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11. 已知方程 $ 3x + y = 1 $ 的一个解是 $ \begin{cases}x = a, \\ y = b,\end{cases}$ 其中 $ a ≠ 0 $，那么 $ 9a + 3b - 2 $ 的值为 ______ 。
答案
11. 1
解析
【解析】
将$\begin{cases}x = a, \\ y = b\end{cases}$代入方程$3x + y = 1$，可得$3a + b = 1$。
对$9a + 3b - 2$变形得$3(3a + b) - 2$，把$3a + b = 1$代入，得$3×1 - 2 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的解，代数式求值
【点评】
本题考查整体代入思想的应用，通过将已知条件转化，整体代入所求代数式简化计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
将$\begin{cases}x = a, \\ y = b\end{cases}$代入方程$3x + y = 1$，可得$3a + b = 1$。
对$9a + 3b - 2$变形得$3(3a + b) - 2$，把$3a + b = 1$代入，得$3×1 - 2 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的解，代数式求值
【点评】
本题考查整体代入思想的应用，通过将已知条件转化，整体代入所求代数式简化计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
12. 二元一次方程 $ 2x + y = 7 $ 有
4
组非负整数解。答案
12. 4
解析
【解析】
要求二元一次方程$2x + y = 7$的非负整数解，先将方程变形为$y = 7 - 2x$。
因为$x$、$y$为非负整数，所以$x≥0$，且$7 - 2x≥0$，即$x≤3.5$。
则$x$可取0、1、2、3，对应的$y$分别为7、5、3、1，共4组非负整数解。
【答案】
4
【知识点】
二元一次方程的非负整数解
【点评】
本题考查二元一次方程非负整数解的求解，关键是通过变形方程，根据非负整数的定义确定未知数的取值范围，再枚举得到所有解。
【难度系数】
0.8
要求二元一次方程$2x + y = 7$的非负整数解，先将方程变形为$y = 7 - 2x$。
因为$x$、$y$为非负整数，所以$x≥0$，且$7 - 2x≥0$，即$x≤3.5$。
则$x$可取0、1、2、3，对应的$y$分别为7、5、3、1，共4组非负整数解。
【答案】
4
【知识点】
二元一次方程的非负整数解
【点评】
本题考查二元一次方程非负整数解的求解，关键是通过变形方程，根据非负整数的定义确定未知数的取值范围，再枚举得到所有解。
【难度系数】
0.8
13. 甲种物品每个的质量为 $ 4kg $，乙种物品每个的质量为 $ 7kg $，现有甲种物品 $ x $ 个，乙种物品 $ y $ 个，共重 $ 76kg $。
(1)列出关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程：
(2)若 $ x = 12 $，则 $ y = $
(3)若乙种物品有 8 个，则甲种物品有
(4)请你用含 $ x $ 的式子表示 $ y $，再写出符合题意的 $ x $，$ y $ 的全部值。
(1)列出关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程：
$4x + 7y = 76$
；(2)若 $ x = 12 $，则 $ y = $
4
$ $；(3)若乙种物品有 8 个，则甲种物品有
5
个；(4)请你用含 $ x $ 的式子表示 $ y $，再写出符合题意的 $ x $，$ y $ 的全部值。
答案
13. (1)$4x + 7y = 76$
(2)4
(3)5
(4)$y = \frac{76 - 4x}{7}$. 符合题意的$x$，$y$的值有$\begin{cases}x = 5,\\y = 8,\end{cases}\begin{cases}x = 19,\\y = 0,\end{cases}\begin{cases}x = 12,\\y = 4.\end{cases}$
(2)4
(3)5
(4)$y = \frac{76 - 4x}{7}$. 符合题意的$x$，$y$的值有$\begin{cases}x = 5,\\y = 8,\end{cases}\begin{cases}x = 19,\\y = 0,\end{cases}\begin{cases}x = 12,\\y = 4.\end{cases}$
解析
【解析】
(1) 根据甲种物品总质量与乙种物品总质量之和等于总重量，甲种物品每个质量4kg，x个的质量为$4x$kg，乙种物品每个质量7kg，y个的质量为$7y$kg，总重76kg，因此列出方程：$4x + 7y = 76$；
