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8. 如图, 在 $□ ABCD$ 中, $DB = DC$, $∠ C = 65°$, $AE ⊥ BD$ 于点 $E$, 则 $∠ BAE$ 的度数是
$ 40 ^ { \circ } $
.答案
8. $ 40 ^ { \circ } $
9. 如图, 在 $□ ABCD$ 中, $E$ 为 $AB$ 边上一点, $∠ A = 30°$, $AD = 2$, $AB = 4$, 则 $△ DEC$ 的面积为
2
.答案
9. 2
10. 如图, 在 $□ ABCD$ 中, $AB = 3$, $∠ ABC$ 的平分线与 $∠ BCD$ 的平分线交于点 $E$, 若点 $E$ 恰好在边 $AD$ 上, 则 $BE^{2} + CE^{2}$ 的值为
36
.答案
10. 36
11. 如图, 在 $□ ABCD$ 中, $AE ⊥ BC$ 于点 $E$, $CF ⊥ AD$ 于点 $F$. 线段 $AE$ 与 $CF$ 有怎样的关系? 并证明.
答案
11. 解：$ A E = C F $，$ A E // C F $．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
$ \therefore ∠ B = ∠ D $，$ A B = C D $．
$ \because A E ⊥ B C $，$ C F ⊥ A D $，
$ \therefore ∠ A E B = ∠ C F D = 90 ^ { \circ } $．
$ \therefore △ A B E ≌ △ C D F ( \mathrm { AAS } ) $．
$ \therefore A E = C F $．
$ \because A D // B C $，
$ \therefore ∠ B C F = ∠ C F D = 90 ^ { \circ } = ∠ A E B $．
$ \therefore A E // C F $．
综上，$ A E = C F $，$ A E // C F $．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
$ \therefore ∠ B = ∠ D $，$ A B = C D $．
$ \because A E ⊥ B C $，$ C F ⊥ A D $，
$ \therefore ∠ A E B = ∠ C F D = 90 ^ { \circ } $．
$ \therefore △ A B E ≌ △ C D F ( \mathrm { AAS } ) $．
$ \therefore A E = C F $．
$ \because A D // B C $，
$ \therefore ∠ B C F = ∠ C F D = 90 ^ { \circ } = ∠ A E B $．
$ \therefore A E // C F $．
综上，$ A E = C F $，$ A E // C F $．
12. (2024, 吉林, 17) 如图, 在 $□ ABCD$ 中, $O$ 是 $AB$ 的中点, 连接 $CO$ 并延长, 交 $DA$ 的延长线于点 $E$, 求证: $AE = BC$.
答案
12. 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
$ \therefore A D // B C $．
$ \therefore ∠ O A E = ∠ O B C $，$ ∠ E = ∠ O C B $．
∵O是AB的中点，
$ \therefore O A = O B $．
$ \therefore △ A O E ≌ △ B O C ( \mathrm { AAS } ) $．
$ \therefore A E = B C $．
∵四边形ABCD是平行四边形，
$ \therefore A D // B C $．
$ \therefore ∠ O A E = ∠ O B C $，$ ∠ E = ∠ O C B $．
∵O是AB的中点，
$ \therefore O A = O B $．
$ \therefore △ A O E ≌ △ B O C ( \mathrm { AAS } ) $．
$ \therefore A E = B C $．
