登录
【例1】如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$ 是 $CD$ 的中点，连接 $OE$。若 $OE = 5$，$BD = 12$，求 $AC$ 的长。
解：
规律方法
（1）在菱形中求线段长时，往往是根据菱形的相关性质，将问题转化到三角形中，利用勾股定理，等腰三角形的性质等求解。
（2）在菱形中求角时，可根据菱形的相关性质，利用角之间的关系或特殊三角形求解。
（3）证明线段（或角）相等，菱形的性质可以为证明三角形全等提供边和角相等的条件，从而利用三角形全等进行证明。
变式训练
1. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，点 $P$ 在 $BC$ 边上，连接 $AP$ 交对角线 $BD$ 于点 $E$，连接 $EC$。
（1）求证：$AE = CE$。
（2）若 $∠ ABC = 48°$，$AE = PC$，求 $∠ BAP$ 的度数。
解：
规律方法
（1）在菱形中求线段长时，往往是根据菱形的相关性质，将问题转化到三角形中，利用勾股定理，等腰三角形的性质等求解。
（2）在菱形中求角时，可根据菱形的相关性质，利用角之间的关系或特殊三角形求解。
（3）证明线段（或角）相等，菱形的性质可以为证明三角形全等提供边和角相等的条件，从而利用三角形全等进行证明。
变式训练
1. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，点 $P$ 在 $BC$ 边上，连接 $AP$ 交对角线 $BD$ 于点 $E$，连接 $EC$。
（1）求证：$AE = CE$。
（2）若 $∠ ABC = 48°$，$AE = PC$，求 $∠ BAP$ 的度数。
答案
【例1】解:$AC = 16$.
变式训练
1.(1)证明:因为四边形$ABCD$为菱形,
所以$BA = BC$,$∠ABD = ∠CBD$.
在$△ABE$和$△CBE$中,
$\{\begin{array}{l} BA = BC,\\ ∠ABD = ∠CBD,\\ BE = BE,\end{array} $
所以$△ABE ≌ △CBE(SAS)$,
所以$AE = CE$.
(2)解:$∠BAP = 28°$.
变式训练
1.(1)证明:因为四边形$ABCD$为菱形,
所以$BA = BC$,$∠ABD = ∠CBD$.
在$△ABE$和$△CBE$中,
$\{\begin{array}{l} BA = BC,\\ ∠ABD = ∠CBD,\\ BE = BE,\end{array} $
所以$△ABE ≌ △CBE(SAS)$,
所以$AE = CE$.
(2)解:$∠BAP = 28°$.
解析
【解析】
1. 例1：
因为菱形对角线互相垂直且平分，所以$AC⊥BD$，$OD=\frac{1}{2}BD=6$。
又$E$是$CD$的中点，在$Rt△COD$中，$OE$为斜边中线，故$CD=2OE=10$。
在$Rt△COD$中，由勾股定理得$OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，因此$AC=2OC=16$。
2. 变式训练1：
(1) 由菱形性质得$BA=BC$，$∠ABD=∠CBD$。
在$△ABE$和$△CBE$中，$\begin{cases}BA=BC\\∠ABD=∠CBD\\BE=BE\end{cases}$，根据SAS可证$△ABE≌△CBE$，故$AE=CE$。
(2) 菱形中$AB=BC$，$∠ABC=48°$，则$∠BAC=∠BCA=\frac{180°-48°}{2}=66°$。
由(1)知$AE=CE$，结合$AE=PC$得$CE=PC$，故$∠CPE=∠CEP$。
设$∠BAP=x$，则$∠APB=180°-48°-x=132°-x$，且$∠CPE=\frac{180°-x}{2}$，联立得$\frac{180°-x}{2}=132°-x$，解得$x=28°$，即$∠BAP=28°$。
【答案】
例1：$AC=16$；
变式训练1：(1) 证明见上述解析；(2) $∠BAP=28°$
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查菱形的性质、直角三角形相关定理及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用菱形性质将几何问题转化到三角形中求解，培养了几何转化思想与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