(2) 将$x = 12$代入$4x + 7y = 76$，得$4×12 + 7y = 76$，计算得$48 + 7y = 76$，移项化简得$7y = 28$，解得$y = 4$；
(3) 将$y = 8$代入$4x + 7y = 76$，得$4x + 7×8 = 76$，计算得$4x + 56 = 76$，移项化简得$4x = 20$，解得$x = 5$；
(4) 对$4x + 7y = 76$变形，移项得$7y = 76 - 4x$，两边同时除以7得$y = \frac{76 - 4x}{7}$。
因为$x$，$y$为非负整数，所以$76 - 4x$需为7的非负倍数：
当$76 - 4x = 56$时，$x = 5$，$y = 8$；
当$76 - 4x = 28$时，$x = 12$，$y = 4$；
当$76 - 4x = 0$时，$x = 19$，$y = 0$；
综上，符合题意的$x$，$y$的值为$\begin{cases}x = 5,\\y = 8,\end{cases}\begin{cases}x = 12,\\y = 4,\end{cases}\begin{cases}x = 19,\\y = 0\end{cases}$。
【答案】
(1)$4x + 7y = 76$；
(2)$4$；
(3)$5$；
(4)$y = \frac{76 - 4x}{7}$，符合题意的$x$，$y$的值有$\begin{cases}x = 5,\\y = 8,\end{cases}\begin{cases}x = 12,\\y = 4,\end{cases}\begin{cases}x = 19,\\y = 0\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程的应用、二元一次方程的非负整数解
【点评】
本题围绕二元一次方程的实际应用展开，核心是根据题意建立方程模型，再结合物品个数为非负整数的实际条件求解，考查了方程的变形与整数解的筛选能力，有助于提升实际问题转化为数学问题的思维。
【难度系数】
0.6
(1) 根据甲种物品总质量与乙种物品总质量之和等于总重量，甲种物品每个质量4kg，x个的质量为$4x$kg，乙种物品每个质量7kg，y个的质量为$7y$kg，总重76kg，因此列出方程：$4x + 7y = 76$；
(2) 将$x = 12$代入$4x + 7y = 76$，得$4×12 + 7y = 76$，计算得$48 + 7y = 76$，移项化简得$7y = 28$，解得$y = 4$；
(3) 将$y = 8$代入$4x + 7y = 76$，得$4x + 7×8 = 76$，计算得$4x + 56 = 76$，移项化简得$4x = 20$，解得$x = 5$；
(4) 对$4x + 7y = 76$变形，移项得$7y = 76 - 4x$，两边同时除以7得$y = \frac{76 - 4x}{7}$。
因为$x$，$y$为非负整数，所以$76 - 4x$需为7的非负倍数：
当$76 - 4x = 56$时，$x = 5$，$y = 8$；
当$76 - 4x = 28$时，$x = 12$，$y = 4$；
当$76 - 4x = 0$时，$x = 19$，$y = 0$；
综上，符合题意的$x$，$y$的值为$\begin{cases}x = 5,\\y = 8,\end{cases}\begin{cases}x = 12,\\y = 4,\end{cases}\begin{cases}x = 19,\\y = 0\end{cases}$。
【答案】
(1)$4x + 7y = 76$；
(2)$4$；
(3)$5$；
(4)$y = \frac{76 - 4x}{7}$，符合题意的$x$，$y$的值有$\begin{cases}x = 5,\\y = 8,\end{cases}\begin{cases}x = 12,\\y = 4,\end{cases}\begin{cases}x = 19,\\y = 0\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程的应用、二元一次方程的非负整数解
【点评】
本题围绕二元一次方程的实际应用展开，核心是根据题意建立方程模型，再结合物品个数为非负整数的实际条件求解，考查了方程的变形与整数解的筛选能力，有助于提升实际问题转化为数学问题的思维。
【难度系数】
0.6
14. 某中学组织 450 名学生开展社会实践活动，有 30 座客车和 50 座客车两种车型供选择，并要求全部坐满。
（1）设租用 30 座客车 $ x $ 辆，50 座客车 $ y $ 辆，试列出方程。
（2）如果要求租用 30 座客车 3 辆，则符合要求吗？
（3）你认为有几种不同的选择方案？请写出来。
（1）设租用 30 座客车 $ x $ 辆，50 座客车 $ y $ 辆，试列出方程。
（2）如果要求租用 30 座客车 3 辆，则符合要求吗？
（3）你认为有几种不同的选择方案？请写出来。
答案
14. (1)$30x + 50y = 450$.
