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本题中列方程的数量关系是“顺流速度 - 水流速度 = 逆流速度 + 水流速度”,即等式两边都表示静水速度。
答案
设船在静水中的速度为$x$千米/小时，水流速度为$y$千米/小时（题目未直接要求求$y$，但为建立方程需要设出）。
顺流时，船的实际速度为$(x + y)$千米/小时；逆流时，船的实际速度为$(x - y)$千米/小时。
根据题目中的数量关系“顺流速度 - 水流速度 = 逆流速度 + 水流速度”可列方程：
$(x + y)-y=(x - y)+y$（此步其实可化简为恒等式，我们根据题意本质来列方程求解，假设已知顺流速度和逆流速度的具体值，设顺流速度为$m$，逆流速度为$n$，则可列方程$m - y=n + y$，若已知$m$和$n$的值就能求解$y$，再根据顺流速度$m=x + y$求出$x$，下面我们假设已知顺流速度为$a$，逆流速度为$b$）。
已知顺流速度为$a$，逆流速度为$b$，由$a - y=b + y$，
移项可得：$a - b=2y$，
解得$y=\frac{a - b}{2}$。
又因为顺流速度$a=x + y$，则$x=a - y=a-\frac{a - b}{2}=\frac{2a-(a - b)}{2}=\frac{a + b}{2}$。
例如，若船顺流速度为$18$千米/小时，逆流速度为$10$千米/小时。
设船在静水中速度为$x$千米/小时，
根据数量关系列方程：$18 - y=10 + y$，
移项得：$18 - 10=2y$，
$2y = 8$，
解得$y = 4$。
因为顺流速度$18=x + 4$，
所以$x=18 - 4=14$。
答：船在静水中的速度为$14$千米/小时（具体数值根据所给顺流、逆流速度确定，以上为示例）。
顺流时，船的实际速度为$(x + y)$千米/小时；逆流时，船的实际速度为$(x - y)$千米/小时。
根据题目中的数量关系“顺流速度 - 水流速度 = 逆流速度 + 水流速度”可列方程：
$(x + y)-y=(x - y)+y$（此步其实可化简为恒等式，我们根据题意本质来列方程求解，假设已知顺流速度和逆流速度的具体值，设顺流速度为$m$，逆流速度为$n$，则可列方程$m - y=n + y$，若已知$m$和$n$的值就能求解$y$，再根据顺流速度$m=x + y$求出$x$，下面我们假设已知顺流速度为$a$，逆流速度为$b$）。
已知顺流速度为$a$，逆流速度为$b$，由$a - y=b + y$，
移项可得：$a - b=2y$，
解得$y=\frac{a - b}{2}$。
又因为顺流速度$a=x + y$，则$x=a - y=a-\frac{a - b}{2}=\frac{2a-(a - b)}{2}=\frac{a + b}{2}$。
例如，若船顺流速度为$18$千米/小时，逆流速度为$10$千米/小时。
设船在静水中速度为$x$千米/小时，
根据数量关系列方程：$18 - y=10 + y$，
移项得：$18 - 10=2y$，
$2y = 8$，
解得$y = 4$。
因为顺流速度$18=x + 4$，
所以$x=18 - 4=14$。
答：船在静水中的速度为$14$千米/小时（具体数值根据所给顺流、逆流速度确定，以上为示例）。
解析
【分析】
首先明确行船问题的基本速度关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，题目给出的等量关系本质是等式两边均等于静水速度，核心为静水速度不变。解题时若已知顺流、逆流的具体速度，可先设水流速度为未知数，代入等量关系列出一元一次方程，再通过移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解水流速度，最后结合速度关系求出静水速度即可。
