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5. 在$2x^{2}y$,$-2xy^{2}$,$-3x^{2}y$,$xy$四个代数式中,找出两个同类项,并合并这两个同类项得______。
答案
-x²y
解析
【分析】
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。第一步先对照定义逐一判断4个代数式，找到符合同类项特征的两个项；第二步再根据合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为新的系数，字母和字母的指数保持不变，对找到的同类项进行合并计算即可。
【解析】
1. 识别同类项：
观察四个代数式，$2x^{2}y$和$-3x^{2}y$所含字母均为x、y，且x的指数都是2，y的指数都是1，符合同类项的定义，二者是同类项。
2. 合并同类项：
根据合并同类项法则，系数相加，字母和指数不变：
$2x^{2}y + (-3x^{2}y) = (2-3)x^{2}y = -x^{2}y$
【答案】
$-x^{2}y$
【知识点】
同类项的定义；合并同类项
【点评】
本题属于基础题，主要考查同类项的识别和合并同类项的基本运算，熟练掌握相关概念和运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。第一步先对照定义逐一判断4个代数式，找到符合同类项特征的两个项；第二步再根据合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为新的系数，字母和字母的指数保持不变，对找到的同类项进行合并计算即可。
【解析】
1. 识别同类项：
观察四个代数式，$2x^{2}y$和$-3x^{2}y$所含字母均为x、y，且x的指数都是2，y的指数都是1，符合同类项的定义，二者是同类项。
2. 合并同类项：
根据合并同类项法则，系数相加，字母和指数不变：
$2x^{2}y + (-3x^{2}y) = (2-3)x^{2}y = -x^{2}y$
【答案】
$-x^{2}y$
【知识点】
同类项的定义；合并同类项
【点评】
本题属于基础题，主要考查同类项的识别和合并同类项的基本运算，熟练掌握相关概念和运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
6. (整体代入)若$2a - b + 3 = 0$,则$2(2a + b)-4b$的值为______。
答案
-6
解析
【分析】
解题时优先观察已知条件和所求代数式的特征，题目要求用整体代入法，因此无需单独求出a、b的具体值。第一步先从已知等式整理得出2a - b的值，第二步将所求代数式去括号、合并同类项，化简整理为含有“2a - b”的整体形式，最后将2a - b的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：由$2a - b + 3 = 0$，可得$2a - b = -3$。
化简所求代数式：
$\begin{split}2(2a + b)-4b&=4a + 2b - 4b\\&=4a - 2b\\&=2(2a - b)\end{split}$
将$2a - b = -3$代入$2(2a - b)$，得：
$2×(-3)=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
整式化简，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是整体代入思想的运用，解题时先化简所求代数式，将其转化为与已知条件相关的整体结构，可大幅简化计算过程，无需单独求解未知字母的值。
【难度系数】
0.7
解题时优先观察已知条件和所求代数式的特征，题目要求用整体代入法，因此无需单独求出a、b的具体值。第一步先从已知等式整理得出2a - b的值，第二步将所求代数式去括号、合并同类项，化简整理为含有“2a - b”的整体形式，最后将2a - b的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：由$2a - b + 3 = 0$，可得$2a - b = -3$。
化简所求代数式：
$\begin{split}2(2a + b)-4b&=4a + 2b - 4b\\&=4a - 2b\\&=2(2a - b)\end{split}$
将$2a - b = -3$代入$2(2a - b)$，得：
