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【例 3】
甲、乙两车从 $ A $ 城出发前往 $ B $ 城，在整个行程中，汽车离开 $ A $ 城的距离 $ y $(单位：$ \mathrm{km} $)与时间 $ x $(单位：$ \mathrm{h} $)的对应关系如图所示，下列说法中不正确的是(
mindmap
甲、乙两车行程图
横轴：时间 $ x/\mathrm{h} $
纵轴：距离 $ y/\mathrm{km} $
甲
乙
A.甲车行驶到距 $ A $ 城 $ 240 \mathrm{ km} $ 处，被乙车追上
B.$ A $ 城与 $ B $ 城的距离是 $ 300 \mathrm{ km} $
C.乙车的平均速度是 $ 80 \mathrm{ km/h} $
D.甲车比乙车早到 $ B $ 城
甲、乙两车从 $ A $ 城出发前往 $ B $ 城，在整个行程中，汽车离开 $ A $ 城的距离 $ y $(单位：$ \mathrm{km} $)与时间 $ x $(单位：$ \mathrm{h} $)的对应关系如图所示，下列说法中不正确的是(
D
)mindmap
甲、乙两车行程图
横轴：时间 $ x/\mathrm{h} $
纵轴：距离 $ y/\mathrm{km} $
甲
乙
A.甲车行驶到距 $ A $ 城 $ 240 \mathrm{ km} $ 处，被乙车追上
B.$ A $ 城与 $ B $ 城的距离是 $ 300 \mathrm{ km} $
C.乙车的平均速度是 $ 80 \mathrm{ km/h} $
D.甲车比乙车早到 $ B $ 城
答案
D
解析
【解析】
1. 求甲车的速度及解析式：
甲车从A到B用时$5\mathrm{h}$，路程$300\mathrm{km}$，速度为$\frac{300}{5}=60\mathrm{km/h}$，解析式为$y_{甲}=60x$。
2. 验证A选项：
当$x=4$时，$y_{甲}=60×4=240\mathrm{km}$，即此时甲车行驶到距A城$240\mathrm{km}$处被乙车追上，A正确。
3. 验证B选项：
由图像可知，A、B两城距离为$300\mathrm{km}$，B正确。
4. 验证C选项：
乙车从$x=1$出发，$x=4$时行驶了$240\mathrm{km}$，用时$4-1=3\mathrm{h}$，速度为$\frac{240}{3}=80\mathrm{km/h}$，C正确。
5. 验证D选项：
乙车到达B城用时$\frac{300}{80}=3.75\mathrm{h}$，总用时$1+3.75=4.75\mathrm{h}$，甲车用时$5\mathrm{h}$，故乙车比甲车早到B城，D错误。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用；行程问题
【点评】
本题通过行程图像考查一次函数的实际应用，需结合图像分析两车的速度、行驶时间等关键信息，判断各选项的正误。
【难度系数】
0.6
1. 求甲车的速度及解析式：
甲车从A到B用时$5\mathrm{h}$，路程$300\mathrm{km}$，速度为$\frac{300}{5}=60\mathrm{km/h}$，解析式为$y_{甲}=60x$。
2. 验证A选项：
当$x=4$时，$y_{甲}=60×4=240\mathrm{km}$，即此时甲车行驶到距A城$240\mathrm{km}$处被乙车追上，A正确。
3. 验证B选项：
由图像可知，A、B两城距离为$300\mathrm{km}$，B正确。
4. 验证C选项：
乙车从$x=1$出发，$x=4$时行驶了$240\mathrm{km}$，用时$4-1=3\mathrm{h}$，速度为$\frac{240}{3}=80\mathrm{km/h}$，C正确。
5. 验证D选项：
乙车到达B城用时$\frac{300}{80}=3.75\mathrm{h}$，总用时$1+3.75=4.75\mathrm{h}$，甲车用时$5\mathrm{h}$，故乙车比甲车早到B城，D错误。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用；行程问题