【解析】
我们结合示例解题：已知船顺流速度为18千米/小时，逆流速度为10千米/小时，求船在静水中的速度。
1. 设未知数：设水流速度为$y$千米/小时。
2. 列方程：根据“顺流速度 - 水流速度 = 逆流速度 + 水流速度”代入已知量，得：
$18 - y = 10 + y$
3. 移项（移项要变号）：将含$y$的项移到等式右侧，常数项移到等式左侧，得：
$18 - 10 = y + y$
4. 合并同类项：
$2y = 8$
5. 系数化为1：
$y = 4$
6. 求静水速度：静水速度=顺流速度-水流速度，即$18 - 4 = 14$（千米/小时）。
若为通用情况，设顺流速度为$a$千米/小时，逆流速度为$b$千米/小时，同理可得：水流速度$y=\frac{a-b}{2}$，静水速度$x=\frac{a+b}{2}$。
【答案】
示例中船在静水中的速度为14千米/小时；通用结论：静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2，水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2。
【知识点】
行船速度关系，移项解方程，一元一次方程应用
【点评】
本题核心是抓住静水速度不变的等量关系，将行船速度公式和一元一次方程解法结合，只要理清各速度的含义，熟练掌握移项运算规则，就能快速列出方程求解。
【难度系数】
0.8
首先明确行船问题的基本速度关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，题目给出的等量关系本质是等式两边均等于静水速度，核心为静水速度不变。解题时若已知顺流、逆流的具体速度，可先设水流速度为未知数，代入等量关系列出一元一次方程，再通过移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解水流速度，最后结合速度关系求出静水速度即可。
【解析】
我们结合示例解题：已知船顺流速度为18千米/小时，逆流速度为10千米/小时，求船在静水中的速度。
1. 设未知数：设水流速度为$y$千米/小时。
2. 列方程：根据“顺流速度 - 水流速度 = 逆流速度 + 水流速度”代入已知量，得：
$18 - y = 10 + y$
3. 移项（移项要变号）：将含$y$的项移到等式右侧，常数项移到等式左侧，得：
$18 - 10 = y + y$
4. 合并同类项：
$2y = 8$
5. 系数化为1：
$y = 4$
6. 求静水速度：静水速度=顺流速度-水流速度，即$18 - 4 = 14$（千米/小时）。
若为通用情况，设顺流速度为$a$千米/小时，逆流速度为$b$千米/小时，同理可得：水流速度$y=\frac{a-b}{2}$，静水速度$x=\frac{a+b}{2}$。
【答案】
示例中船在静水中的速度为14千米/小时；通用结论：静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2，水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2。
【知识点】
行船速度关系，移项解方程，一元一次方程应用
【点评】
本题核心是抓住静水速度不变的等量关系，将行船速度公式和一元一次方程解法结合，只要理清各速度的含义，熟练掌握移项运算规则，就能快速列出方程求解。
【难度系数】
0.8
3. 某种商品的进价为$18$元,由于该商品积压,商店准备按标价的八折销售,这样可保证利润率达到$20\%$,求标价是多少。
答案
解:设标价为x元.根据题意，
得0.8x−18=18×20%,解得x=27.
答:标价为27元.
得0.8x−18=18×20%,解得x=27.
答:标价为27元.
