$1$；
第$4$位：$1+1+1 = 11$，本位写$1$，向高位进$1$；
第$5$位：$0+0 + 1=1$；
第$6$位：$1+0=1$。
所以$(1110)_2+(101011)_2=(111001)_2$。
综上，（1）的结果是$(100011)_2$；（2）的结果是$(111001)_2$。
解：二进制加法规则是“满二进一”。
$(10110)_2+(1101)_2$
从右往左逐位相加：
第$1$位：$0 + 1=1$；
第$2$位：$1+0 = 1$；
第$3$位：$1 + 1=10$，本位写$0$，向高位进$1$；
第$4$位：$0+1 + 1=10$，本位写$0$，向高位进$1$；
第$5$位：$1+0+1 = 10$。
所以$(10110)_2+(1101)_2=(100011)_2$。
2. （2）
解：
$(1110)_2+(101011)_2$
从右往左逐位相加：
第$1$位：$0 + 1=1$；
第$2$位：$1+1 = 10$，本位写$0$，向高位进$1$；
第$3$位：$1+0 + 1=10$，本位写$0$，向高位进$1$；
第$4$位：$1+1+1 = 11$，本位写$1$，向高位进$1$；
第$5$位：$0+0 + 1=1$；
第$6$位：$1+0=1$。
所以$(1110)_2+(101011)_2=(111001)_2$。
综上，（1）的结果是$(100011)_2$；（2）的结果是$(111001)_2$。
解析
【分析】
二进制加法的核心规则是“满二进一”，解题时首先将两个二进制数的右端（最低位）对齐，位数不同时可在位数少的数左侧补0保证数位一致，再从最低位开始逐位相加，每一位相加后若和≥2，就向相邻高位进1，本位保留和除以2的余数，直到所有数位相加完毕，若最高位相加后仍有进位，直接写在结果最左侧即可。
【解析】
(1) 计算$(10110)_2+(1101)_2$：
二进制加法遵循“满二进一”规则，对齐数位后从右往左逐位相加：
第1位（最低位）：$0+1=1$，本位写1，无进位；
第2位：$1+0=1$，本位写1，无进位；
第3位：$1+1=10$，本位写0，向高位进1；
第4位：$0+1+1=10$，本位写0，向高位进1；
第5位：$1+0+1=10$，本位写0，向最高位进1；
最高位进位直接写在最左侧，因此$(10110)_2+(1101)_2=(100011)_2$。
(2) 计算$(1110)_2+(101011)_2$：
对齐数位后从右往左逐位相加：
第1位：$0+1=1$，本位写1，无进位；
第2位：$1+1=10$，本位写0，向高位进1；
第3位：$1+0+1=10$，本位写0，向高位进1；
第4位：$1+1+1=11$，本位写1，向高位进1；
第5位：$0+0+1=1$，本位写1，无进位；
第6位：$1+0=1$，本位写1，无进位；
因此$(1110)_2+(101011)_2=(111001)_2$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(100011)_2}$；（2）$\boldsymbol{(111001)_2}$
【知识点】
1. 二进制计数法
2. 二进制加法运算
3. 满二进一规则
【点评】
本题考查进位制中二进制的加法运算，核心是熟练掌握“满二进一”的运算规则，计算时注意对齐数位、不要遗漏前一位的进位即可准确得出结果，是不同进位制运算的基础题型。
【难度系数】
0.7
二进制加法的核心规则是“满二进一”，解题时首先将两个二进制数的右端（最低位）对齐，位数不同时可在位数少的数左侧补0保证数位一致，再从最低位开始逐位相加，每一位相加后若和≥2，就向相邻高位进1，本位保留和除以2的余数，直到所有数位相加完毕，若最高位相加后仍有进位，直接写在结果最左侧即可。
【解析】
(1) 计算$(10110)_2+(1101)_2$：
二进制加法遵循“满二进一”规则，对齐数位后从右往左逐位相加：
第1位（最低位）：$0+1=1$，本位写1，无进位；
第2位：$1+0=1$，本位写1，无进位；
第3位：$1+1=10$，本位写0，向高位进1；
第4位：$0+1+1=10$，本位写0，向高位进1；
第5位：$1+0+1=10$，本位写0，向最高位进1；
最高位进位直接写在最左侧，因此$(10110)_2+(1101)_2=(100011)_2$。
(2) 计算$(1110)_2+(101011)_2$：
对齐数位后从右往左逐位相加：
第1位：$0+1=1$，本位写1，无进位；
第2位：$1+1=10$，本位写0，向高位进1；
第3位：$1+0+1=10$，本位写0，向高位进1；
第4位：$1+1+1=11$，本位写1，向高位进1；
第5位：$0+0+1=1$，本位写1，无进位；
第6位：$1+0=1$，本位写1，无进位；
因此$(1110)_2+(101011)_2=(111001)_2$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(100011)_2}$；（2）$\boldsymbol{(111001)_2}$
【知识点】
1. 二进制计数法
2. 二进制加法运算
3. 满二进一规则
【点评】
本题考查进位制中二进制的加法运算，核心是熟练掌握“满二进一”的运算规则，计算时注意对齐数位、不要遗漏前一位的进位即可准确得出结果，是不同进位制运算的基础题型。
【难度系数】
0.7
二进制加法运算的法则
(1)二进制数的加法运算法则：$0+0= 0$,$0+1= 1$,$1+0= 1$,$1+1= 10$(向高位进位1)；
(2)二进制加法竖式运算的法则和十进制加法一样,把右边第一位对齐,依次相应数位对齐,每个数位满二向上一位进一.