$2×(-3)=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
整式化简，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是整体代入思想的运用，解题时先化简所求代数式，将其转化为与已知条件相关的整体结构，可大幅简化计算过程，无需单独求解未知字母的值。
【难度系数】
0.7
7. 若多项式$6x^{4}+2x^{3}-mx^{3}-3x^{2}-nx^{2}+5中不含有x$的三次项和二次项,则$mn = $______。
答案
-6
解析
【分析】
解题核心思路是：多项式不含某一项，说明合并同类项后该项的系数为0。首先对给定的多项式合并同类项，分别找到x的三次项和二次项的系数，令两个系数都等于0，即可求出m、n的值，最后代入计算mn的结果即可。
【解析】
先对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&6x^{4}+2x^{3}-mx^{3}-3x^{2}-nx^{2}+5\\=&6x^{4}+(2-m)x^{3}+(-3-n)x^{2}+5\end{aligned}$
因为多项式中不含有x的三次项和二次项，所以这两项的系数均为0：
1. 三次项系数：$2 - m = 0$，解得$m=2$
2. 二次项系数：$-3 - n = 0$，解得$n=-3$
则$mn = 2×(-3) = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
合并同类项；多项式的项与系数；代数式求值
【点评】
本题是整式相关的基础题，解题的关键是理解“多项式不含某一项”的含义，即合并同类项后该项的系数为0，只要熟练掌握合并同类项的方法，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题核心思路是：多项式不含某一项，说明合并同类项后该项的系数为0。首先对给定的多项式合并同类项，分别找到x的三次项和二次项的系数，令两个系数都等于0，即可求出m、n的值，最后代入计算mn的结果即可。
【解析】
先对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&6x^{4}+2x^{3}-mx^{3}-3x^{2}-nx^{2}+5\\=&6x^{4}+(2-m)x^{3}+(-3-n)x^{2}+5\end{aligned}$
因为多项式中不含有x的三次项和二次项，所以这两项的系数均为0：
1. 三次项系数：$2 - m = 0$，解得$m=2$
2. 二次项系数：$-3 - n = 0$，解得$n=-3$
则$mn = 2×(-3) = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
合并同类项；多项式的项与系数；代数式求值
【点评】
本题是整式相关的基础题，解题的关键是理解“多项式不含某一项”的含义，即合并同类项后该项的系数为0，只要熟练掌握合并同类项的方法，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
8. (10 分)化简：
(1)$-\frac{1}{3}ab - 4a^{2}+3a^{2}-(-\frac{2}{3}ab)$；
(2)$x^{2}+[5x - 2(x - 3)-x^{2}]$。
(1)$-\frac{1}{3}ab - 4a^{2}+3a^{2}-(-\frac{2}{3}ab)$；
(2)$x^{2}+[5x - 2(x - 3)-x^{2}]$。
答案
(1)-1/3ab-4a²+3a²-(-2/3ab)=-1/3ab-4a²+3a²+2/3ab=1/3ab-a².
(2)x²+[5x-2(x-3)-x²]=x²+(5x-2x+6-x²)=x²+5x-2x+6-x²=3x+6.
解析
【分析】
整式化简的核心是先去括号，再合并同类项。解题时按以下思路：
(1) 先处理括号：根据“负负得正”去掉原式中的括号，再识别出含ab的项、含a²的项两组同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变即可完成化简。
(2) 有多层括号时先去小括号，再去中括号：先计算小括号内的-2(x-3)，注意括号前是负系数，去括号后括号内每一项都要变号，再整理中括号内的项，去掉中括号后识别x²项、x项、常数项三类同类项，分别合并即可。
【解析】
(1) 第一步去括号：