解析
【分析】
这是销售类的一元一次方程应用题，解题核心是先明确销售问题的等量关系：利润=售价-进价，同时利润=进价×利润率。我们可以设标价为未知数x，按八折销售的售价为0.8x，结合已知的进价、利润率，根据两个利润表达式相等列方程，再求解方程就能得到标价。
【解析】
解：设标价为x元。
根据题意，售价减进价等于利润，可列方程：
$0.8x - 18 = 18×20\%$
先计算等号右侧：$18×20\%=3.6$，方程变为$0.8x - 18 = 3.6$
移项得：$0.8x = 3.6 + 18$
计算得：$0.8x = 21.6$
系数化为1得：$x = 27$
答：标价是27元。
【答案】
27元
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.销售利润计算
3.移项解一元一次方程
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题关键是找准销售问题中售价、进价、利润、利润率之间的等量关系，正确列方程后按照一元一次方程的求解步骤计算即可，是对一元一次方程实际应用的基础考查。
【难度系数】
0.8
这是销售类的一元一次方程应用题，解题核心是先明确销售问题的等量关系：利润=售价-进价，同时利润=进价×利润率。我们可以设标价为未知数x，按八折销售的售价为0.8x，结合已知的进价、利润率，根据两个利润表达式相等列方程，再求解方程就能得到标价。
【解析】
解：设标价为x元。
根据题意，售价减进价等于利润，可列方程：
$0.8x - 18 = 18×20\%$
先计算等号右侧：$18×20\%=3.6$，方程变为$0.8x - 18 = 3.6$
移项得：$0.8x = 3.6 + 18$
计算得：$0.8x = 21.6$
系数化为1得：$x = 27$
答：标价是27元。
【答案】
27元
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.销售利润计算
3.移项解一元一次方程
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题关键是找准销售问题中售价、进价、利润、利润率之间的等量关系，正确列方程后按照一元一次方程的求解步骤计算即可，是对一元一次方程实际应用的基础考查。
【难度系数】
0.8
1. 下列解方程的过程中,移项错误的是( )
A.方程$2x + 6 = -3变形为2x = -6 + 3$
B.方程$2x - 6 = -3变形为2x = -3 + 6$
C.方程$3x = 4 - x变形为3x + x = 4$
D.方程$4 - x = 3x变形为x + 3x = 4$
A.方程$2x + 6 = -3变形为2x = -6 + 3$
B.方程$2x - 6 = -3变形为2x = -3 + 6$
C.方程$3x = 4 - x变形为3x + x = 4$
D.方程$4 - x = 3x变形为x + 3x = 4$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确移项的基本法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项，移项的核心是“移项要变号”，没有移动的项符号保持不变。解题时我们只需要逐个核对每个选项的移项过程是否符合“移项变号”的规则，就能找到移项错误的选项。
【解析】
根据移项法则逐个分析选项：
A. 方程$2x + 6 = -3$，将左边的$+6$移到等号右边，需要变号为$-6$，等号右边的$-3$没有移动，符号不变，正确变形应为$2x = -3 - 6$，选项中变形为$2x = -6 + 3$，不仅移项错误，还擅自改变了原本在右侧的$-3$的符号，所以本选项移项错误；
B. 方程$2x - 6 = -3$，将左边的$-6$移到等号右边，变号为$+6$，右侧$-3$不变，变形为$2x = -3 + 6$，移项正确；
C. 方程$3x = 4 - x$，将右边的$-x$移到等号左边，变号为$+x$，右侧$4$不变，变形为$3x + x = 4$，移项正确；
D. 方程$4 - x = 3x$，将左边的$-x$移到等号右边变号为$+x$，再交换等式左右两边位置，可得$x + 3x = 4$，移项正确。
【答案】
A
【知识点】
移项法则；解一元一次方程
【点评】
本题是对移项规则的基础考查，做题时要注意只有从等号一侧移动到另一侧的项才需要变号，未移动的项符号不能随意更改，熟练掌握移项法则是解一元一次方程的基础。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确移项的基本法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项，移项的核心是“移项要变号”，没有移动的项符号保持不变。解题时我们只需要逐个核对每个选项的移项过程是否符合“移项变号”的规则，就能找到移项错误的选项。
【解析】
根据移项法则逐个分析选项：
A. 方程$2x + 6 = -3$，将左边的$+6$移到等号右边，需要变号为$-6$，等号右边的$-3$没有移动，符号不变，正确变形应为$2x = -3 - 6$，选项中变形为$2x = -6 + 3$，不仅移项错误，还擅自改变了原本在右侧的$-3$的符号，所以本选项移项错误；
B. 方程$2x - 6 = -3$，将左边的$-6$移到等号右边，变号为$+6$，右侧$-3$不变，变形为$2x = -3 + 6$，移项正确；
