例 1 画出函数 $ y = -x - 3 $ 的图象,并利用图象回答下列问题:
(1)求方程 $ -x - 3 = 0 $ 的解;
(2)求不等式 $ -x - 3 ≥ 0 $ 的解集;
(3)若 $ -1 ＜ y ≤ 3 $,求 $ x $ 的取值范围.
名师导引 利用一次函数图象解一元一次方程(不等式),可以从形的角度去理解自变量与函数值之间的关系.

(1) $ x = -3 $
(2) $ x ≤ -3 $
(3) $-6 ≤ x ＜ -2$

函数图象绘制
列表：
| $ x $ | 0 | -3 |
|--------|---|----|
| $ y $ | -3| 0 |
描点并连线，得到直线 $ y = -x - 3 $。
(1) 方程 $-x - 3 = 0$ 的解
直线 $ y = -x - 3 $ 与 $ x $ 轴交点为 $(-3, 0)$，
故方程的解为 $ x = -3 $。
(2) 不等式 $-x - 3 ≥ 0$ 的解集
由图象可知，当 $ y ≥ 0 $ 时，对应的 $ x ≤ -3 $，
故解集为 $ x ≤ -3 $。
(3) 当 $-1 ＜ y ≤ 3$ 时，$ x $ 的取值范围
当 $ y = -1 $ 时，$-1 = -x - 3 ⇒ x = -2$；
当 $ y = 3 $ 时，$3 = -x - 3 ⇒ x = -6$。
由图象可知，$ y $ 随 $ x $ 增大而减小，
故 $ x $ 的取值范围为 $-6 ≤ x ＜ -2$。

变式训练 若函数 $ y = kx - b $ 的图象如图所示,则关于 $ x $ 的不等式 $ k(x - 3) - b ＞ 0 $ 的解集为.

$x ＜ 5$

首先，根据图示，函数 $y = kx - b$ 经过点 $(2,0)$，即当 $x=2$ 时，$y=0$，所以有：
$2k - b = 0$，
即：
$b = 2k$，
由于图象是一个下降的直线，所以 $k ＜ 0$。
接下来，考虑不等式 $k(x - 3) - b ＞ 0$。
将 $b = 2k$ 代入不等式，得到：
$k(x - 3) - 2k ＞ 0$，
即：
$k(x - 3 - 2) ＞ 0$，
$k(x - 5) ＞ 0$，
由于 $k ＜ 0$，所以当 $x - 5 ＜ 0$ 时，不等式成立，即：
$x ＜ 5$，
所以，关于 $x$ 的不等式 $k(x - 3) - b ＞ 0$ 的解集为 $x ＜ 5$。

例 2 一次函数 $ y_1 = kx + b $ 和 $ y_2 = x + a $ 的图象如图,当 $ y_1 ＜ y_2 $ 时,$ x $ 的取值范围是()


A.$ x ＞ 1 $
B.$ x ＜ 1 $
C.$ x ＞ 2 $
D.$ x ＜ 2 $

C

由图可知，两直线交点的横坐标为2。当$x ＞ 2$时，$y_1$的图象在$y_2$的下方，即$y_1 ＜ y_2$。

变式训练 如图,直线 $ l_1:y = x + 3 $ 与直线 $ l_2:y = kx + b $ 相交于点 $ P $,点 $ P $ 的纵坐标为 $ 4 $,则关于 $ x $ 的不等式 $ kx + b ≤ x + 3 $ 的解集为.

$x≤1$

因为点P是直线$l_1:y = x + 3$与直线$l_2:y = kx + b$的交点，且点P的纵坐标为4，所以将$y=4$代入$y = x + 3$，得$4=x + 3$，解得$x=1$，即点P的坐标为$(1,4)$。观察图像可知，当$x≤1$时，直线$l_2$在直线$l_1$的下方或重合，所以不等式$kx + b ≤ x + 3$的解集为$x≤1$。

1. 直线 $ y = ax + b(a ≠ 0) $ 过点 $ A(0,1) $,$ B(2,0) $,则关于 $ x $ 的方程 $ ax + b = 0 $ 的解为()

A.$ x = 0 $
B.$ x = 1 $
C.$ x = 2 $
D.$ x = 3 $

C

因为直线$y=ax+b$过点$B(2,0)$，即当$x=2$时，$y=0$，所以方程$ax+b=0$的解为$x=2$。

2. 点 $ P(x,y) $ 在直线 $ y = -\frac{3}{4}x + 4 $ 上,坐标 $ (x,y) $ 是二元一次方程 $ 5x - 6y = 33 $ 的解,则点 $ P $ 的位置在()

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

D

因为点$P(x,y)$在直线$y = -\frac{3}{4}x + 4$上，所以$y = -\frac{3}{4}x + 4$。将$y = -\frac{3}{4}x + 4$代入$5x - 6y = 33$，得$5x - 6(-\frac{3}{4}x + 4) = 33$。
计算可得：$5x + \frac{9}{2}x - 24 = 33$，$\frac{10}{2}x + \frac{9}{2}x = 33 + 24$，$\frac{19}{2}x = 57$，$x = 57×\frac{2}{19} = 6$。
将$x = 6$代入$y = -\frac{3}{4}x + 4$，得$y = -\frac{3}{4}×6 + 4 = -\frac{9}{2} + 4 = -\frac{1}{2}$。
所以点$P$的坐标为$(6, -\frac{1}{2})$，在第四象限。

3. 如图,一次函数 $ y = kx + b(k,b $ 是常数,$ k ≠ 0) $ 与正比例函数 $ y = mx(m $ 是常数,$ m ≠ 0) $ 的图象相交于点 $ M(1,2) $,下列判断错误的是()

A.关于 $ x $ 的方程 $ mx = kx + b $ 的解是 $ x = 1 $
B.关于 $ x $ 的不等式 $ mx ＜ kx + b $ 的解集是 $ x ＞ 1 $
C.当 $ x ＜ 0 $ 时,函数 $ y = kx + b $ 的值比函数 $ y = mx $ 的值大
D.关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} y - mx = 0, \\ y - kx = b \end{cases} $ 的解是 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases} $

B

选项A：两函数交点横坐标为方程$mx=kx+b$的解，交点$M(1,2)$，故解为$x=1$，A正确。
选项B：由图像可知，当$x＜1$时，$y=mx$图像在$y=kx+b$下方，即$mx＜kx+b$，解集应为$x＜1$，B错误。
选项C：当$x＜0$时，$y=kx+b$图像在$y=mx$上方，故$y=kx+b$值更大，C正确。
选项D：方程组$\begin{cases}y=mx\\y=kx+b\end{cases}$的解为交点坐标，即$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$，D正确。