2. 某种蛇在一定生长阶段，其体长$y(cm)$是尾长$x(cm)$的一次函数，部分数据如下表所示，则$y$与$x$之间的关系式为()


A.$y=7.5x+0.5$
B.$y=7.5x-0.5$
C.$y=15x$
D.$y=15x+45.5$

A

设体长$y$与尾长$x$的关系为一次函数$y = kx + b$，根据表格中的数据，当$x = 6$时，$y = 45.5$；当$x = 8$时，$y = 60.5$，可列出方程组：
$\begin{cases}6k + b = 45.5\\8k + b = 60.5\end{cases}$
用第二个方程$8k + b = 60.5$减去第一个方程$6k + b = 45.5$可得：
$(8k + b)-(6k + b)=60.5 - 45.5$
$8k + b - 6k - b = 15$
$2k = 15$
解得$k = 7.5$。
把$k = 7.5$代入$6k + b = 45.5$，可得：
$6×7.5 + b = 45.5$
$45 + b = 45.5$
解得$b = 0.5$。
所以$y$与$x$之间的关系式为$y = 7.5x + 0.5$。

3. 如图，一次函数的图象经过点$A$，且与正比例函数$y=-x$的图象交于点$B$，则该一次函数的解析式为。

$y = x + 2$

将$x = -1$代入$y = -x$，得$y = 1$。
即B的坐标为$(-1,1)$。
设该一次函数的解析式为$y = kx + b$。
将点B$(-1,1)$和点$A(0,2)$代入$y = kx + b$，得到方程组：
$\begin{cases}-k + b = 1, \\b = 2.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = 1, \\b = 2.\end{cases}$
即一次函数的解析式为$y = x + 2$。

4. 如图，将含$45^{\circ}$角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，其中$A(-3,0)$，$B(0,2)$，则直线$BC$的解析式为。

$y=-\dfrac{3}{2}x+2$

设直线BC的解析式为$y = kx + b$。已知$B(0,2)$，则$b = 2$，故解析式为$y = kx + 2$。
因为三角尺是含$45°$角的直角三角尺，所以为等腰直角三角形。假设直角顶点为$B$，则$AB ⊥ BC$且$AB = BC$。
计算$AB$的斜率：$A(-3,0)$，$B(0,2)$，$k_{AB} = \frac{2 - 0}{0 - (-3)} = \frac{2}{3}$。因为$AB ⊥ BC$，所以$k_{AB} · k_{BC} = -1$，即$\frac{2}{3} · k = -1$，解得$k = -\frac{3}{2}$。
验证$AB = BC$：$AB = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{13}$。设$C(x,y)$，由$k_{BC} = -\frac{3}{2}$得$\frac{y - 2}{x - 0} = -\frac{3}{2}$，即$y = -\frac{3}{2}x + 2$。取$x = -2$（符合图形位置），则$y = 5$，$C(-2,5)$。$BC = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{13}$，满足$AB = BC$。
故直线$BC$的解析式为$y = -\frac{3}{2}x + 2$。

5. 如图，直线$y=-\frac{3}{4}x+6$分别与$x$轴，$y$轴交于点$A$，$B$，点$C$在线段$OA$上，线段$OB$沿$BC$翻折，点$O$落在$AB$边上的点$D$处。则直线$BC$的解析式为。

【解析】：
1. 求A、B坐标：令$y=0$，得$x=8$，即$A(8,0)$；令$x=0$，得$y=6$，即$B(0,6)$。
2. 由翻折性质得$OB=BD=6$，$OC=CD$。
3. 计算$AB$长：$AB=\sqrt{8^2+6^2}=10$，则$AD=AB-BD=4$。
4. 设$D$在$AB$上，$AB$解析式$y=-\frac{3}{4}x+6$。由$\tan∠ OAB=\frac{3}{4}$，设$DE=3k$，$AE=4k$，则$AD=5k=4$，得$k=\frac{4}{5}$，故$DE=\frac{12}{5}$，$AE=\frac{16}{5}$，$OE=8-\frac{16}{5}=\frac{24}{5}$，即$D(\frac{24}{5},\frac{12}{5})$。
5. 设$C(c,0)$，由$OC=CD$得$c^2=(\frac{24}{5}-c)^2+(\frac{12}{5})^2$，解得$c=3$，即$C(3,0)$。
6. 设$BC$解析式$y=kx+6$，代入$C(3,0)$得$0=3k+6$，$k=-2$，故$BC$解析式为$y=-2x+6$。
【答案】：$y=-2x+6$