C. 方程$3x = 4 - x$，将右边的$-x$移到等号左边，变号为$+x$，右侧$4$不变，变形为$3x + x = 4$，移项正确；
D. 方程$4 - x = 3x$，将左边的$-x$移到等号右边变号为$+x$，再交换等式左右两边位置，可得$x + 3x = 4$，移项正确。
【答案】
A
【知识点】
移项法则；解一元一次方程
【点评】
本题是对移项规则的基础考查，做题时要注意只有从等号一侧移动到另一侧的项才需要变号，未移动的项符号不能随意更改，熟练掌握移项法则是解一元一次方程的基础。
【难度系数】
0.8
2. 方程$2x - 6 = x - 1$的解是( )
A.$x = 5$
B.$x = -\frac{5}{2}$
C.$x = \pm 5$
D.$x = \frac{5}{3}$
A.$x = 5$
B.$x = -\frac{5}{2}$
C.$x = \pm 5$
D.$x = \frac{5}{3}$
答案
A
解析
【分析】
这是一道求解一元一次方程的基础题，解题核心是运用移项法则简化方程。思考步骤如下：第一步先将方程中含未知数x的项统一移到等号左侧，常数项统一移到等号右侧，注意移项时要改变符号；第二步对移项后的式子合并同类项，即可直接求出x的值，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：原方程为$2x - 6 = x - 1$
1. 移项：根据移项变号规则，将右侧的$x$移到左侧，左侧的$-6$移到右侧，可得：
$2x - x = -1 + 6$
2. 合并同类项：
$x = 5$
因此方程的解为$x=5$。
【答案】
A
【知识点】
移项法则；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考查移项时的符号变化规则，属于一元一次方程模块必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
这是一道求解一元一次方程的基础题，解题核心是运用移项法则简化方程。思考步骤如下：第一步先将方程中含未知数x的项统一移到等号左侧，常数项统一移到等号右侧，注意移项时要改变符号；第二步对移项后的式子合并同类项，即可直接求出x的值，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：原方程为$2x - 6 = x - 1$
1. 移项：根据移项变号规则，将右侧的$x$移到左侧，左侧的$-6$移到右侧，可得：
$2x - x = -1 + 6$
2. 合并同类项：
$x = 5$
因此方程的解为$x=5$。
【答案】
A
【知识点】
移项法则；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考查移项时的符号变化规则，属于一元一次方程模块必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
3. 当$x = $______时,式子$2x + 1与3x - 6$的值相等。
答案
7
解析
【分析】
解题时首先抓住“两个式子的值相等”这一核心条件，找到等量关系列出关于x的一元一次方程，再按照移项解一元一次方程的步骤计算即可。思考步骤：第一步根据等量关系列方程$2x+1=3x-6$；第二步运用移项法则，将含未知数的项和常数项分别移到等式两侧，注意移项要变号；第三步合并同类项得到x的结果。
【解析】
解：根据题意，两个式子的值相等，列方程得：
$\quad 2x + 1 = 3x - 6$
移项，得：
$\quad 1 + 6 = 3x - 2x$
合并同类项，得：
$\quad x = 7$
【答案】
7
【知识点】
列一元一次方程，移项法则，解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程的基础应用题型，重点考察根据等量关系列方程以及移项解方程的基本技能，解题时需注意移项要改变符号，避免出现符号类错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先抓住“两个式子的值相等”这一核心条件，找到等量关系列出关于x的一元一次方程，再按照移项解一元一次方程的步骤计算即可。思考步骤：第一步根据等量关系列方程$2x+1=3x-6$；第二步运用移项法则，将含未知数的项和常数项分别移到等式两侧，注意移项要变号；第三步合并同类项得到x的结果。
【解析】
解：根据题意，两个式子的值相等，列方程得：
$\quad 2x + 1 = 3x - 6$
移项，得：
$\quad 1 + 6 = 3x - 2x$
合并同类项，得：
$\quad x = 7$
【答案】
7
【知识点】
列一元一次方程，移项法则，解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程的基础应用题型，重点考察根据等量关系列方程以及移项解方程的基本技能，解题时需注意移项要改变符号，避免出现符号类错误。
【难度系数】
0.9
4. 解下列方程：
(1) $6a + 7 = 12a - 5 - 3a$；
(2) $\frac{11}{9}m + \frac{2}{7} = \frac{2}{9}m - \frac{5}{7}$。
(1) $6a + 7 = 12a - 5 - 3a$；
(2) $\frac{11}{9}m + \frac{2}{7} = \frac{2}{9}m - \frac{5}{7}$。
答案
解:
(1)移项，得6a−12a+3a=−5−7.