【点评】
本题通过行程图像考查一次函数的实际应用，需结合图像分析两车的速度、行驶时间等关键信息，判断各选项的正误。
【难度系数】
0.6
【例 4】
一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动，滚动的距离 $ s $（单位：$ \mathrm{m} $）与时间 $ t $（单位：$ \mathrm{s} $）之间的函数解析式为 $ s = 2t^{2} (t ＞ 0) $。通过仪器观察得到小球滚动的距离 $ s $ 与时间 $ t $ 的数据如下表：
(1) 根据解析式完成上表，并画出函数图象。
(2) 当小球滚动 $ 6.5 \mathrm{ s} $ 时，其滚动的距离是多少？
(3) 经过多少秒时，小球滚动 $ 128 \mathrm{ m} $？
一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动，滚动的距离 $ s $（单位：$ \mathrm{m} $）与时间 $ t $（单位：$ \mathrm{s} $）之间的函数解析式为 $ s = 2t^{2} (t ＞ 0) $。通过仪器观察得到小球滚动的距离 $ s $ 与时间 $ t $ 的数据如下表：
(1) 根据解析式完成上表，并画出函数图象。
(2) 当小球滚动 $ 6.5 \mathrm{ s} $ 时，其滚动的距离是多少？
(3) 经过多少秒时，小球滚动 $ 128 \mathrm{ m} $？
答案
解:(1)依次填:0,2,8,18.函数图象如图所示.
(2)当小球滚动6.5s时，其滚动的距离是84.5m.
(3)经过8s时，小球滚动128m.
解析
【解析】
(1) 将$t=0,1,2,3$分别代入函数解析式$s = 2t^{2}$：
当$t=0$时，$s=2×0^{2}=0$；
当$t=1$时，$s=2×1^{2}=2$；
当$t=2$时，$s=2×2^{2}=8$；
当$t=3$时，$s=2×3^{2}=18$，故表格依次填0,2,8,18。函数图象为二次函数$s=2t^2(t＞0)$的图象，是开口向上的抛物线在第一象限的部分。
(2) 把$t=6.5$代入$s = 2t^{2}$，得$s=2×(6.5)^2=2×42.25=84.5$（$\mathrm{m}$）。
(3) 把$s=128$代入$s = 2t^{2}$，得$128=2t^2$，解得$t^2=64$，因为$t＞0$，所以$t=8$（$\mathrm{s}$）。
【答案】
(1) 表格依次填：0，2，8，18；函数图象如参考答案所示。
(2) $84.5\ \mathrm{m}$
(3) $8\ \mathrm{s}$
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数求值
【点评】
本题考查二次函数在实际运动问题中的应用，需要掌握二次函数的代入求值、利用解析式求解自变量的方法，同时理解函数图象与实际数据的对应关系，培养运用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 将$t=0,1,2,3$分别代入函数解析式$s = 2t^{2}$：
当$t=0$时，$s=2×0^{2}=0$；
当$t=1$时，$s=2×1^{2}=2$；
当$t=2$时，$s=2×2^{2}=8$；
当$t=3$时，$s=2×3^{2}=18$，故表格依次填0,2,8,18。函数图象为二次函数$s=2t^2(t＞0)$的图象，是开口向上的抛物线在第一象限的部分。
(2) 把$t=6.5$代入$s = 2t^{2}$，得$s=2×(6.5)^2=2×42.25=84.5$（$\mathrm{m}$）。
(3) 把$s=128$代入$s = 2t^{2}$，得$128=2t^2$，解得$t^2=64$，因为$t＞0$，所以$t=8$（$\mathrm{s}$）。
【答案】
(1) 表格依次填：0，2，8，18；函数图象如参考答案所示。
(2) $84.5\ \mathrm{m}$
(3) $8\ \mathrm{s}$
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数求值