(2)不符合
(3)四种方案：
$\begin{cases}x = 15,\\y = 0,\end{cases}\begin{cases}x = 10,\\y = 3,\end{cases}\begin{cases}x = 5,\\y = 6,\end{cases}\begin{cases}x = 0,\\y = 9.\end{cases}$
(2)不符合
(3)四种方案：
$\begin{cases}x = 15,\\y = 0,\end{cases}\begin{cases}x = 10,\\y = 3,\end{cases}\begin{cases}x = 5,\\y = 6,\end{cases}\begin{cases}x = 0,\\y = 9.\end{cases}$
解析
【解析】
（1）根据两种客车乘坐的总人数等于学生总数，可列方程：$30x + 50y = 450$。
（2）将$x=3$代入方程$30x + 50y = 450$，得$30×3 + 50y = 450$，解得$y=7.2$。由于车辆数必须为非负整数，$y=7.2$不符合实际要求，因此不符合。
（3）先将方程$30x + 50y = 450$化简为$3x + 5y = 45$，其中$x$、$y$为非负整数。变形得$x = 15 - \frac{5y}{3}$，则$y$需为3的非负整数倍：
当$y=0$时，$x=15$；
当$y=3$时，$x=10$；
当$y=6$时，$x=5$；
当$y=9$时，$x=0$；
故共有四种不同的选择方案。
【答案】
（1）$30x + 50y = 450$
（2）不符合
（3）四种方案：$\begin{cases}x = 15,\\y = 0,\end{cases}\begin{cases}x = 10,\\y = 3,\end{cases}\begin{cases}x = 5,\\y = 6,\end{cases}\begin{cases}x = 0,\\y = 9.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程的应用、非负整数解求解
【点评】
本题考查二元一次方程在实际租车问题中的应用，需结合车辆数为非负整数的实际条件分析求解，培养学生的数学应用能力与分类讨论意识。
【难度系数】
0.6
（1）根据两种客车乘坐的总人数等于学生总数，可列方程：$30x + 50y = 450$。
（2）将$x=3$代入方程$30x + 50y = 450$，得$30×3 + 50y = 450$，解得$y=7.2$。由于车辆数必须为非负整数，$y=7.2$不符合实际要求，因此不符合。
（3）先将方程$30x + 50y = 450$化简为$3x + 5y = 45$，其中$x$、$y$为非负整数。变形得$x = 15 - \frac{5y}{3}$，则$y$需为3的非负整数倍：
当$y=0$时，$x=15$；
当$y=3$时，$x=10$；
当$y=6$时，$x=5$；
当$y=9$时，$x=0$；
故共有四种不同的选择方案。
【答案】
（1）$30x + 50y = 450$
（2）不符合
（3）四种方案：$\begin{cases}x = 15,\\y = 0,\end{cases}\begin{cases}x = 10,\\y = 3,\end{cases}\begin{cases}x = 5,\\y = 6,\end{cases}\begin{cases}x = 0,\\y = 9.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程的应用、非负整数解求解
【点评】
本题考查二元一次方程在实际租车问题中的应用，需结合车辆数为非负整数的实际条件分析求解，培养学生的数学应用能力与分类讨论意识。
【难度系数】
0.6