1. 求A、B坐标：令$y=0$，得$x=8$，即$A(8,0)$；令$x=0$，得$y=6$，即$B(0,6)$。
2. 由翻折性质得$OB=BD=6$，$OC=CD$。
3. 计算$AB$长：$AB=\sqrt{8^2+6^2}=10$，则$AD=AB-BD=4$。
4. 设$D$在$AB$上，$AB$解析式$y=-\frac{3}{4}x+6$。由$\tan∠ OAB=\frac{3}{4}$，设$DE=3k$，$AE=4k$，则$AD=5k=4$，得$k=\frac{4}{5}$，故$DE=\frac{12}{5}$，$AE=\frac{16}{5}$，$OE=8-\frac{16}{5}=\frac{24}{5}$，即$D(\frac{24}{5},\frac{12}{5})$。
5. 设$C(c,0)$，由$OC=CD$得$c^2=(\frac{24}{5}-c)^2+(\frac{12}{5})^2$，解得$c=3$，即$C(3,0)$。
6. 设$BC$解析式$y=kx+6$，代入$C(3,0)$得$0=3k+6$，$k=-2$，故$BC$解析式为$y=-2x+6$。

6. 水果经销商从某种植专业户购进甲、乙两种水果进行销售。专业户对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按$25$元$/kg$的价格出售。设经销商购进甲种水果$xkg$，付款$y$元，$y$与$x$之间的函数关系如图所示。
(1)直接写出当$0≤ x≤ 50$和$x＞50$时，$y$与$x$之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共$100kg$，且甲种水果不少于$40kg$，但又不超过$60kg$。如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额$w$(元)最少？

(1)
当$0≤ x≤50$时，设$y = k_1x$，把$(50,1500)$代入得$50k_1 = 1500$，解得$k_1 = 30$，所以$y = 30x$；
当$x ＞ 50$时，设$y=k_2x + b$，把$(50,1500)$，$(70,1980)$代入$\begin{cases}50k_2 + b = 1500\\70k_2 + b = 1980\end{cases}$，两式相减得$20k_2=480$，解得$k_2 = 24$，把$k_2 = 24$代入$50k_2 + b = 1500$得$b = 300$，所以$y = 24x+300$。
(2)
设购进甲种水果$xkg$，则购进乙种水果$(100 - x)kg$。
因为$40≤ x≤60$，
当$40≤ x≤50$时，$w = 30x+25(100 - x)=30x + 2500-25x=5x + 2500$，
因为$k = 5＞0$，$w$随$x$的增大而增大，所以当$x = 40$时，$w_{最小}=5×40 + 2500=2700$（元），此时$100 - x = 60$。
当$50＜x≤60$时，$w = 24x+300+25(100 - x)=24x + 300+2500-25x=-x + 2800$，
因为$k=-1＜0$，$w$随$x$的增大而减小，所以当$x = 60$时，$w_{最小}=-60 + 2800 = 2740$（元），此时$100 - x = 40$。
因为$2700＜2740$，所以当购进甲种水果$40kg$，乙种水果$60kg$时，$w$最少。
答：(1)当$0≤ x≤50$时，$y = 30x$；当$x ＞ 50$时，$y = 24x + 300$；(2)购进甲种水果$40kg$，乙种水果$60kg$时，付款总金额$w$最少。

1. 一元一次方程 $ kx + b = 0(k ≠ 0,k,b $ 为常数)的解,相当于函数的函数值为 $ 0 $ 时,对应的自变量 $ x $ 的值.
2. 解一元一次不等式 $ ax + b ＞ 0 $ 或 $ ax + b ＜ 0 $,相当于求一次函数 $ y = ax + b $ 的函数值大于 $ 0 $ 或小于 $ 0 $ 时的取值范围.
思考 怎样通过一次函数的图象确定一元一次方程的解或一元一次不等式的解集?

1. $y = kx + b$；2. 自变量$x$

1.一元一次方程$kx + b = 0(k≠0,k,b$为常数$)$的解，从函数角度看，相当于函数$y = kx + b$的函数值为$0$时，对应的自变量$x$的值。
2.解一元一次不等式$ax + b＞0$或$ax + b＜0$，从函数角度看，相当于求一次函数$y = ax + b$的函数值大于$0$或小于$0$时自变量$x$的取值范围。
通过一次函数图象确定一元一次方程的解或一元一次不等式的解集的方法：
确定一元一次方程$kx + b = 0$的解：画出一次函数$y = kx + b$的图象，该图象与$x$轴交点的横坐标就是一元一次方程$kx + b = 0$的解。
确定一元一次不等式$ax + b＞0$的解集：画出一次函数$y = ax + b$的图象，函数图象在$x$轴上方部分对应的自变量$x$的取值范围就是不等式$ax + b＞0$的解集；函数图象在$x$轴下方部分对应的自变量$x$的取值范围就是不等式$ax + b＜0$的解集。

填空 直线 $ y = ax + b $ 如图所示,则不等式 $ ax + b ≤ 0 $ 的解集是.

$x≤2$

由图可知直线$y=ax+b$与$x$轴交于点$(2,0)$，且$y$随$x$的增大而增大，所以不等式$ax + b ≤ 0$的解集是$x≤2$。