合并同类项，得−3a=−12.
系数化为1,得a=4.
(2)移项，得$\frac{11}{9}$m−$\frac{2}{9}$m=−$\frac{5}{7}$−$\frac{2}{7}$.
合并同类项，得m=−1.
(1)移项，得6a−12a+3a=−5−7.
合并同类项，得−3a=−12.
系数化为1,得a=4.
(2)移项，得$\frac{11}{9}$m−$\frac{2}{9}$m=−$\frac{5}{7}$−$\frac{2}{7}$.
合并同类项，得m=−1.
解析
【分析】
这两道题都是一元一次方程，可按照移项解一元一次方程的常规步骤求解：第一步移项，将含未知数的项统一移到等号左侧，常数项统一移到等号右侧，注意移项要变号；第二步合并同类项，将等号左右两边的同类项分别合并化简；第三步系数化为1，给等式两边同时除以未知数的系数，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 移项，得$6a - 12a + 3a = -5 - 7$
合并同类项，得$-3a = -12$
系数化为1，等式两边同时除以$-3$，得$a = 4$
(2) 移项，得$\frac{11}{9}m - \frac{2}{9}m = -\frac{5}{7} - \frac{2}{7}$
合并同类项，得$m = -1$
【答案】
(1)$a=4$；(2)$m=-1$
【知识点】
移项法则，合并同类项，一元一次方程解法
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，核心考查移项时的符号变化规则，解题时注意移项要变号，合并同类项时计算准确即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
这两道题都是一元一次方程，可按照移项解一元一次方程的常规步骤求解：第一步移项，将含未知数的项统一移到等号左侧，常数项统一移到等号右侧，注意移项要变号；第二步合并同类项，将等号左右两边的同类项分别合并化简；第三步系数化为1，给等式两边同时除以未知数的系数，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 移项，得$6a - 12a + 3a = -5 - 7$
合并同类项，得$-3a = -12$
系数化为1，等式两边同时除以$-3$，得$a = 4$
(2) 移项，得$\frac{11}{9}m - \frac{2}{9}m = -\frac{5}{7} - \frac{2}{7}$
合并同类项，得$m = -1$
【答案】
(1)$a=4$；(2)$m=-1$
【知识点】
移项法则，合并同类项，一元一次方程解法
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，核心考查移项时的符号变化规则，解题时注意移项要变号，合并同类项时计算准确即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
5. 小亮同学解方程$8x - 4 = 1 - 3x + 6$的过程如下,请仔细阅读,并解答所提出的问题：
解：移项,得$8x + 3x = 1 + 6 - 4$,①
合并同类项,得$11x = 11$,②
系数化为$1$,得$x = 1$。③
(1) 请你判断小亮同学解方程的过程是否正确,答：______(选填“正确”或“不正确”)。
(2) 如果你认为正确,请写出每一步的依据；如果你认为不正确,小亮同学的解答过程从第______步开始出错,这一步的错误原因是______,并写出正确的解答过程。
解：移项,得$8x + 3x = 1 + 6 - 4$,①
合并同类项,得$11x = 11$,②
系数化为$1$,得$x = 1$。③
(1) 请你判断小亮同学解方程的过程是否正确,答：______(选填“正确”或“不正确”)。
(2) 如果你认为正确,请写出每一步的依据；如果你认为不正确,小亮同学的解答过程从第______步开始出错,这一步的错误原因是______,并写出正确的解答过程。
答案
解:
(1)不正确
(2)① 移项时，−4从等号左边移到右边没有改变符号
正确的解答过程如下:
移项，得8x+3x=1+6+4,
合并同类项，得11x=11,
系数化为1,得x=1.
