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11. (20 分)(2025·芜湖)一扇窗户[如图(1)所示]的所有窗框(包含内部框架和外部框架)为铝合金材料,其下部是边长相同的四个小正方形,上部是半圆形,已知下部小正方形的边长是$a m$,窗户(包括上部和下部)全部安装透明玻璃,现在按照如图(2)所示的方式,在阴影部分的位置上全部安装窗帘,图(2)中窗帘下部分是两个直径为$a m$的半圆形,没有窗帘的部分阳光可以照射进来。(注：$\pi$取近似值 3)
[num = 第 11 题图]
(1)一扇这样的窗户一共需要铝合金材料______$m$(用含$a$的代数式表示)；
(2)求可以照进阳光的部分的面积(用含$a$的代数式表示)；
(3)某公司需要制作 20 扇这样的窗户,并按照图(2)的方式安装窗帘,厂家报价如表,当$a = 1$时,该公司的总花费为多少元？
|材料名称|铝合金|窗帘|透明玻璃|
|报价|100 元/m|40 元/$m^{2}$|90 元/$m^{2}$|
[num = 第 11 题图]
(1)一扇这样的窗户一共需要铝合金材料______$m$(用含$a$的代数式表示)；
(2)求可以照进阳光的部分的面积(用含$a$的代数式表示)；
(3)某公司需要制作 20 扇这样的窗户,并按照图(2)的方式安装窗帘,厂家报价如表,当$a = 1$时,该公司的总花费为多少元？
|材料名称|铝合金|窗帘|透明玻璃|
|报价|100 元/m|40 元/$m^{2}$|90 元/$m^{2}$|
答案
(1)18a
(2)根据题意,得照进阳光的面积是2a·2a-π·(a/2)²=4a²-3a²/4=13a²/4(m²)，所以照进阳光的面积是13a²/4m².
(3)当a=1时,20扇这样的窗户一共需要铝合金18×1×20=360(m)，20扇这样的窗户一共需要窗帘20×[π×1²/2+π×(1/2)²]=20×9π/4=45π(m²)，20扇这样的窗户一共需要玻璃20×(2×2+π×1²/2)=20×11/2=110(m²)，所以该公司总花费为100×360+40×45π+90×110=36000+1800π+9900=(45900+1800π)(元)，所以该公司总花费为(45900+1800π)元.
解析
【分析】
(1) 求铝合金材料的总长度，本质是计算所有窗框的总长：先统计下部2行2列小正方形组成的大正方形的所有横竖框架长度，再加上上部半圆形窗框的弧长，合并化简即可，计算时π取3。
(2) 求可以照进阳光的面积，采用“总面积减窗帘面积”的思路：窗户总面积是下部边长为2a的正方形面积加上部直径为2a的半圆面积，窗帘面积是上部大半圆面积加下部两个直径为a的小半圆面积，计算时上下半圆面积可抵消，简化运算得到结果。
(3) 求总花费时，先分别计算20扇窗户需要的铝合金总长度、窗帘总面积、玻璃总面积，再分别乘以对应单价后求和，代入a=1计算即可。
【解析】
(1) 统计窗框总长：下部横竖框架总长为15a，上部半圆弧长为$\frac{1}{2} × π × 2a = π a = 3a$，总长度为$15a+3a=18a$。
(2) 根据题意：
照进阳光的面积 = 窗户总面积 - 窗帘总面积
窗户总面积 = $2a · 2a + \frac{1}{2}π a^2$
窗帘总面积 = $\frac{1}{2}π a^2 + π · (\frac{a}{2})^2$
代入化简得：
$\begin{aligned}\mathrm{阳光面积}&=4a^2 + \frac{1}{2}π a^2 - \frac{1}{2}π a^2 - \frac{π a^2}{4}\\&=4a^2 - \frac{3a^2}{4}\\&=\frac{13a^2}{4} \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
(3) 当$a=1$时：
20扇窗户铝合金总长：$18 × 1 × 20 = 360 \ (\mathrm{m})$
20扇窗户窗帘总面积：$20 × [\frac{π × 1^2}{2} + π × (\frac{1}{2})^2] = 20 × \frac{3π}{4} = 15π = 45 \ (\mathrm{m}^2)$
20扇窗户玻璃总面积：$20 × (2 × 2 + \frac{π × 1^2}{2}) = 20 × \frac{11}{2} = 110 \ (\mathrm{m}^2)$
总花费：$100 × 360 + 40 × 45π + 90 × 110 = 36000 + 1800π + 9900 = 45900 + 1800π \ (\mathrm{元})$
【答案】
(1) $\boldsymbol{18a}$
(2) $\boldsymbol{\frac{13a^2}{4} \mathrm{m}^2}$