$-\frac{1}{3}ab - 4a^{2}+3a^{2}-(-\frac{2}{3}ab)=-\frac{1}{3}ab - 4a^{2}+3a^{2}+\frac{2}{3}ab$
第二步合并同类项：
$(-\frac{1}{3}ab+\frac{2}{3}ab)+(-4a²+3a²)=\frac{1}{3}ab - a²$
(2) 第一步先去小括号：
$x^{2}+[5x - 2(x - 3)-x^{2}]=x²+[5x - 2x + 6 - x²]$
第二步去中括号：
$=x² + 5x - 2x + 6 - x²$
第三步合并同类项：
$=(x² - x²)+(5x - 2x)+6=3x + 6$
【答案】
(1)$\frac{1}{3}ab - a^{2}$；
(2)$3x + 6$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式加减运算
【点评】
本题属于整式加减的基础常规题，易错点是去括号时符号处理错误，尤其是括号前为负号或负系数时，要注意括号内所有项都要改变符号，合并同类项时注意准确识别同类项，避免漏项，细心计算即可正确求解。
【难度系数】
0.8
整式化简的核心是先去括号，再合并同类项。解题时按以下思路：
(1) 先处理括号：根据“负负得正”去掉原式中的括号，再识别出含ab的项、含a²的项两组同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变即可完成化简。
(2) 有多层括号时先去小括号，再去中括号：先计算小括号内的-2(x-3)，注意括号前是负系数，去括号后括号内每一项都要变号，再整理中括号内的项，去掉中括号后识别x²项、x项、常数项三类同类项，分别合并即可。
【解析】
(1) 第一步去括号：
$-\frac{1}{3}ab - 4a^{2}+3a^{2}-(-\frac{2}{3}ab)=-\frac{1}{3}ab - 4a^{2}+3a^{2}+\frac{2}{3}ab$
第二步合并同类项：
$(-\frac{1}{3}ab+\frac{2}{3}ab)+(-4a²+3a²)=\frac{1}{3}ab - a²$
(2) 第一步先去小括号：
$x^{2}+[5x - 2(x - 3)-x^{2}]=x²+[5x - 2x + 6 - x²]$
第二步去中括号：
$=x² + 5x - 2x + 6 - x²$
第三步合并同类项：
$=(x² - x²)+(5x - 2x)+6=3x + 6$
【答案】
(1)$\frac{1}{3}ab - a^{2}$；
(2)$3x + 6$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式加减运算
【点评】
本题属于整式加减的基础常规题，易错点是去括号时符号处理错误，尤其是括号前为负号或负系数时，要注意括号内所有项都要改变符号，合并同类项时注意准确识别同类项，避免漏项，细心计算即可正确求解。
【难度系数】
0.8
9. (10 分)对于有理数$a$,$b$定义一种新运算“$\triangle$”,规定$a\triangle b = - 2b + 3a$。
(1)计算：$(-3)\triangle2 = $______；
(2)若$(-3)\triangle(x - 1)= (x - 1)\triangle(-3)$,求$x$的值；
(3)试比较$(-3)\triangle x^{2}与x^{2}\triangle(-3)$的大小。
(1)计算：$(-3)\triangle2 = $______；
(2)若$(-3)\triangle(x - 1)= (x - 1)\triangle(-3)$,求$x$的值；
(3)试比较$(-3)\triangle x^{2}与x^{2}\triangle(-3)$的大小。
答案
(1)-13
(2)解:因为a△b=-2b+3a，所以由(-3)△(x-1)=(x-1)△(-3),得-2(x-1)+3×(-3)=-2×(-3)+3(x-1)，-2x+2-9=6+3x-3，-2x-7=3x+3，-2x-3x=3+7，-5x=10，解得x=-2.
(3)解:因为a△b=-2b+3a，所以(-3)△x²=-2x²+3×(-3)=-2x²-9，x²△(-3)=-2×(-3)+3x²=6+3x².所以x²△(-3)-(-3)△x²=6+3x²-(-2x²-9)=6+3x²+2x²+9=5x²+15＞0，所以x²△(-3)＞(-3)△x².即(-3)△x²＜x²△(-3).
