4. 如图,在$△ ABC$中,$∠C=90°,BD$平分$∠ABC$交$AC$于点$D$,$DE$是斜边$AB$的垂直平分线.
(1)$DE=CD$吗?为什么?
(2)$AD=BD$吗?为什么?
(3)如果$DE=1\mathrm{cm},BD=2\mathrm{cm}$,求$AC$的长.

4.解:(1)
∵BD平分∠ABC,CD⊥BC,DE⊥AB,
∴DE=CD.
　(2)
∵DE是斜边AB的垂直平分线，
∴AD=BD.(3)
∵DE =CD=1cm,AD=BD=2cm,
∴AC=AD+CD=3cm.

【例 4】如图,有一条小船及$A,B$两点,如果该小船先从点$A$航行到达岸边$l$的点$P$处补货后,再航行到点$B$,且要求航程最短,试在图中画出点$P$的位置.

解答
方法指导
作出点$A$关于直线$l$的对称点$A'$,由轴对称性质可知$AP=A'P$,要使$AP+PB$的和最小,即$A'P+PB$的和最小,将求作点$P$的位置的问题,转化为“两点之间,线段最短”的问题.

[例4]　解:①作出点A关于直线l的对称点A';②连接A'B 交直线l于点P,则点P即为所求，图略.

5. 把图中(实线部分)补成以虚线$l$为对称轴的轴对称图形,你会得到一只美丽的蝴蝶图案.

作各关键点关于直线$l$的对称点，依次连接各点为蝶形图案的另一半，即完成补全以虚线$l$为对称轴的轴对称图形，得到一只美丽的蝴蝶图案。
（在有虚线$l$为对称轴的条件下，以已知实线部分图形的关键点作关于对称轴的对称点，顺次连接各点即可得蝴蝶的另一半图形）。

6. 请作出图中四边形$ABCD$关于直线$a$的轴对称图形(要求:不写作法,但必须保留作图痕迹).

①找四边形ABCD各顶点关于直线a的对称点：
过点A作AO⊥a，并延长至A′，使A′O=AO，得到点A关于直线a的对称点A′（由于A在直线a上，所以其对称点还是A本身）。
过点B作BO1​⊥a，垂足为O1​，延长BO1​至B′，使B′O1​=BO1​，得到点B关于直线a的对称点B′。
过点C作CO2​⊥a，垂足为O2​，延长CO2​至C′，使C′O2​=CO2​，得到点C关于直线a的对称点C′。
过点D作DO3​⊥a，垂足为O3​，延长DO3​至D′，使D′O3​=DO3​，得到点D关于直线a的对称点D′。
②顺次连接A、B′、C′、D′：
用直线依次连接A与B′、B′与C′、C′与D′、D′与A，得到四边形AB′C′D′，即为四边形ABCD关于直线a的轴对称图形。
作图痕迹保留在图中（包括各垂线及对称点的确定过程）。

【例 5】如图所示,已知$O$是$∠APB$内的一点,$M,N$分别是点$O$关于$PA,PB$的对称点,连接$OM,ON,MN,MN$与$PA,PB$分别相交于点$E,F$,连接$EO,FO$,已知$MN=8\mathrm{cm}$.
(1)求$△ OEF$的周长.
(2)连接$PM,PN$,若$∠APB=∠α$,求$∠MPN$.(用含$α$的代数式表示)
思路点拨
(1)根据轴对称的性质,可得$EM=EO,FN=FO$,故$△ OEF$的周长即为线段$MN$的长;(2)连接$PM,PN,PO$,根据轴对称的性质,可得$∠MPA=∠OPA,∠NPB=∠OPB$,即可得出结果.
解答

方法指导
本题考查了轴对称的性质,解题关键在于利用轴对称的性质将$△ OEF$的周长转化为$MN$的长,将$∠MPN$转化为$2∠APB$.转化思想就是在解决数学问题时,采用某种方式,借助某些图形的性质、公式或已知条件将问题通过变换加以转化,进而准确、快速地解决问题.

[例5]　解:(1)
∵M,N分别是点O关于PA,PB的对称点，
∴EM=EO,FN=FO.
∴△OEF的周长为OE+OF+EF=ME+EF+FN=MN=8cm.(2)连接PM,PN,PO.
∵M,N 分别是点O关于PA,PB的对称点，
∴∠MPA=∠OPA,∠NPB=∠OPB.
∴∠MPN=2∠APB=2∠α.