1. 例1：
因为菱形对角线互相垂直且平分，所以$AC⊥BD$，$OD=\frac{1}{2}BD=6$。
又$E$是$CD$的中点，在$Rt△COD$中，$OE$为斜边中线，故$CD=2OE=10$。
在$Rt△COD$中，由勾股定理得$OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，因此$AC=2OC=16$。
2. 变式训练1：
(1) 由菱形性质得$BA=BC$，$∠ABD=∠CBD$。
在$△ABE$和$△CBE$中，$\begin{cases}BA=BC\\∠ABD=∠CBD\\BE=BE\end{cases}$，根据SAS可证$△ABE≌△CBE$，故$AE=CE$。
(2) 菱形中$AB=BC$，$∠ABC=48°$，则$∠BAC=∠BCA=\frac{180°-48°}{2}=66°$。
由(1)知$AE=CE$，结合$AE=PC$得$CE=PC$，故$∠CPE=∠CEP$。
设$∠BAP=x$，则$∠APB=180°-48°-x=132°-x$，且$∠CPE=\frac{180°-x}{2}$，联立得$\frac{180°-x}{2}=132°-x$，解得$x=28°$，即$∠BAP=28°$。
【答案】
例1：$AC=16$；
变式训练1：(1) 证明见上述解析；(2) $∠BAP=28°$
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查菱形的性质、直角三角形相关定理及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用菱形性质将几何问题转化到三角形中求解，培养了几何转化思想与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
【例2】如图，已知菱形 $ABCD$ 的边长为 $6cm$，$∠ BAD = 60°$，菱形 $A'B'C'D'$ 是由菱形 $ABCD$ 沿 $CA$ 方向平移 $2\sqrt{3}cm$ 得到的，$AD$ 交 $C'D'$ 于点 $E$，已知重叠部分也是一个菱形，则重叠部分的面积为
思路分析
思考1：若连接 $BD$，$AC$，根据已知条件，$△ DAB$ 是什么三角形？$∠ DAC$ 是多少度？
思考2：若连接 $CC'$，则 $CC'$ 的长度是多少？
规律方法
菱形的面积可利用公式“底 $×$ 高”或“两对角线长的乘积的一半”直接求，也可以根据菱形的性质，先求菱形中由对角线分割成的某个小三角形的面积，再乘相应的倍数求得。求解时，需根据具体情况具体分析，灵活选择解题方法。
变式训练
2. 如图，四边形 $ABCD$ 为菱形，周长为 $32cm$，$∠ ABC = 60°$，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$。
(1)求 $AC$，$BD$ 的长。
(2)求菱形 $ABCD$ 的面积。
$8\sqrt{3}$
$cm^{2}$。思路分析
思考1：若连接 $BD$，$AC$，根据已知条件，$△ DAB$ 是什么三角形？$∠ DAC$ 是多少度？
思考2：若连接 $CC'$，则 $CC'$ 的长度是多少？
规律方法
菱形的面积可利用公式“底 $×$ 高”或“两对角线长的乘积的一半”直接求，也可以根据菱形的性质，先求菱形中由对角线分割成的某个小三角形的面积，再乘相应的倍数求得。求解时，需根据具体情况具体分析，灵活选择解题方法。
变式训练
2. 如图，四边形 $ABCD$ 为菱形，周长为 $32cm$，$∠ ABC = 60°$，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$。
(1)求 $AC$，$BD$ 的长。
(2)求菱形 $ABCD$ 的面积。
答案
思路分析
思考1:$△DAB$是等边三角形,$∠DAC = 30°$.
思考2:$CC' = 2\sqrt{3}cm$.
$8\sqrt{3}$
变式训练
2.解:(1)$AC = 8cm$,$BD = 8\sqrt{3}cm$.
(2)菱形$ABCD$的面积为$32\sqrt{3}cm²$.
思考1:$△DAB$是等边三角形,$∠DAC = 30°$.
思考2:$CC' = 2\sqrt{3}cm$.
$8\sqrt{3}$
变式训练
2.解:(1)$AC = 8cm$,$BD = 8\sqrt{3}cm$.
(2)菱形$ABCD$的面积为$32\sqrt{3}cm²$.