解析
【分析】
本题围绕新定义运算展开，解题核心是准确理解“$a△b=-2b+3a$”的运算规则，再对应不同问题求解：
(1) 计算类问题直接代入即可：将$a=-3$、$b=2$代入新运算公式，按有理数运算规则计算即可得到结果；
(2) 解方程类问题先转化后求解：先将等式左右两边的新运算分别按规则展开为普通代数式，得到一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解$x$；
(3) 比较大小类问题用作差法：先分别将两个新运算表达式展开为含$x^2$的代数式，再计算两个代数式的差，根据$x^2≥0$的性质判断差的正负，即可得出大小关系。
【解析】
(1) 根据新运算规则$a△b=-2b+3a$，代入$a=-3$，$b=2$：
$(-3)△2 = -2×2 + 3×(-3) = -4 -9 = -13$
(2) 分别将等式两边的新运算展开：
左边：$(-3)△(x-1) = -2(x-1) + 3×(-3)$
右边：$(x-1)△(-3) = -2×(-3) + 3(x-1)$
根据等式列方程：
$-2(x-1) + 3×(-3) = -2×(-3) + 3(x-1)$
去括号得：$-2x + 2 -9 = 6 + 3x -3$
化简得：$-2x -7 = 3x + 3$
移项得：$-2x -3x = 3 +7$
合并同类项得：$-5x =10$
系数化为1得：$x=-2$
(3) 分别展开两个新运算表达式：
$(-3)△x^2 = -2x^2 + 3×(-3) = -2x^2 -9$
$x^2△(-3) = -2×(-3) + 3x^2 = 6 + 3x^2$
用作差法比较大小：
$x^2△(-3) - (-3)△x^2 = (6+3x^2) - (-2x^2 -9) = 6+3x^2+2x^2+9 = 5x^2 +15$
∵ $x^2≥0$，
∴ $5x^2+15 ≥15 ＞0$
即$x^2△(-3) - (-3)△x^2 ＞0$，故$(-3)△x^2 ＜ x^2△(-3)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-13}$；(2) $\boldsymbol{x=-2}$；(3) $\boldsymbol{(-3)△x^{2} ＜ x^{2}△(-3)}$
【知识点】
新定义运算、解一元一次方程、作差法比较大小
【点评】
本题重点考查对新定义运算规则的理解与应用，结合了一元一次方程求解、代数式化简、非负数性质等内容，解题时需注意代入运算时的符号问题，熟练掌握基础运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题围绕新定义运算展开，解题核心是准确理解“$a△b=-2b+3a$”的运算规则，再对应不同问题求解：
(1) 计算类问题直接代入即可：将$a=-3$、$b=2$代入新运算公式，按有理数运算规则计算即可得到结果；
(2) 解方程类问题先转化后求解：先将等式左右两边的新运算分别按规则展开为普通代数式，得到一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解$x$；
(3) 比较大小类问题用作差法：先分别将两个新运算表达式展开为含$x^2$的代数式，再计算两个代数式的差，根据$x^2≥0$的性质判断差的正负，即可得出大小关系。
【解析】
(1) 根据新运算规则$a△b=-2b+3a$，代入$a=-3$，$b=2$：
$(-3)△2 = -2×2 + 3×(-3) = -4 -9 = -13$
(2) 分别将等式两边的新运算展开：
左边：$(-3)△(x-1) = -2(x-1) + 3×(-3)$
右边：$(x-1)△(-3) = -2×(-3) + 3(x-1)$
根据等式列方程：
$-2(x-1) + 3×(-3) = -2×(-3) + 3(x-1)$
去括号得：$-2x + 2 -9 = 6 + 3x -3$
化简得：$-2x -7 = 3x + 3$
移项得：$-2x -3x = 3 +7$
合并同类项得：$-5x =10$
系数化为1得：$x=-2$
(3) 分别展开两个新运算表达式：
$(-3)△x^2 = -2x^2 + 3×(-3) = -2x^2 -9$
$x^2△(-3) = -2×(-3) + 3x^2 = 6 + 3x^2$
用作差法比较大小：
$x^2△(-3) - (-3)△x^2 = (6+3x^2) - (-2x^2 -9) = 6+3x^2+2x^2+9 = 5x^2 +15$
∵ $x^2≥0$，
∴ $5x^2+15 ≥15 ＞0$
即$x^2△(-3) - (-3)△x^2 ＞0$，故$(-3)△x^2 ＜ x^2△(-3)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-13}$；(2) $\boldsymbol{x=-2}$；(3) $\boldsymbol{(-3)△x^{2} ＜ x^{2}△(-3)}$
【知识点】
新定义运算、解一元一次方程、作差法比较大小
【点评】
本题重点考查对新定义运算规则的理解与应用，结合了一元一次方程求解、代数式化简、非负数性质等内容，解题时需注意代入运算时的符号问题，熟练掌握基础运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10. (12 分)已知代数式$A = 2x^{2}+3xy + 2y$,$B = x^{2}-xy + x$。
(1)求$A - 2B$；
(2)若$A - 2B的值与x$的取值无关,求$y$的值。
(1)求$A - 2B$；
(2)若$A - 2B的值与x$的取值无关,求$y$的值。
答案
(1)A-2B=2x²+3xy+2y-2(x²-xy+x)=2x²+3xy+2y-2x²+2xy-2x=5xy+2y-2x.