【点评】
本题考查二次函数在实际运动问题中的应用，需要掌握二次函数的代入求值、利用解析式求解自变量的方法，同时理解函数图象与实际数据的对应关系，培养运用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
【例】
如图①，在矩形 $ ABCD $ 中，动点 $ E $ 从点 $ B $ 出发，沿 $ B \to A \to D \to C $ 路径匀速运动至点 $ C $ 处停止，设点 $ E $ 运动的路程为 $ x $，$ △ BCE $ 的面积为 $ y $，若 $ y $ 关于 $ x $ 的函数图象如图②所示，则当 $ x = 7 $ 时，点 $ E $ 应运动到(
mindmap
图①
矩形 $ ABCD $
动点 $ E $
从点 $ B $ 出发
沿 $ B \to A \to D \to C $ 路径匀速运动
运动路程为 $ x $
$ △ BCE $ 面积为 $ y $
图②
横轴：$ x $
纵轴：$ y $
折线
起点 $ O $
折点 $ (3, y_{\mathrm{max}}) $
折点 $ (7, y_{\mathrm{max}}) $
终点 $ (x_{\mathrm{end}}, 0) $
A.点 $ C $ 处
B.点 $ D $ 处
C.点 $ B $ 处
D.点 $ A $ 处
如图①，在矩形 $ ABCD $ 中，动点 $ E $ 从点 $ B $ 出发，沿 $ B \to A \to D \to C $ 路径匀速运动至点 $ C $ 处停止，设点 $ E $ 运动的路程为 $ x $，$ △ BCE $ 的面积为 $ y $，若 $ y $ 关于 $ x $ 的函数图象如图②所示，则当 $ x = 7 $ 时，点 $ E $ 应运动到(
B
)mindmap
图①
矩形 $ ABCD $
动点 $ E $
从点 $ B $ 出发
沿 $ B \to A \to D \to C $ 路径匀速运动
运动路程为 $ x $
$ △ BCE $ 面积为 $ y $
图②
横轴：$ x $
纵轴：$ y $
折线
起点 $ O $
折点 $ (3, y_{\mathrm{max}}) $
折点 $ (7, y_{\mathrm{max}}) $
终点 $ (x_{\mathrm{end}}, 0) $
A.点 $ C $ 处
B.点 $ D $ 处
C.点 $ B $ 处
D.点 $ A $ 处
答案
B
解析
【解析】
分阶段分析点E运动时△BCE的面积变化：
1. 当点E在BA上运动（$0 ≤ x ≤ 3$）时，△BCE的高随$x$增大而增大，面积$y$随$x$增大而增大，对应图②中上升段；
2. 当点E在AD上运动（$3 ＜ x ＜ 7$）时，△BCE的高为AB的长度，底BC不变，面积$y$保持不变，对应图②中水平段；
3. 当点E在DC上运动时，△BCE的高随$x$增大而减小，面积$y$随$x$增大而减小，对应图②中下降段。
当$x=7$时，是水平段的终点，说明点E运动到AD的端点D处。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，函数图象的实际应用
【点评】
本题结合动点运动与函数图象，考查分段函数图象的实际意义，关键是分析不同运动阶段三角形面积的变化规律。
【难度系数】
0.7
分阶段分析点E运动时△BCE的面积变化：
1. 当点E在BA上运动（$0 ≤ x ≤ 3$）时，△BCE的高随$x$增大而增大，面积$y$随$x$增大而增大，对应图②中上升段；
2. 当点E在AD上运动（$3 ＜ x ＜ 7$）时，△BCE的高为AB的长度，底BC不变，面积$y$保持不变，对应图②中水平段；
3. 当点E在DC上运动时，△BCE的高随$x$增大而减小，面积$y$随$x$增大而减小，对应图②中下降段。
当$x=7$时，是水平段的终点，说明点E运动到AD的端点D处。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，函数图象的实际应用
【点评】
本题结合动点运动与函数图象，考查分段函数图象的实际意义，关键是分析不同运动阶段三角形面积的变化规律。
【难度系数】
0.7