解析
【解析】
例2解析：
1. 在菱形$ABCD$中，边长$AB=AD=6cm$，$∠ BAD=60°$，故$△ DAB$是等边三角形，$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAD=30°$。
2. 菱形$A'B'C'D'$由菱形$ABCD$沿$CA$方向平移$2\sqrt{3}cm$得到，因此$CC'=2\sqrt{3}cm$。
3. 计算菱形$ABCD$的对角线$AC$：$AC=2× AD×\cos30°=2×6×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}cm$，则$AC'=AC-CC'=6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}cm$。
4. 重叠部分为菱形，在含$30°$角的直角三角形中求得重叠菱形的边长为$4cm$，利用“底×高”计算面积：$4×(4×\frac{\sqrt{3}}{2})=8\sqrt{3}cm^2$。
变式训练解析：
(1) 菱形$ABCD$周长为$32cm$，则边长$AB=\frac{32}{4}=8cm$。
因$∠ ABC=60°$，故$△ ABC$是等边三角形，$AC=AB=8cm$。
菱形对角线互相垂直平分，$AO=\frac{1}{2}AC=4cm$，在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}cm$，则$BD=2BO=8\sqrt{3}cm$。
(2) 根据菱形面积公式$\frac{1}{2}×$对角线乘积，得面积$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×8×8\sqrt{3}=32\sqrt{3}cm^2$。
【答案】
例2：$\boldsymbol{8\sqrt{3}}$
变式训练：(1) $\boldsymbol{AC=8cm}$，$\boldsymbol{BD=8\sqrt{3}cm}$；(2) $\boldsymbol{32\sqrt{3}cm^2}$
【知识点】
菱形的性质、平移的性质、菱形面积计算
【点评】
本题综合考查菱形的性质、平移的性质及特殊三角形的判定与性质，需灵活选择菱形面积计算公式，平移距离与对角线长度的关系是求解重叠部分面积的关键，变式训练则侧重菱形对角线与面积的基础计算，强化对菱形核心性质的应用。
【难度系数】
0.4
例2解析：
1. 在菱形$ABCD$中，边长$AB=AD=6cm$，$∠ BAD=60°$，故$△ DAB$是等边三角形，$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAD=30°$。
2. 菱形$A'B'C'D'$由菱形$ABCD$沿$CA$方向平移$2\sqrt{3}cm$得到，因此$CC'=2\sqrt{3}cm$。
3. 计算菱形$ABCD$的对角线$AC$：$AC=2× AD×\cos30°=2×6×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}cm$，则$AC'=AC-CC'=6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}cm$。
4. 重叠部分为菱形，在含$30°$角的直角三角形中求得重叠菱形的边长为$4cm$，利用“底×高”计算面积：$4×(4×\frac{\sqrt{3}}{2})=8\sqrt{3}cm^2$。
变式训练解析：
(1) 菱形$ABCD$周长为$32cm$，则边长$AB=\frac{32}{4}=8cm$。
因$∠ ABC=60°$，故$△ ABC$是等边三角形，$AC=AB=8cm$。
菱形对角线互相垂直平分，$AO=\frac{1}{2}AC=4cm$，在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}cm$，则$BD=2BO=8\sqrt{3}cm$。
(2) 根据菱形面积公式$\frac{1}{2}×$对角线乘积，得面积$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×8×8\sqrt{3}=32\sqrt{3}cm^2$。
【答案】
例2：$\boldsymbol{8\sqrt{3}}$
变式训练：(1) $\boldsymbol{AC=8cm}$，$\boldsymbol{BD=8\sqrt{3}cm}$；(2) $\boldsymbol{32\sqrt{3}cm^2}$
【知识点】
菱形的性质、平移的性质、菱形面积计算
【点评】
本题综合考查菱形的性质、平移的性质及特殊三角形的判定与性质，需灵活选择菱形面积计算公式，平移距离与对角线长度的关系是求解重叠部分面积的关键，变式训练则侧重菱形对角线与面积的基础计算，强化对菱形核心性质的应用。
【难度系数】
0.4
