6. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地面的垂直高度$DE = 0.5m$，将它往前推送$2m$（水平距离$BC = 2m$）时，秋千踏板离地面的垂直高度$BF = 1.5m$，秋千的绳索始终拉得很直.
(1) 求绳索$AD$的长.
(2) 直接写出将它往前推送$1.5m$（水平距离$BC = 1.5m$）时，秋千踏板离地面的垂直高度$BF$.

6. 解：(1) 由题意可知，$CE = BF = 1.5m$，$BC = 2m$.
∵$DE = 0.5m$，
∴$CD = CE - DE = 1.5 - 0.5 = 1(m)$. 设$AD = AB = xm$，则$AC = (x - 1)m$.
∵$BC⊥ AE$，
∴$∠ ACB = 90^{\circ}$. 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$，即$2^{2}+(x - 1)^{2}=x^{2}$，解得$x = 2.5$. 答：绳索$AD$的长是$2.5m$. (2) 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$AC = \sqrt{AB^{2}-BC^{2}} = \sqrt{2.5^{2}-1.5^{2}} = 2(m)$，
∴$CD = AD - AC = 2.5 - 2 = 0.5(m)$，
∴$BF = CE = CD + DE = 0.5 + 0.5 = 1(m)$. 答：秋千踏板离地面的垂直高度$BF$为$1m$.

7. 如图(1)，在$△ ABC$中，$BC = a$，$AC = b$，$AB = c$，若$∠ C = 90^{\circ}$，则有$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
如图(2)，若$△ ABC$为锐角三角形时，小明猜想：$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$.
理由如下：
过点$A$作$AD⊥ CB$于点$D$，设$CD = x$.
在$Rt△ ADC$中，$AD^{2}=b^{2}-x^{2}$；
在$Rt△ ADB$中，$AD^{2}=c^{2}-(a - x)^{2}$，得$a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ax$.
因为$a＞0$，$x＞0$，所以$2ax＞0$，所以$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$.
因此，当$△ ABC$为锐角三角形时，$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$，所以小明的猜想是正确的.
如图(3)，请你猜想，当$△ ABC$为钝角三角形时，$a^{2}+b^{2}$与$c^{2}$的大小关系，并证明你的结论.

7. 解：如图，过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，设$CD = x$. 在$Rt△ ADC$中，$AD^{2}=b^{2}-x^{2}$，在$Rt△ ADB$中，$AD^{2}=c^{2}-(a + x)^{2}$.
∴$a^{2}+b^{2}=c^{2}-2ax$.
∵$a ＞ 0$，$x ＞ 0$，
∴$2ax ＞ 0$，
∴$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$.
∴当$△ ABC$为钝角三角形时，$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$.

如图，从点$A(0,2)$发出的一束光，经$x$轴反射，过点$B(4,3)$，则这束光从点$A$到点$B$所经过路径的长为.

$\sqrt{41}$.