(3) $\boldsymbol{(45900+1800π)}$元
【知识点】
列代数式；代数式求值；圆的周长与面积计算
【点评】
本题结合生活实际命题，考查代数式的应用能力，解题核心是准确梳理图形的周长、面积组成，避免漏算或重复计算，熟练掌握常见图形的周长、面积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.6
(1) 求铝合金材料的总长度，本质是计算所有窗框的总长：先统计下部2行2列小正方形组成的大正方形的所有横竖框架长度，再加上上部半圆形窗框的弧长，合并化简即可，计算时π取3。
(2) 求可以照进阳光的面积，采用“总面积减窗帘面积”的思路：窗户总面积是下部边长为2a的正方形面积加上部直径为2a的半圆面积，窗帘面积是上部大半圆面积加下部两个直径为a的小半圆面积，计算时上下半圆面积可抵消，简化运算得到结果。
(3) 求总花费时，先分别计算20扇窗户需要的铝合金总长度、窗帘总面积、玻璃总面积，再分别乘以对应单价后求和，代入a=1计算即可。
【解析】
(1) 统计窗框总长：下部横竖框架总长为15a，上部半圆弧长为$\frac{1}{2} × π × 2a = π a = 3a$，总长度为$15a+3a=18a$。
(2) 根据题意：
照进阳光的面积 = 窗户总面积 - 窗帘总面积
窗户总面积 = $2a · 2a + \frac{1}{2}π a^2$
窗帘总面积 = $\frac{1}{2}π a^2 + π · (\frac{a}{2})^2$
代入化简得：
$\begin{aligned}\mathrm{阳光面积}&=4a^2 + \frac{1}{2}π a^2 - \frac{1}{2}π a^2 - \frac{π a^2}{4}\\&=4a^2 - \frac{3a^2}{4}\\&=\frac{13a^2}{4} \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
(3) 当$a=1$时：
20扇窗户铝合金总长：$18 × 1 × 20 = 360 \ (\mathrm{m})$
20扇窗户窗帘总面积：$20 × [\frac{π × 1^2}{2} + π × (\frac{1}{2})^2] = 20 × \frac{3π}{4} = 15π = 45 \ (\mathrm{m}^2)$
20扇窗户玻璃总面积：$20 × (2 × 2 + \frac{π × 1^2}{2}) = 20 × \frac{11}{2} = 110 \ (\mathrm{m}^2)$
总花费：$100 × 360 + 40 × 45π + 90 × 110 = 36000 + 1800π + 9900 = 45900 + 1800π \ (\mathrm{元})$
【答案】
(1) $\boldsymbol{18a}$
(2) $\boldsymbol{\frac{13a^2}{4} \mathrm{m}^2}$
(3) $\boldsymbol{(45900+1800π)}$元
【知识点】
列代数式；代数式求值；圆的周长与面积计算
【点评】
本题结合生活实际命题，考查代数式的应用能力，解题核心是准确梳理图形的周长、面积组成，避免漏算或重复计算，熟练掌握常见图形的周长、面积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.6
12. (20 分)(规律探究)任意写出一个三位数(个位、十位、百位上的数字都不为零),任取其三个数字中的两个,组合成所有可能的两位数(有 6 个),求出所有这些两位数的和,然后将它除以原三位数的各个数位上的数字之和。例如,对三位数 223,取其两个数字组成所有可能的两位数：22,23,22,23,32,32,它们的和是 154,三位数 223 各个数位上的数字的和是 7,$154÷7 = 22$。
(1)若写出的三位数是 111,最后得到的结果是______；若写出的三位数是 345,最后得到的结果是______。
(2)由(1)的探索过程,若写出的三位数百位数字是$a$,十位数字是$b$,个位数字是$c$,最后得到的结果是什么？请运用相关知识证明你的猜想。
(1)若写出的三位数是 111,最后得到的结果是______；若写出的三位数是 345,最后得到的结果是______。
(2)由(1)的探索过程,若写出的三位数百位数字是$a$,十位数字是$b$,个位数字是$c$,最后得到的结果是什么？请运用相关知识证明你的猜想。
答案
(1)22 22
(2)猜想:所得结果都是22.证明如下:该三位数百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c，则这个三位数可表示为100a+10b+c，组合成的两位数有10a+b,10a+c,10b+a,10b+c,10c+a,10c+b,求和,得22(a+b+c).因此22(a+b+c)÷(a+b+c)=22.