(1)二进制数的加法运算法则：$0+0= 0$,$0+1= 1$,$1+0= 1$,$1+1= 10$(向高位进位1)；
(2)二进制加法竖式运算的法则和十进制加法一样,把右边第一位对齐,依次相应数位对齐,每个数位满二向上一位进一.
答案
答题（作答）区域如下：
二进制加法运算的法则如下：
(1) 二进制数的加法运算法则：
$0 + 0 = 0$，
$0 + 1 = 1$，
$1 + 0 = 1$，
$1 + 1 = 10$（向高位进位1）。
(2) 二进制加法竖式运算时，需要将各数位对齐，从右向左逐位相加，每位相加结果按照(1)中的法则计算，若某一位的结果为$10$，则向高位进1，本位记0。
二进制加法运算的法则如下：
(1) 二进制数的加法运算法则：
$0 + 0 = 0$，
$0 + 1 = 1$，
$1 + 0 = 1$，
$1 + 1 = 10$（向高位进位1）。
(2) 二进制加法竖式运算时，需要将各数位对齐，从右向左逐位相加，每位相加结果按照(1)中的法则计算，若某一位的结果为$10$，则向高位进1，本位记0。
解析
【分析】
解题时可结合熟悉的十进制加法规则类比理解二进制加法。首先明确二进制仅含0、1两个数字，单个数位相加只有四种情况，核心规则是“满二进一”，因此1+1需向高位进1、本位记0；再理解竖式运算逻辑，和十进制竖式一致，先对齐数位，从最右侧最低位开始逐位相加，每一位运算都遵循单个数位的加法法则，有进位时需加到高位的计算中。
【解析】
我们分两个层面梳理二进制加法运算法则：
1. 一位二进制数的加法运算法则：
两个一位二进制数相加仅存在四种情况，分别为：
$0+0=0$，$0+1=1$，$1+0=1$，$1+1=10$，其中$1+1$符合“满二进一”的规则，即向相邻高位进1，本位记0。
2. 多位数二进制加法竖式运算法则：
和十进制加法竖式逻辑一致，首先将参与运算的数的最低位（最右侧）对齐，对应数位依次对齐；从最低位开始从右向左逐位相加，每一位的运算结果遵循一位二进制数的加法法则，若该位相加后产生进位，需将进位的1加到相邻高位的运算中。
【答案】
二进制加法运算的法则如下：
(1) 二进制数的加法运算法则：
$0 + 0 = 0$，
$0 + 1 = 1$，
$1 + 0 = 1$，
$1 + 1 = 10$（向高位进位1）。
(2) 二进制加法竖式运算时，需要将各数位对齐，从右向左逐位相加，每位相加结果按照(1)中的法则计算，若某一位的结果为$10$，则向高位进1，本位记0。
【知识点】
二进制的认识、二进制加法运算
【点评】
本题是进位制的基础概念题，核心是掌握二进制“满二进一”的运算规律，可通过类比十进制加法的逻辑降低理解难度，该知识点是后续学习不同进位制转换、运算的基础。
【难度系数】
0.9
解题时可结合熟悉的十进制加法规则类比理解二进制加法。首先明确二进制仅含0、1两个数字，单个数位相加只有四种情况，核心规则是“满二进一”，因此1+1需向高位进1、本位记0；再理解竖式运算逻辑，和十进制竖式一致，先对齐数位，从最右侧最低位开始逐位相加，每一位运算都遵循单个数位的加法法则，有进位时需加到高位的计算中。
【解析】
我们分两个层面梳理二进制加法运算法则：
1. 一位二进制数的加法运算法则：
两个一位二进制数相加仅存在四种情况，分别为：
$0+0=0$，$0+1=1$，$1+0=1$，$1+1=10$，其中$1+1$符合“满二进一”的规则，即向相邻高位进1，本位记0。
2. 多位数二进制加法竖式运算法则：
和十进制加法竖式逻辑一致，首先将参与运算的数的最低位（最右侧）对齐，对应数位依次对齐；从最低位开始从右向左逐位相加，每一位的运算结果遵循一位二进制数的加法法则，若该位相加后产生进位，需将进位的1加到相邻高位的运算中。
【答案】
二进制加法运算的法则如下：
(1) 二进制数的加法运算法则：
$0 + 0 = 0$，
$0 + 1 = 1$，
$1 + 0 = 1$，
$1 + 1 = 10$（向高位进位1）。
(2) 二进制加法竖式运算时，需要将各数位对齐，从右向左逐位相加，每位相加结果按照(1)中的法则计算，若某一位的结果为$10$，则向高位进1，本位记0。
【知识点】
二进制的认识、二进制加法运算
【点评】
本题是进位制的基础概念题，核心是掌握二进制“满二进一”的运算规律，可通过类比十进制加法的逻辑降低理解难度，该知识点是后续学习不同进位制转换、运算的基础。
【难度系数】
0.9
4. (1)计算：$31+26$；
(2)把31,26分别转换为二进制数,利用二进制的加法运算法则计算它们的和,再把和转换为十进制数；
(3)比较(1)(2)的计算结果是否相同.