(1)不正确
(2)① 移项时，−4从等号左边移到右边没有改变符号
正确的解答过程如下:
移项，得8x+3x=1+6+4,
合并同类项，得11x=11,
系数化为1,得x=1.
解析
【分析】
解决本题首先要明确移项解一元一次方程的核心规则：移项要变号，即把方程中的项从等号的一侧移到另一侧时，项的符号必须改变。我们先逐行核验小亮的解题步骤：原方程为$8x - 4 = 1 - 3x + 6$，移项时右边的$-3x$移到左边变为$+3x$是正确的，但左边的$-4$移到等号右边应该变为$+4$，小亮的步骤中没有改变$-4$的符号，不符合移项规则，由此可判断解题过程错误，再按正确规则重新解方程即可。
【解析】
(1) 小亮移项时未对移动的$-4$变号，因此解方程的过程不正确。
(2) 小亮的解答过程从第①步开始出错，错误原因是移项时，$-4$从等号左边移到右边没有改变符号。
正确的解答过程如下：
移项，得$8x + 3x = 1 + 6 + 4$，
合并同类项，得$11x = 11$，
系数化为1，得$x = 1$。
【答案】
(1) 不正确
(2) ①；移项时，−4从等号左边移到右边没有改变符号；
正确解答过程：移项，得$8x + 3x = 1 + 6 + 4$，合并同类项，得$11x = 11$，系数化为1，得$x = 1$
【知识点】
1. 移项法则 2. 解一元一次方程
【点评】
本题主要考察移项解一元一次方程的易错点，移项变号是解题的核心注意事项，要注意只有从等号一侧移到另一侧的项才需要改符号，等号同侧调整项的顺序不需要改变符号，解题时要重点检查移项后的符号是否正确。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确移项解一元一次方程的核心规则：移项要变号，即把方程中的项从等号的一侧移到另一侧时，项的符号必须改变。我们先逐行核验小亮的解题步骤：原方程为$8x - 4 = 1 - 3x + 6$，移项时右边的$-3x$移到左边变为$+3x$是正确的，但左边的$-4$移到等号右边应该变为$+4$，小亮的步骤中没有改变$-4$的符号，不符合移项规则，由此可判断解题过程错误，再按正确规则重新解方程即可。
【解析】
(1) 小亮移项时未对移动的$-4$变号，因此解方程的过程不正确。
(2) 小亮的解答过程从第①步开始出错，错误原因是移项时，$-4$从等号左边移到右边没有改变符号。
正确的解答过程如下：
移项，得$8x + 3x = 1 + 6 + 4$，
合并同类项，得$11x = 11$，
系数化为1，得$x = 1$。
【答案】
(1) 不正确
(2) ①；移项时，−4从等号左边移到右边没有改变符号；
正确解答过程：移项，得$8x + 3x = 1 + 6 + 4$，合并同类项，得$11x = 11$，系数化为1，得$x = 1$
【知识点】
1. 移项法则 2. 解一元一次方程
【点评】
本题主要考察移项解一元一次方程的易错点，移项变号是解题的核心注意事项，要注意只有从等号一侧移到另一侧的项才需要改符号，等号同侧调整项的顺序不需要改变符号，解题时要重点检查移项后的符号是否正确。
【难度系数】
0.8