解析
【分析】
(1)对于给定的具体三位数，按照题目要求的步骤计算即可：先写出该三位数任取两个数字组成的所有两位数，计算它们的和，再除以这个三位数各数位数字之和，就能得到结果。
(2)要推导一般情况的结果，我们可以用字母分别表示三位数的百位、十位、个位数字，先写出所有可能组成的两位数，再对这些两位数求和，最后除以三个数位数字的和，通过整式的加减运算化简，就能得到固定的结果，验证我们的猜想。
【解析】
(1)①当三位数是111时，任取两个数字组成的所有两位数为11、11、11、11、11、11，它们的和为：$11×6=66$；
111各数位数字之和为$1+1+1=3$；
则最终结果为$66÷3=22$。
②当三位数是345时，任取两个数字组成的所有两位数为34、35、43、45、53、54，它们的和为：$34+35+43+45+53+54=264$；
345各数位数字之和为$3+4+5=12$；
则最终结果为$264÷12=22$。
(2)猜想：最后得到的结果是22，证明如下：
设三位数百位数字为$a$，十位数字为$b$，个位数字为$c$（$a、b、c$均不为0），则任取两个数字组成的所有两位数为：$10a+b$、$10a+c$、$10b+a$、$10b+c$、$10c+a$、$10c+b$。
计算这些两位数的和：
$\begin{aligned}&(10a+b)+(10a+c)+(10b+a)+(10b+c)+(10c+a)+(10c+b)\\=&10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b\\=&(10a+10a+a+a)+(b+10b+10b+b)+(c+c+10c+10c)\\=&22a+22b+22c\\=&22(a+b+c)\end{aligned}$
该三位数各数位数字之和为$a+b+c$，因为$a、b、c$均不为0，所以$a+b+c≠0$，因此两式相除得：$22(a+b+c)÷(a+b+c)=22$。
【答案】
(1)22；22
(2)最后得到的结果是22，证明见解析。
【知识点】
规律探究；列代数式；整式的加减运算
【点评】
本题是典型的规律探究类问题，从特殊数值的运算入手发现共性规律，再通过代数运算证明规律的普遍性，既考察了基础运算能力，也锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力，按照题目给定的步骤逐步计算、推导即可解决。
【难度系数】
0.7
(1)对于给定的具体三位数，按照题目要求的步骤计算即可：先写出该三位数任取两个数字组成的所有两位数，计算它们的和，再除以这个三位数各数位数字之和，就能得到结果。
(2)要推导一般情况的结果，我们可以用字母分别表示三位数的百位、十位、个位数字，先写出所有可能组成的两位数，再对这些两位数求和，最后除以三个数位数字的和，通过整式的加减运算化简，就能得到固定的结果，验证我们的猜想。
【解析】
(1)①当三位数是111时，任取两个数字组成的所有两位数为11、11、11、11、11、11，它们的和为：$11×6=66$；
111各数位数字之和为$1+1+1=3$；
则最终结果为$66÷3=22$。
②当三位数是345时，任取两个数字组成的所有两位数为34、35、43、45、53、54，它们的和为：$34+35+43+45+53+54=264$；
345各数位数字之和为$3+4+5=12$；
则最终结果为$264÷12=22$。
(2)猜想：最后得到的结果是22，证明如下：
设三位数百位数字为$a$，十位数字为$b$，个位数字为$c$（$a、b、c$均不为0），则任取两个数字组成的所有两位数为：$10a+b$、$10a+c$、$10b+a$、$10b+c$、$10c+a$、$10c+b$。
计算这些两位数的和：
$\begin{aligned}&(10a+b)+(10a+c)+(10b+a)+(10b+c)+(10c+a)+(10c+b)\\=&10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b\\=&(10a+10a+a+a)+(b+10b+10b+b)+(c+c+10c+10c)\\=&22a+22b+22c\\=&22(a+b+c)\end{aligned}$
该三位数各数位数字之和为$a+b+c$，因为$a、b、c$均不为0，所以$a+b+c≠0$，因此两式相除得：$22(a+b+c)÷(a+b+c)=22$。
【答案】
(1)22；22
(2)最后得到的结果是22，证明见解析。
【知识点】
规律探究；列代数式；整式的加减运算
【点评】
本题是典型的规律探究类问题，从特殊数值的运算入手发现共性规律，再通过代数运算证明规律的普遍性，既考察了基础运算能力，也锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力，按照题目给定的步骤逐步计算、推导即可解决。
【难度系数】
0.7