(2)把31,26分别转换为二进制数,利用二进制的加法运算法则计算它们的和,再把和转换为十进制数；
(3)比较(1)(2)的计算结果是否相同.
答案
解:
(1)$31+26=57$；
(2)31转换为二进制数为11111，26转换为二进制数为11010，$11111+11010=111001$，二进制数111001转换为十进制数为57；
(3)结果相同.
(1)$31+26=57$；
(2)31转换为二进制数为11111，26转换为二进制数为11010，$11111+11010=111001$，二进制数111001转换为十进制数为57；
(3)结果相同.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：1. 第一问是常规十进制加法，直接按整数加法法则计算即可；2. 第二问先掌握十进制转二进制的方法：将十进制数反复除以2，直到商为0，再将所有余数倒序排列得到对应的二进制数；再按照二进制加法“逢二进一”的规则计算两个二进制数的和；最后将得到的二进制和转换回十进制，转换方法是将二进制每一位的数字乘2的对应位次幂（从右往左，位次从0开始计数），再相加得到十进制数；3. 第三问直接将前两问的最终结果对比即可。
【解析】
(1) 按照十进制整数加法法则计算：
$31+26=57$
(2) ① 十进制转二进制：
对31除2取余：$31÷2=15$余$1$，$15÷2=7$余$1$，$7÷2=3$余$1$，$3÷2=1$余$1$，$1÷2=0$余$1$，将余数倒序排列得31的二进制为$11111$；
对26除2取余：$26÷2=13$余$0$，$13÷2=6$余$1$，$6÷2=3$余$0$，$3÷2=1$余$1$，$1÷2=0$余$1$，将余数倒序排列得26的二进制为$11010$；
② 二进制加法计算（逢二进一），对齐数位相加得：
$11111+11010=111001$
③ 二进制转十进制：
$111001=1×2^5 +1×2^4 +1×2^3 +0×2^2 +0×2^1 +1×2^0=32+16+8+0+0+1=57$
(3) 对比(1)的结果57和(2)转换后得到的结果57，二者数值相等。
【答案】
(1)$57$；(2)31转换为二进制是$11111$，26转换为二进制是$11010$，二进制相加的结果为$111001$，转换为十进制是$57$；(3)计算结果相同。
【知识点】
十进制与二进制互转；二进制加法运算；进位制运算
【点评】
本题通过十进制和二进制加法的对比计算，帮助理解不同进位制的运算逻辑，核心是掌握进制转换的规则和二进制加法的运算法则，属于进位制的基础探究题。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：1. 第一问是常规十进制加法，直接按整数加法法则计算即可；2. 第二问先掌握十进制转二进制的方法：将十进制数反复除以2，直到商为0，再将所有余数倒序排列得到对应的二进制数；再按照二进制加法“逢二进一”的规则计算两个二进制数的和；最后将得到的二进制和转换回十进制，转换方法是将二进制每一位的数字乘2的对应位次幂（从右往左，位次从0开始计数），再相加得到十进制数；3. 第三问直接将前两问的最终结果对比即可。
【解析】
(1) 按照十进制整数加法法则计算：
$31+26=57$
(2) ① 十进制转二进制：
对31除2取余：$31÷2=15$余$1$，$15÷2=7$余$1$，$7÷2=3$余$1$，$3÷2=1$余$1$，$1÷2=0$余$1$，将余数倒序排列得31的二进制为$11111$；
对26除2取余：$26÷2=13$余$0$，$13÷2=6$余$1$，$6÷2=3$余$0$，$3÷2=1$余$1$，$1÷2=0$余$1$，将余数倒序排列得26的二进制为$11010$；
② 二进制加法计算（逢二进一），对齐数位相加得：
$11111+11010=111001$
③ 二进制转十进制：
$111001=1×2^5 +1×2^4 +1×2^3 +0×2^2 +0×2^1 +1×2^0=32+16+8+0+0+1=57$
(3) 对比(1)的结果57和(2)转换后得到的结果57，二者数值相等。
【答案】
(1)$57$；(2)31转换为二进制是$11111$，26转换为二进制是$11010$，二进制相加的结果为$111001$，转换为十进制是$57$；(3)计算结果相同。
【知识点】
十进制与二进制互转；二进制加法运算；进位制运算
【点评】
本题通过十进制和二进制加法的对比计算，帮助理解不同进位制的运算逻辑，核心是掌握进制转换的规则和二进制加法的运算法则，属于进位制的基础探究题。
【难度系数】
0.8