(2)5xy+2y-2x=(5y-2)x+2y，若A-2B的值与x的取值无关，则5y-2=0,解得y=2/5.
解析
【分析】
(1)求解A-2B时，首先把A、B对应的代数式整体代入待求式，再按照去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时括号内每一项都要变号，同时系数2要乘到B的每一项，最后合并同类项即可得到化简结果。
(2)若代数式的值与x的取值无关，说明代数式中所有含x的项的系数总和为0。先将第一问得到的化简结果整理为“含x的项+不含x的项”的形式，令x的系数等于0，解关于y的一元一次方程就能得到y的值。
【解析】
(1)将$A = 2x^{2}+3xy + 2y$，$B = x^{2}-xy + x$代入$A-2B$：
$\begin{aligned}A-2B&=2x^{2}+3xy+2y-2(x^{2}-xy+x)\\&=2x^{2}+3xy+2y-2x^{2}+2xy-2x\\&=5xy+2y-2x\end{aligned}$
(2)把$5xy+2y-2x$中含x的项合并，可得：
$A-2B=(5y-2)x+2y$
因为$A-2B$的值与x的取值无关，所以x的系数为0，即：
$5y-2=0$
解得$y=\frac{2}{5}$
【答案】
(1)$5xy+2y-2x$；(2)$y=\frac{2}{5}$
【知识点】
整式的加减；代数式无关条件；一元一次方程求解
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查去括号、合并同类项的运算规则，以及代数式与某变量无关的核心结论，熟练掌握整式化简方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1)求解A-2B时，首先把A、B对应的代数式整体代入待求式，再按照去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时括号内每一项都要变号，同时系数2要乘到B的每一项，最后合并同类项即可得到化简结果。
(2)若代数式的值与x的取值无关，说明代数式中所有含x的项的系数总和为0。先将第一问得到的化简结果整理为“含x的项+不含x的项”的形式，令x的系数等于0，解关于y的一元一次方程就能得到y的值。
【解析】
(1)将$A = 2x^{2}+3xy + 2y$，$B = x^{2}-xy + x$代入$A-2B$：
$\begin{aligned}A-2B&=2x^{2}+3xy+2y-2(x^{2}-xy+x)\\&=2x^{2}+3xy+2y-2x^{2}+2xy-2x\\&=5xy+2y-2x\end{aligned}$
(2)把$5xy+2y-2x$中含x的项合并，可得：
$A-2B=(5y-2)x+2y$
因为$A-2B$的值与x的取值无关，所以x的系数为0，即：
$5y-2=0$
解得$y=\frac{2}{5}$
【答案】
(1)$5xy+2y-2x$；(2)$y=\frac{2}{5}$
【知识点】
整式的加减；代数式无关条件；一元一次方程求解
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查去括号、合并同类项的运算规则，以及代数式与某变量无关的核心结论，熟练掌握整式化简方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
