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15. 若 $ (a - 2)x^{|a| - 1} + (8 - 2b)y^{b - 2} = 0 $ 是关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程，求 $ 3a + 2b $ 的值。
答案
15. 0
解析
【解析】
根据二元一次方程的定义，可得：
1. 对于含$x$的项：
$\begin{cases} |a| - 1 = 1 \\ a - 2 ≠ 0 \end{cases}$
解得$a = -2$；
2. 对于含$y$的项：
$\begin{cases} b - 2 = 1 \\ 8 - 2b ≠ 0 \end{cases}$
解得$b = 3$。
将$a = -2$，$b = 3$代入$3a + 2b$，得：
$3×(-2) + 2×3 = -6 + 6 = 0$。
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程的定义；绝对值方程求解
【点评】
本题考查二元一次方程的定义，需准确把握“未知数的项的次数为1”且“系数不为0”这两个核心条件，避免因忽略系数非零的限制而出错。
【难度系数】
0.6
根据二元一次方程的定义，可得：
1. 对于含$x$的项：
$\begin{cases} |a| - 1 = 1 \\ a - 2 ≠ 0 \end{cases}$
解得$a = -2$；
2. 对于含$y$的项：
$\begin{cases} b - 2 = 1 \\ 8 - 2b ≠ 0 \end{cases}$
解得$b = 3$。
将$a = -2$，$b = 3$代入$3a + 2b$，得：
$3×(-2) + 2×3 = -6 + 6 = 0$。
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程的定义；绝对值方程求解
【点评】
本题考查二元一次方程的定义，需准确把握“未知数的项的次数为1”且“系数不为0”这两个核心条件，避免因忽略系数非零的限制而出错。
【难度系数】
0.6
16. 为奖励期末表现优异的同学，某班决定用 120 元购买笔记本和文件夹，其中笔记本每本 12 元，文件夹每个 9 元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有几种？
答案
16. 四种：①笔记本 10 本；②笔记本 7 本，文件夹 4 个；③笔记本 4 本，文件夹 8 个；④笔记本 1 本，文件夹 12 个.
解析
【解析】
设购买笔记本$ x $本，文件夹$ y $个（$ x $、$ y $为非负整数）。
根据题意列方程：$ 12x + 9y = 120 $，
化简得：$ 4x + 3y = 40 $，
变形为：$ y = \frac{40 - 4x}{3} $。
因为$ x $、$ y $为非负整数，所以$ 40 - 4x $需为3的非负倍数，依次代入非负整数$ x $验证：
当$ x = 10 $时，$ y = 0 $；
当$ x = 7 $时，$ y = 4 $；
当$ x = 4 $时，$ y = 8 $；
当$ x = 1 $时，$ y = 12 $；
其余$ x $值均不满足$ y $为非负整数，故共有4种购买方案。
【答案】
4种，分别为：①笔记本10本；②笔记本7本，文件夹4个；③笔记本4本，文件夹8个；④笔记本1本，文件夹12个。
【知识点】
二元一次不定方程的整数解、列方程解应用题
【点评】
本题考查二元一次不定方程在实际购物问题中的应用，需结合非负整数的实际意义求解，培养学生的分类讨论能力与严谨的思维习惯。
【难度系数】
0.6
设购买笔记本$ x $本，文件夹$ y $个（$ x $、$ y $为非负整数）。
根据题意列方程：$ 12x + 9y = 120 $，
化简得：$ 4x + 3y = 40 $，
变形为：$ y = \frac{40 - 4x}{3} $。
因为$ x $、$ y $为非负整数，所以$ 40 - 4x $需为3的非负倍数，依次代入非负整数$ x $验证：
当$ x = 10 $时，$ y = 0 $；
当$ x = 7 $时，$ y = 4 $；
当$ x = 4 $时，$ y = 8 $；
当$ x = 1 $时，$ y = 12 $；
其余$ x $值均不满足$ y $为非负整数，故共有4种购买方案。
【答案】
4种，分别为：①笔记本10本；②笔记本7本，文件夹4个；③笔记本4本，文件夹8个；④笔记本1本，文件夹12个。
【知识点】
二元一次不定方程的整数解、列方程解应用题
【点评】
本题考查二元一次不定方程在实际购物问题中的应用，需结合非负整数的实际意义求解，培养学生的分类讨论能力与严谨的思维习惯。
【难度系数】
0.6
